Номер 110, страница 233, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 110, страница 233.

Условие.

110 Докажите, что при всех допустимых значениях переменной значение выражения не зависит от значения переменной:

а) $ \frac{c+5}{c^2-64} : \left( \frac{4}{c+8} - \frac{12}{c^2+16c+64} \right) + \frac{4}{8-c}; $

б) $ \left( \frac{4}{x-7} + \frac{14}{x^2-14x+49} \right) \cdot \frac{x^2-49}{2x-7} - \frac{7x-21}{x-7}. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменной, нужно его упростить. Выполним действия по порядку.

Выражение: $\frac{c + 5}{c^2 - 64} : (\frac{4}{c + 8} - \frac{12}{c^2 + 16c + 64}) + \frac{4}{8 - c}$.

1. Сначала выполним вычитание в скобках. Заметим, что знаменатель $c^2 + 16c + 64$ является полным квадратом $(c + 8)^2$. Приведем дроби к общему знаменателю $(c + 8)^2$:

$\frac{4}{c + 8} - \frac{12}{c^2 + 16c + 64} = \frac{4}{c + 8} - \frac{12}{(c + 8)^2} = \frac{4(c + 8)}{(c + 8)^2} - \frac{12}{(c + 8)^2} = \frac{4c + 32 - 12}{(c + 8)^2} = \frac{4c + 20}{(c + 8)^2} = \frac{4(c + 5)}{(c + 8)^2}$.

2. Теперь выполним деление. Разложим знаменатель $c^2 - 64$ по формуле разности квадратов: $c^2 - 64 = (c - 8)(c + 8)$. Деление на дробь заменяется умножением на обратную дробь:

$\frac{c + 5}{c^2 - 64} : \frac{4(c + 5)}{(c + 8)^2} = \frac{c + 5}{(c - 8)(c + 8)} \cdot \frac{(c + 8)^2}{4(c + 5)}$.

Сократим общие множители $(c + 5)$ и $(c + 8)$:

$\frac{\cancel{c + 5}}{(c - 8)\cancel{(c + 8)}} \cdot \frac{(c + 8)^{\cancel{2}}}{4\cancel{(c + 5)}} = \frac{c + 8}{4(c - 8)}$.

3. Выполним последнее действие — сложение. Преобразуем вторую дробь: $\frac{4}{8 - c} = \frac{4}{-(c - 8)} = -\frac{4}{c - 8}$.

$\frac{c + 8}{4(c - 8)} + \frac{4}{8 - c} = \frac{c + 8}{4(c - 8)} - \frac{4}{c - 8}$.

Приведем к общему знаменателю $4(c - 8)$:

$\frac{c + 8}{4(c - 8)} - \frac{4 \cdot 4}{4(c - 8)} = \frac{c + 8 - 16}{4(c - 8)} = \frac{c - 8}{4(c - 8)}$.

Сократим дробь на $(c - 8)$:

$\frac{\cancel{c - 8}}{4\cancel{(c - 8)}} = \frac{1}{4}$.

В результате упрощения получилось число $\frac{1}{4}$, которое не зависит от переменной $c$. Это доказывает, что при всех допустимых значениях переменной значение выражения постоянно.

Ответ: $\frac{1}{4}$.

б)

Упростим выражение $(\frac{4}{x - 7} + \frac{14}{x^2 - 14x + 49}) \cdot \frac{x^2 - 49}{2x - 7} - \frac{7x - 21}{x - 7}$ по действиям.

1. Выполним сложение в скобках. Знаменатель $x^2 - 14x + 49$ является полным квадратом $(x - 7)^2$. Приведем дроби к общему знаменателю $(x - 7)^2$:

$\frac{4}{x - 7} + \frac{14}{x^2 - 14x + 49} = \frac{4}{x - 7} + \frac{14}{(x - 7)^2} = \frac{4(x - 7) + 14}{(x - 7)^2} = \frac{4x - 28 + 14}{(x - 7)^2} = \frac{4x - 14}{(x - 7)^2} = \frac{2(2x - 7)}{(x - 7)^2}$.

2. Теперь выполним умножение. Разложим числитель $x^2 - 49$ по формуле разности квадратов: $x^2 - 49 = (x - 7)(x + 7)$.

$\frac{2(2x - 7)}{(x - 7)^2} \cdot \frac{x^2 - 49}{2x - 7} = \frac{2(2x - 7)}{(x - 7)^2} \cdot \frac{(x - 7)(x + 7)}{2x - 7}$.

Сократим общие множители $(2x - 7)$ и $(x - 7)$:

$\frac{2\cancel{(2x - 7)}}{\cancel{(x - 7)^2}} \cdot \frac{\cancel{(x - 7)}(x + 7)}{\cancel{2x - 7}} = \frac{2(x + 7)}{x - 7}$.

3. Выполним вычитание. Дроби имеют общий знаменатель $(x - 7)$:

$\frac{2(x + 7)}{x - 7} - \frac{7x - 21}{x - 7} = \frac{2(x + 7) - (7x - 21)}{x - 7} = \frac{2x + 14 - 7x + 21}{x - 7} = \frac{-5x + 35}{x - 7}$.

Вынесем в числителе общий множитель $-5$ за скобки:

$\frac{-5(x - 7)}{x - 7}$.

Сократим дробь на $(x - 7)$:

$\frac{-5\cancel{(x - 7)}}{\cancel{x - 7}} = -5$.

В результате упрощения получилось число $-5$, которое не зависит от переменной $x$. Это доказывает, что при всех допустимых значениях переменной значение выражения постоянно.

Ответ: $-5$.