Номер 107, страница 233, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Итоговое повторение - номер 107, страница 233.

Условие.

107 a) $ \left( \frac{b}{b - 3} - \frac{b}{b + 3} - \frac{b^2 + 9}{9 - b^2} \right) \cdot \frac{(3 - b)^2}{3b + b^2} $;

б) $ \frac{y^2 + 5y}{(y - 5)^2} : \left( \frac{5}{y + 5} + \frac{y^2 + 25}{y^2 - 25} - \frac{5}{5 - y} \right) $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

a)

Упростим выражение $ \left(\frac{b}{b - 3} - \frac{b}{b + 3} - \frac{b^2 + 9}{9 - b^2}\right) \cdot \frac{(3 - b)^2}{3b + b^2} $.

1. Выполним действия в скобках. Для этого приведем все дроби к общему знаменателю. Заметим, что знаменатель третьей дроби $9 - b^2 = -(b^2 - 9) = -(b - 3)(b + 3)$.

$ \frac{b}{b - 3} - \frac{b}{b + 3} - \frac{b^2 + 9}{9 - b^2} = \frac{b}{b - 3} - \frac{b}{b + 3} + \frac{b^2 + 9}{b^2 - 9} $

Общий знаменатель для дробей в скобках — $ b^2 - 9 = (b - 3)(b + 3) $. Приведем дроби к этому знаменателю:

$ \frac{b(b + 3)}{(b - 3)(b + 3)} - \frac{b(b - 3)}{(b - 3)(b + 3)} + \frac{b^2 + 9}{(b - 3)(b + 3)} = \frac{b(b + 3) - b(b - 3) + b^2 + 9}{(b - 3)(b + 3)} $

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$ \frac{b^2 + 3b - (b^2 - 3b) + b^2 + 9}{(b - 3)(b + 3)} = \frac{b^2 + 3b - b^2 + 3b + b^2 + 9}{(b - 3)(b + 3)} = \frac{b^2 + 6b + 9}{(b - 3)(b + 3)} $

Числитель $b^2 + 6b + 9$ является формулой квадрата суммы: $(b + 3)^2$.

$ \frac{(b + 3)^2}{(b - 3)(b + 3)} = \frac{b + 3}{b - 3} $

2. Теперь упростим второй множитель $ \frac{(3 - b)^2}{3b + b^2} $.

Заметим, что $(3 - b)^2 = (-(b - 3))^2 = (b - 3)^2$. В знаменателе вынесем $b$ за скобки: $3b + b^2 = b(3 + b) = b(b + 3)$.

Таким образом, второй множитель равен $ \frac{(b - 3)^2}{b(b + 3)} $.

3. Выполним умножение полученных упрощенных выражений:

$ \left(\frac{b + 3}{b - 3}\right) \cdot \frac{(b - 3)^2}{b(b + 3)} = \frac{(b + 3)(b - 3)^2}{(b - 3)b(b + 3)} $

Сократим общие множители $(b + 3)$ и $(b - 3)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $b \neq -3$ и $b \neq 3$):

$ \frac{b - 3}{b} $

Ответ: $ \frac{b - 3}{b} $

---

б)

Упростим выражение $ \frac{y^2 + 5y}{(y - 5)^2} : \left(\frac{5}{y + 5} + \frac{y^2 + 25}{y^2 - 25} - \frac{5}{5 - y}\right) $.

1. Сначала упростим выражение в скобках (делитель). Заметим, что $y^2 - 25 = (y - 5)(y + 5)$ и $5 - y = -(y - 5)$.

$ \frac{5}{y + 5} + \frac{y^2 + 25}{y^2 - 25} - \frac{5}{5 - y} = \frac{5}{y + 5} + \frac{y^2 + 25}{(y - 5)(y + 5)} + \frac{5}{y - 5} $

Приведем дроби к общему знаменателю $(y - 5)(y + 5)$:

$ \frac{5(y - 5)}{(y - 5)(y + 5)} + \frac{y^2 + 25}{(y - 5)(y + 5)} + \frac{5(y + 5)}{(y - 5)(y + 5)} = \frac{5(y - 5) + y^2 + 25 + 5(y + 5)}{(y - 5)(y + 5)} $

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$ \frac{5y - 25 + y^2 + 25 + 5y + 25}{(y - 5)(y + 5)} = \frac{y^2 + 10y + 25}{(y - 5)(y + 5)} $

Числитель $y^2 + 10y + 25$ является формулой квадрата суммы: $(y + 5)^2$.

$ \frac{(y + 5)^2}{(y - 5)(y + 5)} = \frac{y + 5}{y - 5} $

2. Теперь выполним деление. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную ей дробь.

$ \frac{y^2 + 5y}{(y - 5)^2} : \frac{y + 5}{y - 5} = \frac{y^2 + 5y}{(y - 5)^2} \cdot \frac{y - 5}{y + 5} $

Разложим числитель первой дроби на множители: $y^2 + 5y = y(y + 5)$.

$ \frac{y(y + 5)}{(y - 5)^2} \cdot \frac{y - 5}{y + 5} = \frac{y(y + 5)(y - 5)}{(y - 5)^2(y + 5)} $

Сократим общие множители $(y + 5)$ и $(y - 5)$ (при условии, что $y \neq -5$ и $y \neq 5$):

$ \frac{y}{y - 5} $

Ответ: $ \frac{y}{y - 5} $