Номер 111, страница 233, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 111, страница 233.

Условие.

Решите уравнение:

111 a) $ \frac{7x + 12}{x^2 + x} = \frac{7}{x} + \frac{5x}{x + 1} $

б) $ \frac{x}{x + 5} - \frac{x + 5}{5 - x} = \frac{50}{x^2 - 25} $

в) $ \frac{x}{x - 2} - \frac{5}{x + 2} = \frac{10 - x}{x^2 - 4} $

г) $ \frac{3}{x} - \frac{6}{x^2 - 3x} = \frac{3x - 7}{3 - x} $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

a) $ \frac{7x + 12}{x^2 + x} = \frac{7}{x} + \frac{5x}{x + 1} $
Разложим знаменатель в левой части на множители: $ x^2 + x = x(x+1) $.
Уравнение примет вид: $ \frac{7x + 12}{x(x + 1)} = \frac{7}{x} + \frac{5x}{x + 1} $.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, что знаменатели не равны нулю:
$ x \neq 0 $ и $ x + 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1 $.
Общий знаменатель для всех дробей — $ x(x+1) $. Умножим обе части уравнения на него, при условии, что $ x \neq 0 $ и $ x \neq -1 $:
$ 7x + 12 = 7(x + 1) + 5x \cdot x $
Раскроем скобки и упростим выражение:
$ 7x + 12 = 7x + 7 + 5x^2 $
Перенесем все члены в одну сторону:
$ 5x^2 + 7x - 7x + 7 - 12 = 0 $
$ 5x^2 - 5 = 0 $
$ 5x^2 = 5 $
$ x^2 = 1 $
Отсюда получаем два корня: $ x_1 = 1 $ и $ x_2 = -1 $.
Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ.
Корень $ x_1 = 1 $ удовлетворяет ОДЗ ($ 1 \neq 0 $ и $ 1 \neq -1 $).
Корень $ x_2 = -1 $ не удовлетворяет ОДЗ, так как $ x \neq -1 $. Следовательно, это посторонний корень.
Таким образом, решением уравнения является только $ x = 1 $.
Ответ: $ 1 $.

б) $ \frac{x}{x+5} - \frac{x+5}{5-x} = \frac{50}{x^2 - 25} $
Преобразуем знаменатели: $ 5 - x = -(x - 5) $ и $ x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5) $.
Уравнение примет вид: $ \frac{x}{x+5} - \frac{x+5}{-(x-5)} = \frac{50}{(x-5)(x+5)} $
$ \frac{x}{x+5} + \frac{x+5}{x-5} = \frac{50}{(x-5)(x+5)} $
ОДЗ: $ x + 5 \neq 0 \Rightarrow x \neq -5 $ и $ x - 5 \neq 0 \Rightarrow x \neq 5 $.
Общий знаменатель — $ (x-5)(x+5) $. Умножим обе части на него:
$ x(x-5) + (x+5)(x+5) = 50 $
Раскроем скобки:
$ x^2 - 5x + x^2 + 10x + 25 = 50 $
Приведем подобные члены:
$ 2x^2 + 5x + 25 - 50 = 0 $
$ 2x^2 + 5x - 25 = 0 $
Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $ D = b^2 - 4ac $.
$ D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-25) = 25 + 200 = 225 = 15^2 $
$ x_1 = \frac{-5 + 15}{2 \cdot 2} = \frac{10}{4} = 2.5 $
$ x_2 = \frac{-5 - 15}{2 \cdot 2} = \frac{-20}{4} = -5 $
Проверим корни на соответствие ОДЗ.
Корень $ x_1 = 2.5 $ удовлетворяет ОДЗ ($ 2.5 \neq 5 $ и $ 2.5 \neq -5 $).
Корень $ x_2 = -5 $ не удовлетворяет ОДЗ, так как $ x \neq -5 $. Это посторонний корень.
Ответ: $ 2.5 $.

в) $ \frac{x}{x-2} - \frac{5}{x+2} = \frac{10 - x}{x^2 - 4} $
Разложим знаменатель в правой части: $ x^2 - 4 = (x-2)(x+2) $.
Уравнение примет вид: $ \frac{x}{x-2} - \frac{5}{x+2} = \frac{10 - x}{(x-2)(x+2)} $
ОДЗ: $ x - 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2 $ и $ x + 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2 $.
Общий знаменатель — $ (x-2)(x+2) $. Умножим обе части на него:
$ x(x+2) - 5(x-2) = 10 - x $
Раскроем скобки:
$ x^2 + 2x - 5x + 10 = 10 - x $
$ x^2 - 3x + 10 = 10 - x $
Перенесем все члены в левую часть:
$ x^2 - 3x + x + 10 - 10 = 0 $
$ x^2 - 2x = 0 $
Вынесем $ x $ за скобки:
$ x(x - 2) = 0 $
Отсюда $ x_1 = 0 $ или $ x_2 = 2 $.
Проверим корни на соответствие ОДЗ.
Корень $ x_1 = 0 $ удовлетворяет ОДЗ ($ 0 \neq 2 $ и $ 0 \neq -2 $).
Корень $ x_2 = 2 $ не удовлетворяет ОДЗ, так как $ x \neq 2 $. Это посторонний корень.
Ответ: $ 0 $.

г) $ \frac{3}{x} - \frac{6}{x^2-3x} = \frac{3x-7}{3-x} $
Преобразуем знаменатели: $ x^2-3x = x(x-3) $ и $ 3-x = -(x-3) $.
Уравнение примет вид: $ \frac{3}{x} - \frac{6}{x(x-3)} = \frac{3x-7}{-(x-3)} $
$ \frac{3}{x} - \frac{6}{x(x-3)} = -\frac{3x-7}{x-3} $
ОДЗ: $ x \neq 0 $ и $ x - 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3 $.
Общий знаменатель — $ x(x-3) $. Умножим обе части на него:
$ 3(x-3) - 6 = -(3x-7)x $
Раскроем скобки:
$ 3x - 9 - 6 = -3x^2 + 7x $
$ 3x - 15 = -3x^2 + 7x $
Перенесем все члены в левую часть:
$ 3x^2 + 3x - 7x - 15 = 0 $
$ 3x^2 - 4x - 15 = 0 $
Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $ D = b^2 - 4ac $.
$ D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-15) = 16 + 180 = 196 = 14^2 $
$ x_1 = \frac{4 + 14}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3 $
$ x_2 = \frac{4 - 14}{2 \cdot 3} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3} $
Проверим корни на соответствие ОДЗ.
Корень $ x_1 = 3 $ не удовлетворяет ОДЗ, так как $ x \neq 3 $. Это посторонний корень.
Корень $ x_2 = -\frac{5}{3} $ удовлетворяет ОДЗ ($ -\frac{5}{3} \neq 0 $ и $ -\frac{5}{3} \neq 3 $).
Ответ: $ -\frac{5}{3} $.