Номер 155, страница 238, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 155, страница 238.

Условие.

155 а) $\frac{\sqrt{3 - 5x - 2x^2}}{7x}$;

б) $\frac{\sqrt{3x^2 - x - 14}}{2x + 5}$;

в) $\frac{\sqrt{2 - 5x - 3x^2}}{9x}$;

г) $\frac{\sqrt{3x^2 - 4x - 15}}{7 - 2x}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) Область определения функции $y = \frac{\sqrt{3 - 5x - 2x^2}}{7x}$ находится из системы условий:
$\begin{cases} 3 - 5x - 2x^2 \ge 0 \\ 7x \ne 0 \end{cases}$
1. Решим квадратное неравенство $3 - 5x - 2x^2 \ge 0$ или $-2x^2 - 5x + 3 \ge 0$.
Найдем корни соответствующего уравнения $-2x^2 - 5x + 3 = 0$. Умножим на -1: $2x^2 + 5x - 3 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.
Корни: $x_1 = \frac{-5 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-12}{4} = -3$; $x_2 = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = 0.5$.
Так как коэффициент при $x^2$ в неравенстве $-2x^2 - 5x + 3 \ge 0$ отрицательный ($a=-2$), ветви параболы направлены вниз. Следовательно, неравенство выполняется на промежутке между корнями: $x \in [-3, 0.5]$.
2. Решим условие $7x \ne 0$. Отсюда следует, что $x \ne 0$.
3. Объединим оба условия: $x \in [-3, 0.5]$ и $x \ne 0$.
Получаем область определения: $[-3, 0) \cup (0, 0.5]$.
Ответ: $x \in [-3, 0) \cup (0, 0.5]$.

б) Область определения функции $y = \frac{\sqrt{3x^2 - x - 14}}{2x + 5}$ находится из системы условий:
$\begin{cases} 3x^2 - x - 14 \ge 0 \\ 2x + 5 \ne 0 \end{cases}$
1. Решим квадратное неравенство $3x^2 - x - 14 \ge 0$.
Найдем корни уравнения $3x^2 - x - 14 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-14) = 1 + 168 = 169 = 13^2$.
Корни: $x_1 = \frac{1 - 13}{2 \cdot 3} = \frac{-12}{6} = -2$; $x_2 = \frac{1 + 13}{2 \cdot 3} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$.
Так как коэффициент при $x^2$ положительный ($a=3$), ветви параболы направлены вверх. Следовательно, неравенство выполняется на промежутках вне корней: $x \in (-\infty, -2] \cup [\frac{7}{3}, +\infty)$.
2. Решим условие $2x + 5 \ne 0$. Отсюда $2x \ne -5$, то есть $x \ne -2.5$.
3. Объединим оба условия: $x \in (-\infty, -2] \cup [\frac{7}{3}, +\infty)$ и $x \ne -2.5$.
Точка $x = -2.5$ принадлежит промежутку $(-\infty, -2]$, поэтому ее необходимо исключить.
Получаем область определения: $(-\infty, -2.5) \cup (-2.5, -2] \cup [\frac{7}{3}, +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -2.5) \cup (-2.5, -2] \cup [\frac{7}{3}, +\infty)$.

в) Область определения функции $y = \frac{\sqrt{2 - 5x - 3x^2}}{9x}$ находится из системы условий:
$\begin{cases} 2 - 5x - 3x^2 \ge 0 \\ 9x \ne 0 \end{cases}$
1. Решим квадратное неравенство $2 - 5x - 3x^2 \ge 0$ или $-3x^2 - 5x + 2 \ge 0$.
Найдем корни уравнения $-3x^2 - 5x + 2 = 0$. Умножим на -1: $3x^2 + 5x - 2 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.
Корни: $x_1 = \frac{-5 - 7}{2 \cdot 3} = \frac{-12}{6} = -2$; $x_2 = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
Так как коэффициент при $x^2$ в неравенстве $-3x^2 - 5x + 2 \ge 0$ отрицательный ($a=-3$), ветви параболы направлены вниз. Следовательно, неравенство выполняется на промежутке между корнями: $x \in [-2, \frac{1}{3}]$.
2. Решим условие $9x \ne 0$. Отсюда следует, что $x \ne 0$.
3. Объединим оба условия: $x \in [-2, \frac{1}{3}]$ и $x \ne 0$.
Получаем область определения: $[-2, 0) \cup (0, \frac{1}{3}]$.
Ответ: $x \in [-2, 0) \cup (0, \frac{1}{3}]$.

г) Область определения функции $y = \frac{\sqrt{3x^2 - 4x - 15}}{7 - 2x}$ находится из системы условий:
$\begin{cases} 3x^2 - 4x - 15 \ge 0 \\ 7 - 2x \ne 0 \end{cases}$
1. Решим квадратное неравенство $3x^2 - 4x - 15 \ge 0$.
Найдем корни уравнения $3x^2 - 4x - 15 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-15) = 16 + 180 = 196 = 14^2$.
Корни: $x_1 = \frac{4 - 14}{2 \cdot 3} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}$; $x_2 = \frac{4 + 14}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3$.
Так как коэффициент при $x^2$ положительный ($a=3$), ветви параболы направлены вверх. Следовательно, неравенство выполняется на промежутках вне корней: $x \in (-\infty, -\frac{5}{3}] \cup [3, +\infty)$.
2. Решим условие $7 - 2x \ne 0$. Отсюда $2x \ne 7$, то есть $x \ne 3.5$.
3. Объединим оба условия: $x \in (-\infty, -\frac{5}{3}] \cup [3, +\infty)$ и $x \ne 3.5$.
Точка $x = 3.5$ принадлежит промежутку $[3, +\infty)$, поэтому ее необходимо исключить.
Получаем область определения: $(-\infty, -\frac{5}{3}] \cup [3, 3.5) \cup (3.5, +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -\frac{5}{3}] \cup [3, 3.5) \cup (3.5, +\infty)$.