Страница 233, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

107 a) $ \left( \frac{b}{b - 3} - \frac{b}{b + 3} - \frac{b^2 + 9}{9 - b^2} \right) \cdot \frac{(3 - b)^2}{3b + b^2} $;

б) $ \frac{y^2 + 5y}{(y - 5)^2} : \left( \frac{5}{y + 5} + \frac{y^2 + 25}{y^2 - 25} - \frac{5}{5 - y} \right) $.

Упростим выражение $ \left(\frac{b}{b - 3} - \frac{b}{b + 3} - \frac{b^2 + 9}{9 - b^2}\right) \cdot \frac{(3 - b)^2}{3b + b^2} $.

1. Выполним действия в скобках. Для этого приведем все дроби к общему знаменателю. Заметим, что знаменатель третьей дроби $9 - b^2 = -(b^2 - 9) = -(b - 3)(b + 3)$.

$ \frac{b}{b - 3} - \frac{b}{b + 3} - \frac{b^2 + 9}{9 - b^2} = \frac{b}{b - 3} - \frac{b}{b + 3} + \frac{b^2 + 9}{b^2 - 9} $

Общий знаменатель для дробей в скобках — $ b^2 - 9 = (b - 3)(b + 3) $. Приведем дроби к этому знаменателю:

$ \frac{b(b + 3)}{(b - 3)(b + 3)} - \frac{b(b - 3)}{(b - 3)(b + 3)} + \frac{b^2 + 9}{(b - 3)(b + 3)} = \frac{b(b + 3) - b(b - 3) + b^2 + 9}{(b - 3)(b + 3)} $

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$ \frac{b^2 + 3b - (b^2 - 3b) + b^2 + 9}{(b - 3)(b + 3)} = \frac{b^2 + 3b - b^2 + 3b + b^2 + 9}{(b - 3)(b + 3)} = \frac{b^2 + 6b + 9}{(b - 3)(b + 3)} $

Числитель $b^2 + 6b + 9$ является формулой квадрата суммы: $(b + 3)^2$.

$ \frac{(b + 3)^2}{(b - 3)(b + 3)} = \frac{b + 3}{b - 3} $

2. Теперь упростим второй множитель $ \frac{(3 - b)^2}{3b + b^2} $.

Заметим, что $(3 - b)^2 = (-(b - 3))^2 = (b - 3)^2$. В знаменателе вынесем $b$ за скобки: $3b + b^2 = b(3 + b) = b(b + 3)$.

Таким образом, второй множитель равен $ \frac{(b - 3)^2}{b(b + 3)} $.

3. Выполним умножение полученных упрощенных выражений:

$ \left(\frac{b + 3}{b - 3}\right) \cdot \frac{(b - 3)^2}{b(b + 3)} = \frac{(b + 3)(b - 3)^2}{(b - 3)b(b + 3)} $

Сократим общие множители $(b + 3)$ и $(b - 3)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $b \neq -3$ и $b \neq 3$):

$ \frac{b - 3}{b} $

Ответ: $ \frac{b - 3}{b} $

Упростим выражение $ \frac{y^2 + 5y}{(y - 5)^2} : \left(\frac{5}{y + 5} + \frac{y^2 + 25}{y^2 - 25} - \frac{5}{5 - y}\right) $.

1. Сначала упростим выражение в скобках (делитель). Заметим, что $y^2 - 25 = (y - 5)(y + 5)$ и $5 - y = -(y - 5)$.

$ \frac{5}{y + 5} + \frac{y^2 + 25}{y^2 - 25} - \frac{5}{5 - y} = \frac{5}{y + 5} + \frac{y^2 + 25}{(y - 5)(y + 5)} + \frac{5}{y - 5} $

Приведем дроби к общему знаменателю $(y - 5)(y + 5)$:

$ \frac{5(y - 5)}{(y - 5)(y + 5)} + \frac{y^2 + 25}{(y - 5)(y + 5)} + \frac{5(y + 5)}{(y - 5)(y + 5)} = \frac{5(y - 5) + y^2 + 25 + 5(y + 5)}{(y - 5)(y + 5)} $

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$ \frac{5y - 25 + y^2 + 25 + 5y + 25}{(y - 5)(y + 5)} = \frac{y^2 + 10y + 25}{(y - 5)(y + 5)} $

Числитель $y^2 + 10y + 25$ является формулой квадрата суммы: $(y + 5)^2$.

$ \frac{(y + 5)^2}{(y - 5)(y + 5)} = \frac{y + 5}{y - 5} $

2. Теперь выполним деление. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную ей дробь.

$ \frac{y^2 + 5y}{(y - 5)^2} : \frac{y + 5}{y - 5} = \frac{y^2 + 5y}{(y - 5)^2} \cdot \frac{y - 5}{y + 5} $

Разложим числитель первой дроби на множители: $y^2 + 5y = y(y + 5)$.

$ \frac{y(y + 5)}{(y - 5)^2} \cdot \frac{y - 5}{y + 5} = \frac{y(y + 5)(y - 5)}{(y - 5)^2(y + 5)} $

Сократим общие множители $(y + 5)$ и $(y - 5)$ (при условии, что $y \neq -5$ и $y \neq 5$):

$ \frac{y}{y - 5} $

Ответ: $ \frac{y}{y - 5} $

108 a) $ \frac{x + 40}{x^3 - 16x} : \left( \frac{x - 4}{3x^2 + 11x - 4} - \frac{16}{16 - x^2} \right); $

б) $ \frac{y^3 - y}{y - 4} \cdot \left( \frac{y - 1}{2y^2 + 3y + 1} - \frac{1}{y^2 - 1} \right). $

a)

Выполним решение по шагам. Исходное выражение: $ \frac{x+40}{x^3-16x} : (\frac{x-4}{3x^2+11x-4} - \frac{16}{16-x^2}) $.

1. Разложим на множители знаменатель первой дроби:$ x^3 - 16x = x(x^2 - 16) = x(x-4)(x+4) $.Первое выражение: $ \frac{x+40}{x(x-4)(x+4)} $.

2. Упростим выражение в скобках. Для этого разложим знаменатели на множители.Найдем корни квадратного трехчлена $ 3x^2+11x-4=0 $.Дискриминант $ D = b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 121 + 48 = 169 = 13^2 $.Корни: $ x_1 = \frac{-11+13}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $; $ x_2 = \frac{-11-13}{6} = \frac{-24}{6} = -4 $.Следовательно, $ 3x^2+11x-4 = 3(x - \frac{1}{3})(x+4) = (3x-1)(x+4) $.Знаменатель второй дроби в скобках: $ 16-x^2 = (4-x)(4+x) = -(x-4)(x+4) $.

3. Перепишем выражение в скобках с разложенными знаменателями и выполним вычитание:$ \frac{x-4}{(3x-1)(x+4)} - \frac{16}{-(x-4)(x+4)} = \frac{x-4}{(3x-1)(x+4)} + \frac{16}{(x-4)(x+4)} $.Приведем к общему знаменателю $ (3x-1)(x-4)(x+4) $:$ \frac{(x-4)(x-4) + 16(3x-1)}{(3x-1)(x-4)(x+4)} = \frac{x^2 - 8x + 16 + 48x - 16}{(3x-1)(x-4)(x+4)} = \frac{x^2 + 40x}{(3x-1)(x-4)(x+4)} = \frac{x(x+40)}{(3x-1)(x-4)(x+4)} $.

4. Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:$ \frac{x+40}{x(x-4)(x+4)} : \frac{x(x+40)}{(3x-1)(x-4)(x+4)} = \frac{x+40}{x(x-4)(x+4)} \cdot \frac{(3x-1)(x-4)(x+4)}{x(x+40)} $.

5. Сократим общие множители:$ \frac{\cancel{x+40}}{x\cancel{(x-4)}\cancel{(x+4)}} \cdot \frac{(3x-1)\cancel{(x-4)}\cancel{(x+4)}}{x\cancel{(x+40)}} = \frac{3x-1}{x \cdot x} = \frac{3x-1}{x^2} $.

Ответ: $ \frac{3x-1}{x^2} $

б)

Выполним решение по шагам. Исходное выражение: $ \frac{y^3-y}{y-4} \cdot (\frac{y-1}{2y^2+3y+1} - \frac{1}{y^2-1}) $.

1. Разложим на множители числитель первого множителя:$ y^3 - y = y(y^2-1) = y(y-1)(y+1) $.Первый множитель: $ \frac{y(y-1)(y+1)}{y-4} $.

2. Упростим выражение в скобках. Разложим знаменатели на множители.Найдем корни квадратного трехчлена $ 2y^2+3y+1=0 $.Дискриминант $ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1 $.Корни: $ y_1 = \frac{-3+1}{4} = -\frac{1}{2} $; $ y_2 = \frac{-3-1}{4} = -1 $.Следовательно, $ 2y^2+3y+1 = 2(y+\frac{1}{2})(y+1) = (2y+1)(y+1) $.Знаменатель второй дроби в скобках: $ y^2-1 = (y-1)(y+1) $.

3. Перепишем выражение в скобках с разложенными знаменателями и выполним вычитание:$ \frac{y-1}{(2y+1)(y+1)} - \frac{1}{(y-1)(y+1)} $.Приведем к общему знаменателю $ (2y+1)(y-1)(y+1) $:$ \frac{(y-1)(y-1) - 1(2y+1)}{(2y+1)(y-1)(y+1)} = \frac{y^2-2y+1 - 2y-1}{(2y+1)(y-1)(y+1)} = \frac{y^2-4y}{(2y+1)(y-1)(y+1)} = \frac{y(y-4)}{(2y+1)(y-1)(y+1)} $.

4. Теперь выполним умножение:$ \frac{y(y-1)(y+1)}{y-4} \cdot \frac{y(y-4)}{(2y+1)(y-1)(y+1)} $.

5. Сократим общие множители:$ \frac{y\cancel{(y-1)}\cancel{(y+1)}}{\cancel{y-4}} \cdot \frac{y\cancel{(y-4)}}{(2y+1)\cancel{(y-1)}\cancel{(y+1)}} = \frac{y \cdot y}{2y+1} = \frac{y^2}{2y+1} $.

Ответ: $ \frac{y^2}{2y+1} $

109. a) $ \left(\frac{1}{2 - 4m} + \frac{m + 1}{8m^3 - 1} \cdot \frac{4m^2 + 2m + 1}{1 + 2m}\right) : \frac{1}{4m - 2}; $

б) $ \frac{2 + 6p}{p} \cdot \left(\frac{1}{2 - 6p} + \frac{1}{27p^3 - 1} : \frac{1 + 3p}{1 + 3p + 9p^2}\right). $

а) $(\frac{1}{2-4m} + \frac{m+1}{8m^3 - 1} \cdot \frac{4m^2 + 2m + 1}{1+2m}) : \frac{1}{4m-2}$

Решим выражение по действиям, соблюдая порядок их выполнения.

1. Первым действием выполним умножение дробей в скобках. Для этого разложим знаменатель $8m^3 - 1$ на множители, используя формулу разности кубов $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$:

$8m^3 - 1 = (2m)^3 - 1^3 = (2m-1)(4m^2+2m+1)$

Теперь выполним умножение и сократим одинаковые множители:

$\frac{m+1}{8m^3 - 1} \cdot \frac{4m^2 + 2m + 1}{1+2m} = \frac{m+1}{(2m-1)(4m^2+2m+1)} \cdot \frac{4m^2+2m+1}{2m+1} = \frac{m+1}{(2m-1)(2m+1)}$

2. Вторым действием выполним сложение в скобках. Преобразуем знаменатель первой дроби:

$\frac{1}{2-4m} = \frac{1}{2(1-2m)} = -\frac{1}{2(2m-1)}$

Теперь сложим полученные дроби, приведя их к общему знаменателю $2(2m-1)(2m+1)$:

$\frac{1}{2-4m} + \frac{m+1}{(2m-1)(2m+1)} = -\frac{1}{2(2m-1)} + \frac{m+1}{(2m-1)(2m+1)} = \frac{-(2m+1) + 2(m+1)}{2(2m-1)(2m+1)} = \frac{-2m-1+2m+2}{2(2m-1)(2m+1)} = \frac{1}{2(2m-1)(2m+1)}$

3. Третьим действием выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь. Преобразуем делитель:

$\frac{1}{4m-2} = \frac{1}{2(2m-1)}$

Теперь выполним деление:

$\frac{1}{2(2m-1)(2m+1)} : \frac{1}{2(2m-1)} = \frac{1}{2(2m-1)(2m+1)} \cdot \frac{2(2m-1)}{1} = \frac{2(2m-1)}{2(2m-1)(2m+1)} = \frac{1}{2m+1}$

Ответ: $\frac{1}{2m+1}$

б) $\frac{2+6p}{p} \cdot (\frac{1}{2-6p} + \frac{1}{27p^3-1} : \frac{1+3p}{1+3p+9p^2})$

Решим выражение по действиям, соблюдая порядок их выполнения.

1. Первым действием выполним деление в скобках. Разложим знаменатель $27p^3 - 1$ по формуле разности кубов:

$27p^3 - 1 = (3p)^3 - 1^3 = (3p-1)(9p^2+3p+1)$

Теперь выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь:

$\frac{1}{27p^3-1} : \frac{1+3p}{1+3p+9p^2} = \frac{1}{(3p-1)(9p^2+3p+1)} \cdot \frac{1+3p+9p^2}{1+3p} = \frac{1}{(3p-1)(3p+1)}$

2. Вторым действием выполним сложение в скобках. Преобразуем знаменатель первой дроби:

$\frac{1}{2-6p} = \frac{1}{2(1-3p)} = -\frac{1}{2(3p-1)}$

Приведем дроби к общему знаменателю $2(3p-1)(3p+1)$ и сложим их:

$-\frac{1}{2(3p-1)} + \frac{1}{(3p-1)(3p+1)} = \frac{-(3p+1) + 2 \cdot 1}{2(3p-1)(3p+1)} = \frac{-3p-1+2}{2(3p-1)(3p+1)} = \frac{1-3p}{2(3p-1)(3p+1)} = \frac{-(3p-1)}{2(3p-1)(3p+1)} = -\frac{1}{2(3p+1)}$

3. Третьим действием выполним умножение. Преобразуем первый множитель:

$\frac{2+6p}{p} = \frac{2(1+3p)}{p} = \frac{2(3p+1)}{p}$

Теперь выполним умножение:

$\frac{2(3p+1)}{p} \cdot \left(-\frac{1}{2(3p+1)}\right) = -\frac{2(3p+1)}{p \cdot 2(3p+1)} = -\frac{1}{p}$

Ответ: $-\frac{1}{p}$

110 Докажите, что при всех допустимых значениях переменной значение выражения не зависит от значения переменной:

а) $ \frac{c+5}{c^2-64} : \left( \frac{4}{c+8} - \frac{12}{c^2+16c+64} \right) + \frac{4}{8-c}; $

б) $ \left( \frac{4}{x-7} + \frac{14}{x^2-14x+49} \right) \cdot \frac{x^2-49}{2x-7} - \frac{7x-21}{x-7}. $

а)

Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменной, нужно его упростить. Выполним действия по порядку.

Выражение: $\frac{c + 5}{c^2 - 64} : (\frac{4}{c + 8} - \frac{12}{c^2 + 16c + 64}) + \frac{4}{8 - c}$.

1. Сначала выполним вычитание в скобках. Заметим, что знаменатель $c^2 + 16c + 64$ является полным квадратом $(c + 8)^2$. Приведем дроби к общему знаменателю $(c + 8)^2$:

$\frac{4}{c + 8} - \frac{12}{c^2 + 16c + 64} = \frac{4}{c + 8} - \frac{12}{(c + 8)^2} = \frac{4(c + 8)}{(c + 8)^2} - \frac{12}{(c + 8)^2} = \frac{4c + 32 - 12}{(c + 8)^2} = \frac{4c + 20}{(c + 8)^2} = \frac{4(c + 5)}{(c + 8)^2}$.

2. Теперь выполним деление. Разложим знаменатель $c^2 - 64$ по формуле разности квадратов: $c^2 - 64 = (c - 8)(c + 8)$. Деление на дробь заменяется умножением на обратную дробь:

$\frac{c + 5}{c^2 - 64} : \frac{4(c + 5)}{(c + 8)^2} = \frac{c + 5}{(c - 8)(c + 8)} \cdot \frac{(c + 8)^2}{4(c + 5)}$.

Сократим общие множители $(c + 5)$ и $(c + 8)$:

$\frac{\cancel{c + 5}}{(c - 8)\cancel{(c + 8)}} \cdot \frac{(c + 8)^{\cancel{2}}}{4\cancel{(c + 5)}} = \frac{c + 8}{4(c - 8)}$.

3. Выполним последнее действие — сложение. Преобразуем вторую дробь: $\frac{4}{8 - c} = \frac{4}{-(c - 8)} = -\frac{4}{c - 8}$.

$\frac{c + 8}{4(c - 8)} + \frac{4}{8 - c} = \frac{c + 8}{4(c - 8)} - \frac{4}{c - 8}$.

Приведем к общему знаменателю $4(c - 8)$:

$\frac{c + 8}{4(c - 8)} - \frac{4 \cdot 4}{4(c - 8)} = \frac{c + 8 - 16}{4(c - 8)} = \frac{c - 8}{4(c - 8)}$.

Сократим дробь на $(c - 8)$:

$\frac{\cancel{c - 8}}{4\cancel{(c - 8)}} = \frac{1}{4}$.

В результате упрощения получилось число $\frac{1}{4}$, которое не зависит от переменной $c$. Это доказывает, что при всех допустимых значениях переменной значение выражения постоянно.

Ответ: $\frac{1}{4}$.

б)

Упростим выражение $(\frac{4}{x - 7} + \frac{14}{x^2 - 14x + 49}) \cdot \frac{x^2 - 49}{2x - 7} - \frac{7x - 21}{x - 7}$ по действиям.

1. Выполним сложение в скобках. Знаменатель $x^2 - 14x + 49$ является полным квадратом $(x - 7)^2$. Приведем дроби к общему знаменателю $(x - 7)^2$:

$\frac{4}{x - 7} + \frac{14}{x^2 - 14x + 49} = \frac{4}{x - 7} + \frac{14}{(x - 7)^2} = \frac{4(x - 7) + 14}{(x - 7)^2} = \frac{4x - 28 + 14}{(x - 7)^2} = \frac{4x - 14}{(x - 7)^2} = \frac{2(2x - 7)}{(x - 7)^2}$.

2. Теперь выполним умножение. Разложим числитель $x^2 - 49$ по формуле разности квадратов: $x^2 - 49 = (x - 7)(x + 7)$.

$\frac{2(2x - 7)}{(x - 7)^2} \cdot \frac{x^2 - 49}{2x - 7} = \frac{2(2x - 7)}{(x - 7)^2} \cdot \frac{(x - 7)(x + 7)}{2x - 7}$.

Сократим общие множители $(2x - 7)$ и $(x - 7)$:

$\frac{2\cancel{(2x - 7)}}{\cancel{(x - 7)^2}} \cdot \frac{\cancel{(x - 7)}(x + 7)}{\cancel{2x - 7}} = \frac{2(x + 7)}{x - 7}$.

3. Выполним вычитание. Дроби имеют общий знаменатель $(x - 7)$:

$\frac{2(x + 7)}{x - 7} - \frac{7x - 21}{x - 7} = \frac{2(x + 7) - (7x - 21)}{x - 7} = \frac{2x + 14 - 7x + 21}{x - 7} = \frac{-5x + 35}{x - 7}$.

Вынесем в числителе общий множитель $-5$ за скобки:

$\frac{-5(x - 7)}{x - 7}$.

Сократим дробь на $(x - 7)$:

$\frac{-5\cancel{(x - 7)}}{\cancel{x - 7}} = -5$.

В результате упрощения получилось число $-5$, которое не зависит от переменной $x$. Это доказывает, что при всех допустимых значениях переменной значение выражения постоянно.

Ответ: $-5$.

Решите уравнение:

111 a) $ \frac{7x + 12}{x^2 + x} = \frac{7}{x} + \frac{5x}{x + 1} $

б) $ \frac{x}{x + 5} - \frac{x + 5}{5 - x} = \frac{50}{x^2 - 25} $

в) $ \frac{x}{x - 2} - \frac{5}{x + 2} = \frac{10 - x}{x^2 - 4} $

г) $ \frac{3}{x} - \frac{6}{x^2 - 3x} = \frac{3x - 7}{3 - x} $

a) $ \frac{7x + 12}{x^2 + x} = \frac{7}{x} + \frac{5x}{x + 1} $
Разложим знаменатель в левой части на множители: $ x^2 + x = x(x+1) $.
Уравнение примет вид: $ \frac{7x + 12}{x(x + 1)} = \frac{7}{x} + \frac{5x}{x + 1} $.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, что знаменатели не равны нулю:
$ x \neq 0 $ и $ x + 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1 $.
Общий знаменатель для всех дробей — $ x(x+1) $. Умножим обе части уравнения на него, при условии, что $ x \neq 0 $ и $ x \neq -1 $:
$ 7x + 12 = 7(x + 1) + 5x \cdot x $
Раскроем скобки и упростим выражение:
$ 7x + 12 = 7x + 7 + 5x^2 $
Перенесем все члены в одну сторону:
$ 5x^2 + 7x - 7x + 7 - 12 = 0 $
$ 5x^2 - 5 = 0 $
$ 5x^2 = 5 $
$ x^2 = 1 $
Отсюда получаем два корня: $ x_1 = 1 $ и $ x_2 = -1 $.
Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ.
Корень $ x_1 = 1 $ удовлетворяет ОДЗ ($ 1 \neq 0 $ и $ 1 \neq -1 $).
Корень $ x_2 = -1 $ не удовлетворяет ОДЗ, так как $ x \neq -1 $. Следовательно, это посторонний корень.
Таким образом, решением уравнения является только $ x = 1 $.
Ответ: $ 1 $.

б) $ \frac{x}{x+5} - \frac{x+5}{5-x} = \frac{50}{x^2 - 25} $
Преобразуем знаменатели: $ 5 - x = -(x - 5) $ и $ x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5) $.
Уравнение примет вид: $ \frac{x}{x+5} - \frac{x+5}{-(x-5)} = \frac{50}{(x-5)(x+5)} $
$ \frac{x}{x+5} + \frac{x+5}{x-5} = \frac{50}{(x-5)(x+5)} $
ОДЗ: $ x + 5 \neq 0 \Rightarrow x \neq -5 $ и $ x - 5 \neq 0 \Rightarrow x \neq 5 $.
Общий знаменатель — $ (x-5)(x+5) $. Умножим обе части на него:
$ x(x-5) + (x+5)(x+5) = 50 $
Раскроем скобки:
$ x^2 - 5x + x^2 + 10x + 25 = 50 $
Приведем подобные члены:
$ 2x^2 + 5x + 25 - 50 = 0 $
$ 2x^2 + 5x - 25 = 0 $
Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $ D = b^2 - 4ac $.
$ D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-25) = 25 + 200 = 225 = 15^2 $
$ x_1 = \frac{-5 + 15}{2 \cdot 2} = \frac{10}{4} = 2.5 $
$ x_2 = \frac{-5 - 15}{2 \cdot 2} = \frac{-20}{4} = -5 $
Проверим корни на соответствие ОДЗ.
Корень $ x_1 = 2.5 $ удовлетворяет ОДЗ ($ 2.5 \neq 5 $ и $ 2.5 \neq -5 $).
Корень $ x_2 = -5 $ не удовлетворяет ОДЗ, так как $ x \neq -5 $. Это посторонний корень.
Ответ: $ 2.5 $.

в) $ \frac{x}{x-2} - \frac{5}{x+2} = \frac{10 - x}{x^2 - 4} $
Разложим знаменатель в правой части: $ x^2 - 4 = (x-2)(x+2) $.
Уравнение примет вид: $ \frac{x}{x-2} - \frac{5}{x+2} = \frac{10 - x}{(x-2)(x+2)} $
ОДЗ: $ x - 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2 $ и $ x + 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2 $.
Общий знаменатель — $ (x-2)(x+2) $. Умножим обе части на него:
$ x(x+2) - 5(x-2) = 10 - x $
Раскроем скобки:
$ x^2 + 2x - 5x + 10 = 10 - x $
$ x^2 - 3x + 10 = 10 - x $
Перенесем все члены в левую часть:
$ x^2 - 3x + x + 10 - 10 = 0 $
$ x^2 - 2x = 0 $
Вынесем $ x $ за скобки:
$ x(x - 2) = 0 $
Отсюда $ x_1 = 0 $ или $ x_2 = 2 $.
Проверим корни на соответствие ОДЗ.
Корень $ x_1 = 0 $ удовлетворяет ОДЗ ($ 0 \neq 2 $ и $ 0 \neq -2 $).
Корень $ x_2 = 2 $ не удовлетворяет ОДЗ, так как $ x \neq 2 $. Это посторонний корень.
Ответ: $ 0 $.

г) $ \frac{3}{x} - \frac{6}{x^2-3x} = \frac{3x-7}{3-x} $
Преобразуем знаменатели: $ x^2-3x = x(x-3) $ и $ 3-x = -(x-3) $.
Уравнение примет вид: $ \frac{3}{x} - \frac{6}{x(x-3)} = \frac{3x-7}{-(x-3)} $
$ \frac{3}{x} - \frac{6}{x(x-3)} = -\frac{3x-7}{x-3} $
ОДЗ: $ x \neq 0 $ и $ x - 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3 $.
Общий знаменатель — $ x(x-3) $. Умножим обе части на него:
$ 3(x-3) - 6 = -(3x-7)x $
Раскроем скобки:
$ 3x - 9 - 6 = -3x^2 + 7x $
$ 3x - 15 = -3x^2 + 7x $
Перенесем все члены в левую часть:
$ 3x^2 + 3x - 7x - 15 = 0 $
$ 3x^2 - 4x - 15 = 0 $
Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $ D = b^2 - 4ac $.
$ D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-15) = 16 + 180 = 196 = 14^2 $
$ x_1 = \frac{4 + 14}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3 $
$ x_2 = \frac{4 - 14}{2 \cdot 3} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3} $
Проверим корни на соответствие ОДЗ.
Корень $ x_1 = 3 $ не удовлетворяет ОДЗ, так как $ x \neq 3 $. Это посторонний корень.
Корень $ x_2 = -\frac{5}{3} $ удовлетворяет ОДЗ ($ -\frac{5}{3} \neq 0 $ и $ -\frac{5}{3} \neq 3 $).
Ответ: $ -\frac{5}{3} $.

112 a) $\frac{6}{x^2 - 4x + 3} - \frac{13 - 7x}{1 - x} = \frac{3}{x - 3}$;

б) $\frac{8}{x^2 - 6x + 8} + \frac{1 - 3x}{2 - x} = \frac{4}{x - 4}$.

а)

Исходное уравнение: $ \frac{6}{x^2 - 4x + 3} - \frac{13 - 7x}{1 - x} = \frac{3}{x - 3} $.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:

$ x^2 - 4x + 3 \ne 0 $

$ 1 - x \ne 0 \implies x \ne 1 $

$ x - 3 \ne 0 \implies x \ne 3 $

Разложим квадратный трехчлен $ x^2 - 4x + 3 $ на множители. Корнями уравнения $ x^2 - 4x + 3 = 0 $ являются $ x_1 = 1 $ и $ x_2 = 3 $ (по теореме Виета).
Следовательно, $ x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3) $.

Таким образом, ОДЗ: $ x \ne 1 $ и $ x \ne 3 $.

Теперь преобразуем уравнение. Заметим, что $ 1 - x = -(x - 1) $. Подставим это в уравнение:

$ \frac{6}{(x - 1)(x - 3)} - \frac{13 - 7x}{-(x - 1)} = \frac{3}{x - 3} $

$ \frac{6}{(x - 1)(x - 3)} + \frac{13 - 7x}{x - 1} = \frac{3}{x - 3} $

Приведем все дроби к общему знаменателю $ (x - 1)(x - 3) $. Для этого умножим вторую дробь на $ (x - 3) $ и третью на $ (x - 1) $:

$ \frac{6}{(x - 1)(x - 3)} + \frac{(13 - 7x)(x - 3)}{(x - 1)(x - 3)} = \frac{3(x - 1)}{(x - 1)(x - 3)} $

Так как $ x \ne 1 $ и $ x \ne 3 $, мы можем умножить обе части уравнения на общий знаменатель $ (x - 1)(x - 3) $, чтобы избавиться от дробей:

$ 6 + (13 - 7x)(x - 3) = 3(x - 1) $

Раскроем скобки и упростим:

$ 6 + 13x - 39 - 7x^2 + 21x = 3x - 3 $

$ -7x^2 + 34x - 33 = 3x - 3 $

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$ -7x^2 + 34x - 3x - 33 + 3 = 0 $

$ -7x^2 + 31x - 30 = 0 $

Умножим обе части на -1 для удобства:

$ 7x^2 - 31x + 30 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $ D = b^2 - 4ac $:

$ D = (-31)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 30 = 961 - 840 = 121 = 11^2 $

Найдем корни уравнения:

$ x_1 = \frac{-(-31) + \sqrt{121}}{2 \cdot 7} = \frac{31 + 11}{14} = \frac{42}{14} = 3 $

$ x_2 = \frac{-(-31) - \sqrt{121}}{2 \cdot 7} = \frac{31 - 11}{14} = \frac{20}{14} = \frac{10}{7} $

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($ x \ne 1, x \ne 3 $).

Корень $ x_1 = 3 $ не удовлетворяет ОДЗ, так как при этом значении знаменатель обращается в ноль. Это посторонний корень.

Корень $ x_2 = \frac{10}{7} $ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $ \frac{10}{7} $.

б)

Исходное уравнение: $ \frac{8}{x^2 - 6x + 8} + \frac{1 - 3x}{2 - x} = \frac{4}{x - 4} $.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ), исключив значения $x$, при которых знаменатели обращаются в ноль:

$ x^2 - 6x + 8 \ne 0 $

$ 2 - x \ne 0 \implies x \ne 2 $

$ x - 4 \ne 0 \implies x \ne 4 $

Разложим на множители знаменатель $ x^2 - 6x + 8 $. Корнями уравнения $ x^2 - 6x + 8 = 0 $ являются $ x_1 = 2 $ и $ x_2 = 4 $ (по теореме Виета).
Значит, $ x^2 - 6x + 8 = (x - 2)(x - 4) $.

Таким образом, ОДЗ: $ x \ne 2 $ и $ x \ne 4 $.

Преобразуем уравнение, используя тождество $ 2 - x = -(x - 2) $:

$ \frac{8}{(x - 2)(x - 4)} + \frac{1 - 3x}{-(x - 2)} = \frac{4}{x - 4} $

$ \frac{8}{(x - 2)(x - 4)} - \frac{1 - 3x}{x - 2} = \frac{4}{x - 4} $

Приведем дроби к общему знаменателю $ (x - 2)(x - 4) $:

$ \frac{8}{(x - 2)(x - 4)} - \frac{(1 - 3x)(x - 4)}{(x - 2)(x - 4)} = \frac{4(x - 2)}{(x - 2)(x - 4)} $

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $ (x - 2)(x - 4) $, так как он не равен нулю в ОДЗ:

$ 8 - (1 - 3x)(x - 4) = 4(x - 2) $

Раскроем скобки:

$ 8 - (x - 4 - 3x^2 + 12x) = 4x - 8 $

$ 8 - (-3x^2 + 13x - 4) = 4x - 8 $

$ 8 + 3x^2 - 13x + 4 = 4x - 8 $

$ 3x^2 - 13x + 12 = 4x - 8 $

Перенесем все члены в левую часть:

$ 3x^2 - 13x - 4x + 12 + 8 = 0 $

$ 3x^2 - 17x + 20 = 0 $

Решим это квадратное уравнение. Вычислим дискриминант $ D = b^2 - 4ac $:

$ D = (-17)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 20 = 289 - 240 = 49 = 7^2 $

Найдем корни:

$ x_1 = \frac{-(-17) + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{17 + 7}{6} = \frac{24}{6} = 4 $

$ x_2 = \frac{-(-17) - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{17 - 7}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} $

Сравним найденные корни с ОДЗ ($ x \ne 2, x \ne 4 $).

Корень $ x_1 = 4 $ не удовлетворяет ОДЗ и является посторонним.

Корень $ x_2 = \frac{5}{3} $ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $ \frac{5}{3} $.

113 a) $2x + \frac{2}{x} - 5 = 0;$

б) $3x - 2x^{-1} - 1 = 0;$

в) $3x + \frac{3}{x} + 10 = 0;$

г) $4x + 5 - 6x^{-1} = 0.$

а) $2x + \frac{2}{x} - 5 = 0$

Данное уравнение является рациональным. Область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$ определяется условием $x \neq 0$, так как в уравнении присутствует деление на $x$.

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на $x$:

$x \cdot (2x + \frac{2}{x} - 5) = x \cdot 0$

$2x^2 + 2 - 5x = 0$

Запишем полученное квадратное уравнение в стандартном виде $ax^2 + bx + c = 0$:

$2x^2 - 5x + 2 = 0$

Для нахождения корней воспользуемся формулой корней квадратного уравнения через дискриминант. Коэффициенты уравнения: $a=2, b=-5, c=2$.

Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Оба найденных корня ($2$ и $\frac{1}{2}$) удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 0$), следовательно, являются решениями исходного уравнения.

Ответ: $2; \frac{1}{2}$.

б) $3x - 2x^{-1} - 1 = 0$

Преобразуем уравнение, используя свойство степени $x^{-1} = \frac{1}{x}$:

$3x - \frac{2}{x} - 1 = 0$

ОДЗ данного уравнения: $x \neq 0$.

Умножим обе части уравнения на $x$, чтобы избавиться от знаменателя:

$x \cdot (3x - \frac{2}{x} - 1) = x \cdot 0$

$3x^2 - 2 - x = 0$

Запишем квадратное уравнение в стандартном виде:

$3x^2 - x - 2 = 0$

Коэффициенты: $a=3, b=-1, c=-2$. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их:

$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{1 + 5}{6} = \frac{6}{6} = 1$

$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{1 - 5}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$

Оба корня ($1$ и $-\frac{2}{3}$) удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 0$).

Ответ: $1; -\frac{2}{3}$.

в) $3x + \frac{3}{x} + 10 = 0$

ОДЗ уравнения: $x \neq 0$. Умножим обе части уравнения на $x$:

$x \cdot (3x + \frac{3}{x} + 10) = x \cdot 0$

$3x^2 + 3 + 10x = 0$

Приведем уравнение к стандартному виду:

$3x^2 + 10x + 3 = 0$

Коэффициенты: $a=3, b=10, c=3$. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их:

$x_1 = \frac{-10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-10 + 8}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

$x_2 = \frac{-10 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-10 - 8}{6} = \frac{-18}{6} = -3$

Оба корня ($-3$ и $-\frac{1}{3}$) удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 0$).

Ответ: $-3; -\frac{1}{3}$.

г) $4x + 5 - 6x^{-1} = 0$

Преобразуем уравнение, используя свойство $x^{-1} = \frac{1}{x}$:

$4x + 5 - \frac{6}{x} = 0$

ОДЗ уравнения: $x \neq 0$. Умножим обе части уравнения на $x$:

$x \cdot (4x + 5 - \frac{6}{x}) = x \cdot 0$

$4x^2 + 5x - 6 = 0$

Получили квадратное уравнение в стандартном виде. Коэффициенты: $a=4, b=5, c=-6$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-6) = 25 + 96 = 121$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их:

$x_1 = \frac{-5 + \sqrt{121}}{2 \cdot 4} = \frac{-5 + 11}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

$x_2 = \frac{-5 - \sqrt{121}}{2 \cdot 4} = \frac{-5 - 11}{8} = \frac{-16}{8} = -2$

Оба корня ($-2$ и $\frac{3}{4}$) удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 0$).

Ответ: $-2; \frac{3}{4}$.