Номер 158, страница 238, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Итоговое повторение - номер 158, страница 238.

Условие.

158 Решите задачу, выделяя три этапа математического моделирования.

а) Одна сторона прямоугольника на 3 см больше другой, а его площадь больше $70 \text{ см}^2$. Какую длину может иметь меньшая сторона прямоугольника?

б) Один из катетов прямоугольного треугольника на 5 см меньше другого, а площадь этого треугольника больше $25 \text{ см}^2$. Какую длину может иметь больший катет?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Этап 1. Составление математической модели.
Пусть $x$ см — длина меньшей стороны прямоугольника. Так как длина стороны является положительной величиной, то $x > 0$. Тогда длина большей стороны составляет $(x + 3)$ см. Площадь прямоугольника $S$ равна произведению его сторон: $S = x(x + 3)$. Согласно условию задачи, площадь больше 70 см², следовательно, $x(x + 3) > 70$. Математическая модель задачи представляет собой систему неравенств: $\begin{cases} x(x+3) > 70 \\ x > 0 \end{cases}$.

Этап 2. Работа с математической моделью.
Решим полученное неравенство $x(x + 3) > 70$. Раскроем скобки и перенесем все члены в левую часть: $x^2 + 3x - 70 > 0$. Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $x^2 + 3x - 70 = 0$. Вычислим дискриминант: $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-70) = 9 + 280 = 289 = 17^2$. Корни уравнения равны: $x_1 = \frac{-3 - 17}{2} = -10$ и $x_2 = \frac{-3 + 17}{2} = 7$. Графиком функции $y = x^2 + 3x - 70$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Следовательно, неравенство $x^2 + 3x - 70 > 0$ выполняется для значений $x$, находящихся вне интервала между корнями, то есть при $x < -10$ или $x > 7$.

Этап 3. Интерпретация результата.
Мы получили, что решением неравенства является объединение интервалов $(-\infty; -10) \cup (7; +\infty)$. Однако, поскольку $x$ обозначает длину стороны прямоугольника, она должна быть положительной, то есть $x > 0$. Совмещая оба условия ($x \in (-\infty; -10) \cup (7; +\infty)$ и $x > 0$), получаем, что $x > 7$. Таким образом, длина меньшей стороны прямоугольника должна быть больше 7 см.

Ответ: меньшая сторона прямоугольника может иметь длину больше 7 см.

б)

Этап 1. Составление математической модели.
Пусть $x$ см — длина большего катета прямоугольного треугольника. Так как длина катета — положительная величина, то $x > 0$. Тогда длина меньшего катета равна $(x - 5)$ см. Длина меньшего катета также должна быть положительной, поэтому $x - 5 > 0$, откуда $x > 5$. Площадь прямоугольного треугольника $S$ вычисляется как половина произведения его катетов: $S = \frac{1}{2} x (x - 5)$. По условию задачи, площадь больше 25 см², то есть $\frac{1}{2} x (x - 5) > 25$. Математическая модель задачи — это система неравенств: $\begin{cases} \frac{1}{2}x(x-5) > 25 \\ x > 5 \end{cases}$.

Этап 2. Работа с математической моделью.
Решим неравенство $\frac{1}{2} x (x - 5) > 25$. Умножим обе части на 2: $x(x - 5) > 50$. Раскроем скобки и преобразуем неравенство: $x^2 - 5x - 50 > 0$. Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 5x - 50 = 0$. Вычислим дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-50) = 25 + 200 = 225 = 15^2$. Корни уравнения равны: $x_1 = \frac{5 - 15}{2} = -5$ и $x_2 = \frac{5 + 15}{2} = 10$. Графиком функции $y = x^2 - 5x - 50$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Неравенство $x^2 - 5x - 50 > 0$ выполняется при $x < -5$ или $x > 10$.

Этап 3. Интерпретация результата.
Решением неравенства является объединение интервалов $(-\infty; -5) \cup (10; +\infty)$. Из физического смысла задачи (длины катетов должны быть положительными) мы имеем ограничение $x > 5$. Совмещая это ограничение с полученным решением, находим, что $x > 10$. Это означает, что длина большего катета должна быть больше 10 см.

Ответ: больший катет может иметь длину больше 10 см.