Номер 113, страница 233, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Итоговое повторение - номер 113, страница 233.

Условие.

113 a) $2x + \frac{2}{x} - 5 = 0;$

б) $3x - 2x^{-1} - 1 = 0;$

в) $3x + \frac{3}{x} + 10 = 0;$

г) $4x + 5 - 6x^{-1} = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) $2x + \frac{2}{x} - 5 = 0$

Данное уравнение является рациональным. Область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$ определяется условием $x \neq 0$, так как в уравнении присутствует деление на $x$.

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на $x$:

$x \cdot (2x + \frac{2}{x} - 5) = x \cdot 0$

$2x^2 + 2 - 5x = 0$

Запишем полученное квадратное уравнение в стандартном виде $ax^2 + bx + c = 0$:

$2x^2 - 5x + 2 = 0$

Для нахождения корней воспользуемся формулой корней квадратного уравнения через дискриминант. Коэффициенты уравнения: $a=2, b=-5, c=2$.

Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Оба найденных корня ($2$ и $\frac{1}{2}$) удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 0$), следовательно, являются решениями исходного уравнения.

Ответ: $2; \frac{1}{2}$.

б) $3x - 2x^{-1} - 1 = 0$

Преобразуем уравнение, используя свойство степени $x^{-1} = \frac{1}{x}$:

$3x - \frac{2}{x} - 1 = 0$

ОДЗ данного уравнения: $x \neq 0$.

Умножим обе части уравнения на $x$, чтобы избавиться от знаменателя:

$x \cdot (3x - \frac{2}{x} - 1) = x \cdot 0$

$3x^2 - 2 - x = 0$

Запишем квадратное уравнение в стандартном виде:

$3x^2 - x - 2 = 0$

Коэффициенты: $a=3, b=-1, c=-2$. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их:

$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{1 + 5}{6} = \frac{6}{6} = 1$

$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{1 - 5}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$

Оба корня ($1$ и $-\frac{2}{3}$) удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 0$).

Ответ: $1; -\frac{2}{3}$.

в) $3x + \frac{3}{x} + 10 = 0$

ОДЗ уравнения: $x \neq 0$. Умножим обе части уравнения на $x$:

$x \cdot (3x + \frac{3}{x} + 10) = x \cdot 0$

$3x^2 + 3 + 10x = 0$

Приведем уравнение к стандартному виду:

$3x^2 + 10x + 3 = 0$

Коэффициенты: $a=3, b=10, c=3$. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их:

$x_1 = \frac{-10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-10 + 8}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

$x_2 = \frac{-10 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-10 - 8}{6} = \frac{-18}{6} = -3$

Оба корня ($-3$ и $-\frac{1}{3}$) удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 0$).

Ответ: $-3; -\frac{1}{3}$.

г) $4x + 5 - 6x^{-1} = 0$

Преобразуем уравнение, используя свойство $x^{-1} = \frac{1}{x}$:

$4x + 5 - \frac{6}{x} = 0$

ОДЗ уравнения: $x \neq 0$. Умножим обе части уравнения на $x$:

$x \cdot (4x + 5 - \frac{6}{x}) = x \cdot 0$

$4x^2 + 5x - 6 = 0$

Получили квадратное уравнение в стандартном виде. Коэффициенты: $a=4, b=5, c=-6$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-6) = 25 + 96 = 121$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их:

$x_1 = \frac{-5 + \sqrt{121}}{2 \cdot 4} = \frac{-5 + 11}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

$x_2 = \frac{-5 - \sqrt{121}}{2 \cdot 4} = \frac{-5 - 11}{8} = \frac{-16}{8} = -2$

Оба корня ($-2$ и $\frac{3}{4}$) удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 0$).

Ответ: $-2; \frac{3}{4}$.