Страница 238, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

146 a) Найдите наименьшее целое значение p, при котором разность дробей $\frac{3 - p}{4}$ и $\frac{5 - 2p}{18}$ отрицательна.

б) Найдите наибольшее целое значение k, при котором сумма дробей $\frac{5 - 2k}{4}$ и $\frac{9 + 2k}{6}$ положительна.

а)

Чтобы найти наименьшее целое значение $p$, при котором разность дробей $\frac{3 - p}{4}$ и $\frac{5 - 2p}{18}$ отрицательна, необходимо составить и решить неравенство:

$\frac{3 - p}{4} - \frac{5 - 2p}{18} < 0$

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для чисел 4 и 18 равно 36. Дополнительный множитель для первой дроби — 9, для второй — 2.

$\frac{9(3 - p)}{36} - \frac{2(5 - 2p)}{36} < 0$

Запишем все под одним знаменателем и раскроем скобки в числителе:

$\frac{27 - 9p - (10 - 4p)}{36} < 0$

$\frac{27 - 9p - 10 + 4p}{36} < 0$

Упростим выражение в числителе:

$\frac{17 - 5p}{36} < 0$

Поскольку знаменатель дроби (36) является положительным числом, то для того, чтобы вся дробь была отрицательной, ее числитель должен быть отрицательным:

$17 - 5p < 0$

Перенесем 17 в правую часть:

$-5p < -17$

Разделим обе части неравенства на -5, изменив при этом знак неравенства на противоположный:

$p > \frac{-17}{-5}$

$p > 3.4$

Мы ищем наименьшее целое значение $p$, которое больше 3.4. Это число 4.

Ответ: 4.

б)

Чтобы найти наибольшее целое значение $k$, при котором сумма дробей $\frac{5 - 2k}{4}$ и $\frac{9 + 2k}{6}$ положительна, составим и решим неравенство:

$\frac{5 - 2k}{4} + \frac{9 + 2k}{6} > 0$

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для чисел 4 и 6 равно 12. Дополнительный множитель для первой дроби — 3, для второй — 2.

$\frac{3(5 - 2k)}{12} + \frac{2(9 + 2k)}{12} > 0$

Запишем все под одним знаменателем и раскроем скобки в числителе:

$\frac{15 - 6k + 18 + 4k}{12} > 0$

Упростим выражение в числителе:

$\frac{33 - 2k}{12} > 0$

Поскольку знаменатель дроби (12) является положительным числом, то для того, чтобы вся дробь была положительной, ее числитель должен быть положительным:

$33 - 2k > 0$

Перенесем $2k$ в правую часть:

$33 > 2k$

Разделим обе части на 2:

$\frac{33}{2} > k$

$16.5 > k$ или $k < 16.5$

Мы ищем наибольшее целое значение $k$, которое меньше 16.5. Это число 16.

Ответ: 16.

Решите неравенство:

147 a) $x^2 + 3x + 2 < 0;$

б) $-x^2 - x + 12 \leq 0;$

в) $x^2 - 7x + 12 > 0;$

г) $-x^2 + 3x + 4 \geq 0.$

а) $x^2 + 3x + 2 < 0$

Для решения квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения: $x^2 + 3x + 2 = 0$.

Это приведенное квадратное уравнение, для которого можно применить теорему Виета. Сумма корней равна $-3$, а их произведение равно $2$. Легко подобрать корни: $x_1 = -2$ и $x_2 = -1$.

Также можно найти корни через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1}$

$x_1 = \frac{-3 - 1}{2} = -2$

$x_2 = \frac{-3 + 1}{2} = -1$

Графиком функции $y = x^2 + 3x + 2$ является парабола. Поскольку коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$), ветви параболы направлены вверх. Парабола пересекает ось Ох в точках $x = -2$ и $x = -1$.

Неравенство $x^2 + 3x + 2 < 0$ означает, что мы ищем значения $x$, при которых график функции находится ниже оси Ох. Это происходит на интервале между корнями.

Таким образом, решение неравенства: $x \in (-2, -1)$.

Ответ: $x \in (-2, -1)$.

б) $-x^2 - x + 12 \le 0$

Умножим обе части неравенства на $-1$. При этом знак неравенства необходимо сменить на противоположный:

$x^2 + x - 12 \ge 0$

Теперь найдем корни уравнения $x^2 + x - 12 = 0$ с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 = 7^2$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm 7}{2}$

$x_1 = \frac{-1 - 7}{2} = -4$

$x_2 = \frac{-1 + 7}{2} = 3$

Графиком функции $y = x^2 + x - 12$ является парабола с ветвями, направленными вверх ($a=1 > 0$), которая пересекает ось Ох в точках $x = -4$ и $x = 3$.

Неравенство $x^2 + x - 12 \ge 0$ выполняется, когда парабола находится на оси Ох или выше нее. Это происходит левее меньшего корня и правее большего корня. Так как неравенство нестрогое ($\ge$), сами корни включаются в решение.

Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\infty, -4] \cup [3, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -4] \cup [3, \infty)$.

в) $x^2 - 7x + 12 > 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 7x + 12 = 0$.

Воспользуемся теоремой Виета: сумма корней равна $7$, а их произведение равно $12$. Корни легко подбираются: $x_1 = 3$ и $x_2 = 4$.

Графиком функции $y = x^2 - 7x + 12$ является парабола, ветви которой направлены вверх ($a=1 > 0$). Парабола пересекает ось Ох в точках $x = 3$ и $x = 4$.

Нам нужно найти значения $x$, при которых $x^2 - 7x + 12 > 0$, то есть когда парабола находится выше оси Ох. Это происходит на интервалах левее меньшего корня и правее большего корня.

Так как неравенство строгое (>), сами корни в решение не входят.

Решение: $x \in (-\infty, 3) \cup (4, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, 3) \cup (4, \infty)$.

г) $-x^2 + 3x + 4 \ge 0$

Умножим обе части неравенства на $-1$ и сменим знак неравенства на противоположный:

$x^2 - 3x - 4 \le 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 3x - 4 = 0$.

По теореме Виета: сумма корней $x_1 + x_2 = 3$, произведение $x_1 \cdot x_2 = -4$. Отсюда находим корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = 4$.

Либо через дискриминант:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 = 5^2$

$x_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm 5}{2}$

$x_1 = \frac{3 - 5}{2} = -1$

$x_2 = \frac{3 + 5}{2} = 4$

Графиком функции $y = x^2 - 3x - 4$ является парабола с ветвями вверх ($a=1>0$), пересекающая ось Ох в точках $x = -1$ и $x = 4$.

Неравенство $x^2 - 3x - 4 \le 0$ выполняется, когда парабола находится на оси Ох или ниже нее. Это происходит на отрезке между корнями. Так как неравенство нестрогое ($\le$), сами корни включаются в решение.

Решение: $x \in [-1, 4]$.

Ответ: $x \in [-1, 4]$.

148 а) $2x^2 - 9x + 4 \ge 0$;

б) $-9x^2 - 8x + 1 > 0$;

в) $3x^2 - 4x + 1 \le 0$;

г) $-2x^2 + x + 1 < 0$.

а) $2x^2 - 9x + 4 \ge 0$
Для решения этого квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего уравнения $2x^2 - 9x + 4 = 0$.
Воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2 - 4ac$.
Коэффициенты: $a=2$, $b=-9$, $c=4$.
Вычислим дискриминант: $D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 81 - 32 = 49$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:
$x_1 = \frac{9 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{9 - 7}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$
$x_2 = \frac{9 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{9 + 7}{4} = \frac{16}{4} = 4$
Графиком функции $y = 2x^2 - 9x + 4$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент $a=2 > 0$.
Неравенство $2x^2 - 9x + 4 \ge 0$ выполняется, когда парабола находится на оси $Ox$ или выше нее. Это происходит на промежутках левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни.
Следовательно, решением является объединение промежутков $(-\infty; 0.5]$ и $[4; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; 0.5] \cup [4; +\infty)$.

б) $-9x^2 - 8x + 1 > 0$
Умножим обе части неравенства на -1, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным. При этом знак неравенства изменится на противоположный:
$9x^2 + 8x - 1 < 0$
Теперь найдем корни уравнения $9x^2 + 8x - 1 = 0$.
Коэффициенты: $a=9$, $b=8$, $c=-1$.
Дискриминант: $D = 8^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-1) = 64 + 36 = 100$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-8 - \sqrt{100}}{2 \cdot 9} = \frac{-8 - 10}{18} = \frac{-18}{18} = -1$
$x_2 = \frac{-8 + \sqrt{100}}{2 \cdot 9} = \frac{-8 + 10}{18} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$
Графиком функции $y = 9x^2 + 8x - 1$ является парабола с ветвями вверх ($a=9 > 0$).
Неравенство $9x^2 + 8x - 1 < 0$ выполняется, когда парабола находится ниже оси $Ox$. Это происходит на интервале между корнями.
Следовательно, решением является интервал $(-1; \frac{1}{9})$.
Ответ: $x \in (-1; \frac{1}{9})$.

в) $3x^2 - 4x + 1 \le 0$
Найдем корни уравнения $3x^2 - 4x + 1 = 0$.
Коэффициенты: $a=3$, $b=-4$, $c=1$.
Дискриминант: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{4 - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 - 2}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
$x_2 = \frac{4 + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 + 2}{6} = \frac{6}{6} = 1$
Графиком функции $y = 3x^2 - 4x + 1$ является парабола, ветви которой направлены вверх ($a=3 > 0$).
Неравенство $3x^2 - 4x + 1 \le 0$ выполняется, когда парабола находится на оси $Ox$ или ниже нее. Это происходит на отрезке между корнями, включая сами корни.
Следовательно, решением является отрезок $[\frac{1}{3}; 1]$.
Ответ: $x \in [\frac{1}{3}; 1]$.

г) $-2x^2 + x + 1 < 0$
Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$2x^2 - x - 1 > 0$
Найдем корни уравнения $2x^2 - x - 1 = 0$.
Коэффициенты: $a=2$, $b=-1$, $c=-1$.
Дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 3}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$
$x_2 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 3}{4} = \frac{4}{4} = 1$
Графиком функции $y = 2x^2 - x - 1$ является парабола с ветвями вверх ($a=2 > 0$).
Неравенство $2x^2 - x - 1 > 0$ выполняется, когда парабола находится выше оси $Ox$. Это происходит на интервалах левее меньшего корня и правее большего корня.
Следовательно, решением является объединение интервалов $(-\infty; -0.5)$ и $(1; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -0.5) \cup (1; +\infty)$.

149 a) $x^2 - 81 \leq 0$;

б) $-x^2 > 4x$;

в) $121 \leq x^2$;

г) $x^2 - 2x < 0$.

а) $x^2 - 81 \le 0$

Это квадратичное неравенство. Для его решения найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 81 = 0$.

Разложим левую часть на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(x - 9)(x + 9) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = -9$ и $x_2 = 9$.

Эти корни разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -9]$, $[-9; 9]$ и $[9; +\infty)$.

Графиком функции $y = x^2 - 81$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен (равен 1). Следовательно, значения функции будут меньше или равны нулю ($y \le 0$) на промежутке между корнями, включая сами корни.

Таким образом, решение неравенства — это отрезок $[-9; 9]$.

Ответ: $x \in [-9; 9]$

б) $-x^2 > 4x$

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$-x^2 - 4x > 0$

Умножим обе части неравенства на -1, изменив при этом знак неравенства на противоположный:

$x^2 + 4x < 0$

Найдем корни соответствующего уравнения $x^2 + 4x = 0$.

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x + 4) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = -4$.

Графиком функции $y = x^2 + 4x$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции будут отрицательными ($y < 0$) на интервале между корнями.

Таким образом, решение неравенства — это интервал $(-4; 0)$.

Ответ: $x \in (-4; 0)$

в) $121 \le x^2$

Перепишем неравенство в более привычном виде, перенеся 121 в правую часть:

$x^2 - 121 \ge 0$

Найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 121 = 0$.

Используя формулу разности квадратов:

$(x - 11)(x + 11) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = -11$ и $x_2 = 11$.

Графиком функции $y = x^2 - 121$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции будут больше или равны нулю ($y \ge 0$) на промежутках вне отрезка между корнями, включая сами корни.

Следовательно, решение неравенства — это объединение двух лучей: $(-\infty; -11]$ и $[11; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -11] \cup [11; +\infty)$

г) $x^2 - 2x < 0$

Это квадратичное неравенство. Найдем корни уравнения $x^2 - 2x = 0$.

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x - 2) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.

Графиком функции $y = x^2 - 2x$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции будут отрицательными ($y < 0$) на интервале между корнями.

Следовательно, решение неравенства — это интервал $(0; 2)$.

Ответ: $x \in (0; 2)$

150 a) $4x^2 - 12x + 9 > 0;$

б) $-2x^2 + x - 1 < 0;$

в) $9x^2 - 6x + 1 \le 0;$

г) $x^2 - 2x + 5 < 0.$

а) $4x^2 - 12x + 9 > 0$

Рассмотрим левую часть неравенства. Выражение $4x^2 - 12x + 9$ представляет собой формулу квадрата разности.

$4x^2 - 12x + 9 = (2x)^2 - 2 \cdot (2x) \cdot 3 + 3^2 = (2x - 3)^2$.

Таким образом, исходное неравенство можно переписать в виде: $(2x - 3)^2 > 0$.

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(2x - 3)^2 \ge 0$. Строгое неравенство $(2x - 3)^2 > 0$ будет выполняться для всех значений $x$, при которых основание степени не равно нулю.

Найдем значение $x$, при котором выражение равно нулю:

$2x - 3 = 0$

$2x = 3$

$x = \frac{3}{2} = 1.5$

Следовательно, неравенство выполняется для всех действительных чисел $x$, кроме $x = 1.5$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1.5) \cup (1.5; +\infty)$.

б) $-2x^2 + x - 1 < 0$

Чтобы упростить анализ, умножим обе части неравенства на $-1$, изменив при этом знак неравенства на противоположный:

$2x^2 - x + 1 > 0$

Рассмотрим квадратичную функцию $y = 2x^2 - x + 1$. Ее графиком является парабола. Так как старший коэффициент $a = 2$ положителен ($a > 0$), ветви параболы направлены вверх.

Найдем дискриминант соответствующего квадратного уравнения $2x^2 - x + 1 = 0$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 1 - 8 = -7$.

Поскольку дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что парабола не пересекает ось абсцисс ($Ox$).

Так как ветви параболы направлены вверх и она не пересекает ось $Ox$, вся парабола расположена выше этой оси. Следовательно, выражение $2x^2 - x + 1$ всегда положительно при любом значении $x$.

Это означает, что неравенство $2x^2 - x + 1 > 0$ (а значит и исходное неравенство $-2x^2 + x - 1 < 0$) верно для всех действительных чисел.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

в) $9x^2 - 6x + 1 \le 0$

Левая часть неравенства является полным квадратом разности:

$9x^2 - 6x + 1 = (3x)^2 - 2 \cdot (3x) \cdot 1 + 1^2 = (3x - 1)^2$.

Неравенство принимает вид: $(3x - 1)^2 \le 0$.

Выражение в квадрате, $(3x - 1)^2$, не может быть отрицательным. Оно всегда больше или равно нулю. Поэтому неравенство $(3x - 1)^2 \le 0$ может выполняться только в одном случае: когда выражение равно нулю.

$(3x - 1)^2 = 0$

$3x - 1 = 0$

$3x = 1$

$x = \frac{1}{3}$

Таким образом, неравенство имеет единственное решение.

Ответ: $x = \frac{1}{3}$.

г) $x^2 - 2x + 5 < 0$

Рассмотрим квадратичную функцию $y = x^2 - 2x + 5$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, так как старший коэффициент $a = 1 > 0$.

Найдем дискриминант соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 2x + 5 = 0$:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16$.

Так как дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Это значит, что парабола не пересекает ось $Ox$.

Поскольку ветви параболы направлены вверх и она не пересекает ось $Ox$, вся парабола находится выше оси $Ox$. Это означает, что выражение $x^2 - 2x + 5$ всегда принимает только положительные значения.

Следовательно, неравенство $x^2 - 2x + 5 < 0$ (т.е. выражение меньше нуля) никогда не выполняется.

Ответ: решений нет.

Найдите, при каких значениях переменной выражение имеет смысл:

151 а) $ \sqrt{4x - 9} $;

б) $ \frac{1}{\sqrt{5 - 7x}} $;

в) $ \sqrt{3 - 9x} $;

г) $ \frac{1}{\sqrt{5x + 3}} $.

а) Выражение $\sqrt{4x - 9}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно, то есть больше или равно нулю. Это условие можно записать в виде неравенства:

$4x - 9 \geq 0$

Для решения неравенства перенесем $-9$ в правую часть, изменив знак:

$4x \geq 9$

Теперь разделим обе части неравенства на 4:

$x \geq \frac{9}{4}$

Можно представить дробь в виде десятичного числа:

$x \geq 2.25$

Ответ: $x \geq 2.25$

б) Выражение $\frac{1}{\sqrt{5 - 7x}}$ имеет смысл при выполнении двух условий:
1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $5 - 7x \geq 0$.
2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $\sqrt{5 - 7x} \neq 0$, что означает $5 - 7x \neq 0$.
Объединив эти два условия, получаем, что подкоренное выражение должно быть строго больше нуля. Составим и решим строгое неравенство:

$5 - 7x > 0$

Перенесем $5$ в правую часть неравенства:

$-7x > -5$

Разделим обе части на $-7$. Важно помнить, что при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x < \frac{-5}{-7}$

$x < \frac{5}{7}$

Ответ: $x < \frac{5}{7}$

в) Выражение $\sqrt{3 - 9x}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно. Запишем и решим соответствующее неравенство:

$3 - 9x \geq 0$

Перенесем $3$ в правую часть:

$-9x \geq -3$

Разделим обе части на $-9$ и изменим знак неравенства на противоположный:

$x \leq \frac{-3}{-9}$

$x \leq \frac{1}{3}$

Ответ: $x \leq \frac{1}{3}$

г) Выражение $\frac{1}{\sqrt{5x + 3}}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение, находящееся в знаменателе, строго больше нуля (подкоренное выражение не может быть отрицательным, а знаменатель не может быть равен нулю). Составим и решим неравенство:

$5x + 3 > 0$

Перенесем $3$ в правую часть, изменив знак:

$5x > -3$

Разделим обе части неравенства на 5:

$x > -\frac{3}{5}$

Можно представить дробь в виде десятичного числа:

$x > -0.6$

Ответ: $x > -0.6$

152 a) $ \sqrt{x^2 - 3x} $;

б) $ \frac{1}{\sqrt{12 - 3x^2}} $;

в) $ \sqrt{36 - x^2} $;

г) $ \frac{1}{\sqrt{4x^2 - 8x}} $.

а)

Чтобы найти область определения функции $y = \sqrt{x^2 - 3x}$, необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным. Решим неравенство:

$x^2 - 3x \geq 0$

Найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 3x = 0$, вынеся $x$ за скобки:

$x(x - 3) = 0$

Корнями уравнения являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$.

Графиком функции $y = x^2 - 3x$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, выражение $x^2 - 3x$ принимает неотрицательные значения на промежутках, где график находится выше или на оси абсцисс. Это происходит при $x \leq 0$ и при $x \geq 3$.

Таким образом, область определения функции — это объединение промежутков $(-\infty; 0]$ и $[3; \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0] \cup [3; \infty)$.

б)

Для функции $y = \frac{1}{\sqrt{12 - 3x^2}}$ выражение под корнем должно быть строго положительным, так как корень находится в знаменателе дроби (знаменатель не может быть равен нулю). Решим строгое неравенство:

$12 - 3x^2 > 0$

Вынесем 3 за скобки:

$3(4 - x^2) > 0$

Разделим обе части на 3:

$4 - x^2 > 0$

$x^2 < 4$

Это неравенство выполняется, когда $|x| < 2$, то есть $-2 < x < 2$.

Ответ: $x \in (-2; 2)$.

в)

Чтобы найти область определения функции $y = \sqrt{36 - x^2}$, необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным. Решим неравенство:

$36 - x^2 \geq 0$

$x^2 \leq 36$

Это неравенство выполняется, когда $|x| \leq 6$, то есть $-6 \leq x \leq 6$.

Ответ: $x \in [-6; 6]$.

г)

Для функции $y = \frac{1}{\sqrt{4x^2 - 8x}}$ подкоренное выражение должно быть строго положительным, так как оно находится в знаменателе. Решим строгое неравенство:

$4x^2 - 8x > 0$

Разделим обе части на 4:

$x^2 - 2x > 0$

Найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 2x = 0$:

$x(x - 2) = 0$

Корнями являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.

Графиком функции $y = x^2 - 2x$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, выражение $x^2 - 2x$ принимает положительные значения на промежутках, где график находится строго выше оси абсцисс. Это происходит при $x < 0$ и при $x > 2$.

Таким образом, область определения функции — это объединение промежутков $(-\infty; 0)$ и $(2; \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (2; \infty)$.

153 а) $\sqrt{x^2 - 8x + 15};$

б) $\sqrt{(-x^2 + 9x - 20)^{-1}};$

в) $\sqrt{(x^2 + 7x + 12)^{-1}};$

г) $\sqrt{-x^2 - 11x - 28}.$

а)

Чтобы найти область определения выражения $\sqrt{x^2 - 8x + 15}$, необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным.Решим неравенство:$x^2 - 8x + 15 \ge 0$.

Сначала найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 8x + 15$, приравняв его к нулю:$x^2 - 8x + 15 = 0$.Используя теорему Виета, находим корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = 5$.

Графиком функции $y = x^2 - 8x + 15$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен. Следовательно, значения функции неотрицательны на промежутках, находящихся вне корней.Таким образом, решение неравенства: $x \le 3$ или $x \ge 5$.

Ответ: $x \in (-\infty, 3] \cup [5, +\infty)$.

б)

Выражение $\sqrt{(-x^2 + 9x - 20)^{-1}}$ можно представить в виде $\sqrt{\frac{1}{-x^2 + 9x - 20}}$.

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Поскольку числитель дроби равен 1 (положительное число), знаменатель должен быть строго положительным (деление на ноль недопустимо).$-x^2 + 9x - 20 > 0$.

Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:$x^2 - 9x + 20 < 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 9x + 20 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 4$ и $x_2 = 5$.

Графиком функции $y = x^2 - 9x + 20$ является парабола с ветвями вверх. Значения функции отрицательны на интервале между корнями.Следовательно, $4 < x < 5$.

Ответ: $x \in (4, 5)$.

в)

Выражение $\sqrt{(x^2 + 7x + 12)^{-1}}$ можно представить в виде $\sqrt{\frac{1}{x^2 + 7x + 12}}$.

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Так как числитель дроби положителен, знаменатель также должен быть строго положительным.$x^2 + 7x + 12 > 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 7x + 12 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -4$ и $x_2 = -3$.

Графиком функции $y = x^2 + 7x + 12$ является парабола с ветвями вверх. Значения функции положительны на промежутках вне корней.Следовательно, $x < -4$ или $x > -3$.

Ответ: $x \in (-\infty, -4) \cup (-3, +\infty)$.

г)

Чтобы найти область определения выражения $\sqrt{-x^2 - 11x - 28}$, необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным.$-x^2 - 11x - 28 \ge 0$.

Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак на противоположный:$x^2 + 11x + 28 \le 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 11x + 28 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -7$ и $x_2 = -4$.

Графиком функции $y = x^2 + 11x + 28$ является парабола с ветвями вверх. Значения функции неположительны (меньше или равны нулю) на отрезке между корнями.Следовательно, $-7 \le x \le -4$.

Ответ: $x \in [-7, -4]$.

154 a) $\sqrt{(x^2 + 8x + 16)^{-1}}$;

б) $\sqrt{(-x^2 + 2x - 3)^{-1}};

в) $\sqrt{x^2 + 6x + 10}$;

г) $\sqrt{-x^2 + 2x - 1}$.

а)

Данное выражение: $\sqrt{(x^2 + 8x + 16)^{-1}}$.

Сначала преобразуем выражение в скобках. Квадратный трехчлен $x^2 + 8x + 16$ является полным квадратом суммы, так как соответствует формуле $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$, где $a=x$ и $b=4$.

$x^2 + 8x + 16 = (x+4)^2$.

Теперь подставим это в исходное выражение:

$\sqrt{((x+4)^2)^{-1}}$

Степень -1 означает обратное число, то есть $a^{-1} = \frac{1}{a}$. Применим это свойство:

$\sqrt{\frac{1}{(x+4)^2}}$

Далее воспользуемся свойством корня из дроби $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ и свойством $\sqrt{y^2} = |y|$:

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{(x+4)^2}} = \frac{1}{|x+4|}$

Выражение имеет смысл при всех значениях $x$, кроме тех, при которых знаменатель равен нулю.

$|x+4| \neq 0 \implies x+4 \neq 0 \implies x \neq -4$.

Ответ: $\frac{1}{|x+4|}$.

б)

Данное выражение: $\sqrt{(-x^2 + 2x - 3)^{-1}}$.

Преобразуем его, используя свойство отрицательной степени:

$\sqrt{\frac{1}{-x^2 + 2x - 3}}$

Для того чтобы корень из выражения был определен в действительных числах, подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$\frac{1}{-x^2 + 2x - 3} \ge 0$

Так как числитель дроби (1) положителен, то для выполнения неравенства знаменатель также должен быть строго положителен:

$-x^2 + 2x - 3 > 0$

Рассмотрим квадратичную функцию $y = -x^2 + 2x - 3$. Это парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $x^2$ отрицателен). Найдем ее вершину. Координата $x$ вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2(-1)} = 1$.

Максимальное значение функции достигается в вершине: $y(1) = -(1)^2 + 2(1) - 3 = -1 + 2 - 3 = -2$.

Поскольку максимальное значение функции равно -2, выражение $-x^2 + 2x - 3$ всегда отрицательно при любом значении $x$.

Следовательно, неравенство $-x^2 + 2x - 3 > 0$ не имеет решений. Подкоренное выражение всегда отрицательно, а корень из отрицательного числа в области действительных чисел не определен.

Ответ: выражение не имеет смысла (не определено в области действительных чисел).

в)

Данное выражение: $\sqrt{x^2 + 6x + 10}$.

Рассмотрим подкоренное выражение $x^2 + 6x + 10$. Это квадратичная функция $y=x^2 + 6x + 10$. Парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ положителен).

Выделим полный квадрат в этом выражении:

$x^2 + 6x + 10 = (x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) - 3^2 + 10 = (x+3)^2 - 9 + 10 = (x+3)^2 + 1$.

Таким образом, исходное выражение можно переписать в виде:

$\sqrt{(x+3)^2 + 1}$

Так как $(x+3)^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $(x+3)^2 + 1 \ge 1$. Это означает, что подкоренное выражение всегда положительно. Следовательно, выражение определено для всех действительных чисел $x$.

В таком виде выражение уже не упрощается.

Ответ: $\sqrt{(x+3)^2 + 1}$.

г)

Данное выражение: $\sqrt{-x^2 + 2x - 1}$.

Для того чтобы корень был определен, подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$-x^2 + 2x - 1 \ge 0$

Вынесем минус за скобки:

$-(x^2 - 2x + 1) \ge 0$

Выражение в скобках является полным квадратом разности: $x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$.

Неравенство принимает вид:

$-(x-1)^2 \ge 0$

Квадрат любого действительного числа неотрицателен, то есть $(x-1)^2 \ge 0$.

Если умножить это неравенство на -1, знак неравенства изменится на противоположный: $-(x-1)^2 \le 0$.

Таким образом, выражение $-(x-1)^2$ одновременно должно быть $\ge 0$ и $\le 0$. Это возможно только в том случае, если оно равно нулю:

$-(x-1)^2 = 0 \implies (x-1)^2 = 0 \implies x-1=0 \implies x=1$.

Следовательно, данное выражение определено только при $x=1$. Найдем его значение при $x=1$:

$\sqrt{-(1)^2 + 2(1) - 1} = \sqrt{-1+2-1} = \sqrt{0} = 0$.

Ответ: выражение равно 0 при $x=1$ и не определено при других действительных значениях $x$.

155 а) $\frac{\sqrt{3 - 5x - 2x^2}}{7x}$;

б) $\frac{\sqrt{3x^2 - x - 14}}{2x + 5}$;

в) $\frac{\sqrt{2 - 5x - 3x^2}}{9x}$;

г) $\frac{\sqrt{3x^2 - 4x - 15}}{7 - 2x}$.

а) Область определения функции $y = \frac{\sqrt{3 - 5x - 2x^2}}{7x}$ находится из системы условий:
$\begin{cases} 3 - 5x - 2x^2 \ge 0 \\ 7x \ne 0 \end{cases}$
1. Решим квадратное неравенство $3 - 5x - 2x^2 \ge 0$ или $-2x^2 - 5x + 3 \ge 0$.
Найдем корни соответствующего уравнения $-2x^2 - 5x + 3 = 0$. Умножим на -1: $2x^2 + 5x - 3 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.
Корни: $x_1 = \frac{-5 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-12}{4} = -3$; $x_2 = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = 0.5$.
Так как коэффициент при $x^2$ в неравенстве $-2x^2 - 5x + 3 \ge 0$ отрицательный ($a=-2$), ветви параболы направлены вниз. Следовательно, неравенство выполняется на промежутке между корнями: $x \in [-3, 0.5]$.
2. Решим условие $7x \ne 0$. Отсюда следует, что $x \ne 0$.
3. Объединим оба условия: $x \in [-3, 0.5]$ и $x \ne 0$.
Получаем область определения: $[-3, 0) \cup (0, 0.5]$.
Ответ: $x \in [-3, 0) \cup (0, 0.5]$.

б) Область определения функции $y = \frac{\sqrt{3x^2 - x - 14}}{2x + 5}$ находится из системы условий:
$\begin{cases} 3x^2 - x - 14 \ge 0 \\ 2x + 5 \ne 0 \end{cases}$
1. Решим квадратное неравенство $3x^2 - x - 14 \ge 0$.
Найдем корни уравнения $3x^2 - x - 14 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-14) = 1 + 168 = 169 = 13^2$.
Корни: $x_1 = \frac{1 - 13}{2 \cdot 3} = \frac{-12}{6} = -2$; $x_2 = \frac{1 + 13}{2 \cdot 3} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$.
Так как коэффициент при $x^2$ положительный ($a=3$), ветви параболы направлены вверх. Следовательно, неравенство выполняется на промежутках вне корней: $x \in (-\infty, -2] \cup [\frac{7}{3}, +\infty)$.
2. Решим условие $2x + 5 \ne 0$. Отсюда $2x \ne -5$, то есть $x \ne -2.5$.
3. Объединим оба условия: $x \in (-\infty, -2] \cup [\frac{7}{3}, +\infty)$ и $x \ne -2.5$.
Точка $x = -2.5$ принадлежит промежутку $(-\infty, -2]$, поэтому ее необходимо исключить.
Получаем область определения: $(-\infty, -2.5) \cup (-2.5, -2] \cup [\frac{7}{3}, +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -2.5) \cup (-2.5, -2] \cup [\frac{7}{3}, +\infty)$.

в) Область определения функции $y = \frac{\sqrt{2 - 5x - 3x^2}}{9x}$ находится из системы условий:
$\begin{cases} 2 - 5x - 3x^2 \ge 0 \\ 9x \ne 0 \end{cases}$
1. Решим квадратное неравенство $2 - 5x - 3x^2 \ge 0$ или $-3x^2 - 5x + 2 \ge 0$.
Найдем корни уравнения $-3x^2 - 5x + 2 = 0$. Умножим на -1: $3x^2 + 5x - 2 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.
Корни: $x_1 = \frac{-5 - 7}{2 \cdot 3} = \frac{-12}{6} = -2$; $x_2 = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
Так как коэффициент при $x^2$ в неравенстве $-3x^2 - 5x + 2 \ge 0$ отрицательный ($a=-3$), ветви параболы направлены вниз. Следовательно, неравенство выполняется на промежутке между корнями: $x \in [-2, \frac{1}{3}]$.
2. Решим условие $9x \ne 0$. Отсюда следует, что $x \ne 0$.
3. Объединим оба условия: $x \in [-2, \frac{1}{3}]$ и $x \ne 0$.
Получаем область определения: $[-2, 0) \cup (0, \frac{1}{3}]$.
Ответ: $x \in [-2, 0) \cup (0, \frac{1}{3}]$.

г) Область определения функции $y = \frac{\sqrt{3x^2 - 4x - 15}}{7 - 2x}$ находится из системы условий:
$\begin{cases} 3x^2 - 4x - 15 \ge 0 \\ 7 - 2x \ne 0 \end{cases}$
1. Решим квадратное неравенство $3x^2 - 4x - 15 \ge 0$.
Найдем корни уравнения $3x^2 - 4x - 15 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-15) = 16 + 180 = 196 = 14^2$.
Корни: $x_1 = \frac{4 - 14}{2 \cdot 3} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}$; $x_2 = \frac{4 + 14}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3$.
Так как коэффициент при $x^2$ положительный ($a=3$), ветви параболы направлены вверх. Следовательно, неравенство выполняется на промежутках вне корней: $x \in (-\infty, -\frac{5}{3}] \cup [3, +\infty)$.
2. Решим условие $7 - 2x \ne 0$. Отсюда $2x \ne 7$, то есть $x \ne 3.5$.
3. Объединим оба условия: $x \in (-\infty, -\frac{5}{3}] \cup [3, +\infty)$ и $x \ne 3.5$.
Точка $x = 3.5$ принадлежит промежутку $[3, +\infty)$, поэтому ее необходимо исключить.
Получаем область определения: $(-\infty, -\frac{5}{3}] \cup [3, 3.5) \cup (3.5, +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -\frac{5}{3}] \cup [3, 3.5) \cup (3.5, +\infty)$.

156 Найдите область определения функции:

а) $y = \sqrt{2x + 8};$

б) $y = \frac{1}{\sqrt{10x^2 - 3x - 1}};$

в) $y = \sqrt{(3x - 18)^{-1}};$

г) $y = \sqrt{10 + 3x - x^2}.$

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. Для каждой из предложенных функций найдем это множество.

а) $y = \sqrt{2x + 8}$

Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным. Это основное условие для нахождения области определения данной функции.

Составим и решим неравенство:

$2x + 8 \ge 0$

Перенесем 8 в правую часть:

$2x \ge -8$

Разделим обе части на 2:

$x \ge -4$

Таким образом, область определения функции — это все числа, большие или равные -4.

Ответ: $x \in [-4; +\infty)$.

б) $y = \frac{1}{\sqrt{10x^2 - 3x - 1}}$

В данном случае у нас есть два ограничения:
1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным.
2. Знаменатель дроби не может быть равен нулю.

Объединяя эти два условия, получаем, что выражение под корнем в знаменателе должно быть строго больше нуля.

Составим и решим строгое неравенство:

$10x^2 - 3x - 1 > 0$

Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $10x^2 - 3x - 1 = 0$ с помощью дискриминанта.

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-1) = 9 + 40 = 49 = 7^2$

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 7}{2 \cdot 10} = \frac{-4}{20} = -\frac{1}{5}$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 7}{2 \cdot 10} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$

Графиком функции $y = 10x^2 - 3x - 1$ является парабола с ветвями, направленными вверх (так как $a = 10 > 0$). Значения функции положительны вне интервала между корнями.

Следовательно, решение неравенства — это объединение двух интервалов.

Ответ: $x \in (-\infty; -1/5) \cup (1/2; +\infty)$.

в) $y = \sqrt{(3x - 18)^{-1}}$

Сначала преобразуем функцию, используя свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$y = \sqrt{\frac{1}{3x - 18}}$

Как и в предыдущем примере, выражение под корнем должно быть неотрицательным, а знаменатель не должен равняться нулю. Выражение $\frac{1}{3x-18}$ будет неотрицательным, только если его знаменатель $3x-18$ будет строго положительным, так как числитель 1 — положительное число.

Составим и решим неравенство:

$3x - 18 > 0$

$3x > 18$

$x > 6$

Область определения — все числа, строго большие 6.

Ответ: $x \in (6; +\infty)$.

г) $y = \sqrt{10 + 3x - x^2}$

Аналогично пункту а), выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным.

Составим и решим неравенство:

$10 + 3x - x^2 \ge 0$

Для удобства умножим обе части неравенства на -1, изменив при этом знак неравенства на противоположный:

$x^2 - 3x - 10 \le 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 3x - 10 = 0$.

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 = 7^2$

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{3 - 7}{2} = -2$

$x_2 = \frac{3 + 7}{2} = 5$

Графиком функции $y = x^2 - 3x - 10$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Неравенство $x^2 - 3x - 10 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями, включая сами корни.

Ответ: $x \in [-2; 5]$.

157 Найдите значение k, при котором квадратное уравнение обладает данным свойством:

a) $5x^2 - kx + 5 = 0$ имеет два корня;

б) $3x^2 + 2kx - (k - 6) = 0$ имеет корни;

в) $3x^2 + 2kx + 12 = 0$ не имеет корней;

г) $2x^2 - kx + k + 6 = 0$ имеет не более одного корня.

Для решения задачи воспользуемся свойством дискриминанта квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Дискриминант $D = b^2 - 4ac$ определяет количество действительных корней уравнения:

• Если $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
• Если $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень (или два совпадающих).
• Если $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

а) $5x^2 - kx + 5 = 0$ имеет два корня;

Квадратное уравнение имеет два различных действительных корня, если его дискриминант $D$ строго больше нуля.

Для уравнения $5x^2 - kx + 5 = 0$ коэффициенты равны: $a = 5$, $b = -k$, $c = 5$.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-k)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 5 = k^2 - 100$.

Условие $D > 0$ приводит к неравенству:

$k^2 - 100 > 0$.

$(k - 10)(k + 10) > 0$.

Решая это неравенство методом интервалов, находим, что оно выполняется при $k < -10$ или $k > 10$.

Ответ: $k \in (-\infty; -10) \cup (10; +\infty)$.

б) $3x^2 + 2kx - (k - 6) = 0$ имеет корни;

Квадратное уравнение имеет корни (один или два), если его дискриминант $D$ неотрицателен, то есть $D \ge 0$.

Для уравнения $3x^2 + 2kx - (k - 6) = 0$ коэффициенты равны: $a = 3$, $b = 2k$, $c = -(k - 6) = 6 - k$.

Так как коэффициент $b$ четный, удобно использовать формулу для $D/4$:

$\frac{D}{4} = (\frac{b}{2})^2 - ac = k^2 - 3 \cdot (-(k - 6)) = k^2 + 3(k - 6) = k^2 + 3k - 18$.

Условие $\frac{D}{4} \ge 0$ приводит к неравенству:

$k^2 + 3k - 18 \ge 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $k^2 + 3k - 18 = 0$. По теореме Виета, корни $k_1 = -6$ и $k_2 = 3$.

Неравенство можно записать в виде $(k + 6)(k - 3) \ge 0$.

Решая это неравенство методом интервалов, получаем, что оно выполняется при $k \le -6$ или $k \ge 3$.

Ответ: $k \in (-\infty; -6] \cup [3; +\infty)$.

в) $3x^2 + 2kx + 12 = 0$ не имеет корней;

Квадратное уравнение не имеет действительных корней, если его дискриминант $D$ отрицателен, то есть $D < 0$.

Для уравнения $3x^2 + 2kx + 12 = 0$ коэффициенты равны: $a = 3$, $b = 2k$, $c = 12$.

Используем формулу для $D/4$:

$\frac{D}{4} = (\frac{b}{2})^2 - ac = k^2 - 3 \cdot 12 = k^2 - 36$.

Условие $\frac{D}{4} < 0$ приводит к неравенству:

$k^2 - 36 < 0$.

$(k - 6)(k + 6) < 0$.

Решая это неравенство, находим, что оно выполняется при $-6 < k < 6$.

Ответ: $k \in (-6; 6)$.

г) $2x^2 - kx + k + 6 = 0$ имеет не более одного корня.

Квадратное уравнение имеет не более одного корня (то есть один корень или не имеет корней), если его дискриминант $D$ неположителен, то есть $D \le 0$.

Для уравнения $2x^2 - kx + k + 6 = 0$ коэффициенты равны: $a = 2$, $b = -k$, $c = k + 6$.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-k)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (k + 6) = k^2 - 8(k + 6) = k^2 - 8k - 48$.

Условие $D \le 0$ приводит к неравенству:

$k^2 - 8k - 48 \le 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $k^2 - 8k - 48 = 0$.

Дискриминант для этого уравнения (относительно $k$): $D_k = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 64 + 192 = 256 = 16^2$.

Корни: $k_1 = \frac{8 - 16}{2} = -4$ и $k_2 = \frac{8 + 16}{2} = 12$.

Неравенство можно записать в виде $(k + 4)(k - 12) \le 0$.

Решая это неравенство, находим, что оно выполняется при $-4 \le k \le 12$.

Ответ: $k \in [-4; 12]$.

158 Решите задачу, выделяя три этапа математического моделирования.

а) Одна сторона прямоугольника на 3 см больше другой, а его площадь больше $70 \text{ см}^2$. Какую длину может иметь меньшая сторона прямоугольника?

б) Один из катетов прямоугольного треугольника на 5 см меньше другого, а площадь этого треугольника больше $25 \text{ см}^2$. Какую длину может иметь больший катет?

Этап 1. Составление математической модели.
Пусть $x$ см — длина меньшей стороны прямоугольника. Так как длина стороны является положительной величиной, то $x > 0$. Тогда длина большей стороны составляет $(x + 3)$ см. Площадь прямоугольника $S$ равна произведению его сторон: $S = x(x + 3)$. Согласно условию задачи, площадь больше 70 см², следовательно, $x(x + 3) > 70$. Математическая модель задачи представляет собой систему неравенств: $\begin{cases} x(x+3) > 70 \\ x > 0 \end{cases}$.

Этап 2. Работа с математической моделью.
Решим полученное неравенство $x(x + 3) > 70$. Раскроем скобки и перенесем все члены в левую часть: $x^2 + 3x - 70 > 0$. Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $x^2 + 3x - 70 = 0$. Вычислим дискриминант: $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-70) = 9 + 280 = 289 = 17^2$. Корни уравнения равны: $x_1 = \frac{-3 - 17}{2} = -10$ и $x_2 = \frac{-3 + 17}{2} = 7$. Графиком функции $y = x^2 + 3x - 70$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Следовательно, неравенство $x^2 + 3x - 70 > 0$ выполняется для значений $x$, находящихся вне интервала между корнями, то есть при $x < -10$ или $x > 7$.

Этап 3. Интерпретация результата.
Мы получили, что решением неравенства является объединение интервалов $(-\infty; -10) \cup (7; +\infty)$. Однако, поскольку $x$ обозначает длину стороны прямоугольника, она должна быть положительной, то есть $x > 0$. Совмещая оба условия ($x \in (-\infty; -10) \cup (7; +\infty)$ и $x > 0$), получаем, что $x > 7$. Таким образом, длина меньшей стороны прямоугольника должна быть больше 7 см.

Ответ: меньшая сторона прямоугольника может иметь длину больше 7 см.

Этап 1. Составление математической модели.
Пусть $x$ см — длина большего катета прямоугольного треугольника. Так как длина катета — положительная величина, то $x > 0$. Тогда длина меньшего катета равна $(x - 5)$ см. Длина меньшего катета также должна быть положительной, поэтому $x - 5 > 0$, откуда $x > 5$. Площадь прямоугольного треугольника $S$ вычисляется как половина произведения его катетов: $S = \frac{1}{2} x (x - 5)$. По условию задачи, площадь больше 25 см², то есть $\frac{1}{2} x (x - 5) > 25$. Математическая модель задачи — это система неравенств: $\begin{cases} \frac{1}{2}x(x-5) > 25 \\ x > 5 \end{cases}$.

Этап 2. Работа с математической моделью.
Решим неравенство $\frac{1}{2} x (x - 5) > 25$. Умножим обе части на 2: $x(x - 5) > 50$. Раскроем скобки и преобразуем неравенство: $x^2 - 5x - 50 > 0$. Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 5x - 50 = 0$. Вычислим дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-50) = 25 + 200 = 225 = 15^2$. Корни уравнения равны: $x_1 = \frac{5 - 15}{2} = -5$ и $x_2 = \frac{5 + 15}{2} = 10$. Графиком функции $y = x^2 - 5x - 50$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Неравенство $x^2 - 5x - 50 > 0$ выполняется при $x < -5$ или $x > 10$.

Этап 3. Интерпретация результата.
Решением неравенства является объединение интервалов $(-\infty; -5) \cup (10; +\infty)$. Из физического смысла задачи (длины катетов должны быть положительными) мы имеем ограничение $x > 5$. Совмещая это ограничение с полученным решением, находим, что $x > 10$. Это означает, что длина большего катета должна быть больше 10 см.

Ответ: больший катет может иметь длину больше 10 см.