Номер 150, страница 238, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 150, страница 238.

Условие.

150 a) $4x^2 - 12x + 9 > 0;$

б) $-2x^2 + x - 1 < 0;$

в) $9x^2 - 6x + 1 \le 0;$

г) $x^2 - 2x + 5 < 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) $4x^2 - 12x + 9 > 0$

Рассмотрим левую часть неравенства. Выражение $4x^2 - 12x + 9$ представляет собой формулу квадрата разности.

$4x^2 - 12x + 9 = (2x)^2 - 2 \cdot (2x) \cdot 3 + 3^2 = (2x - 3)^2$.

Таким образом, исходное неравенство можно переписать в виде: $(2x - 3)^2 > 0$.

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(2x - 3)^2 \ge 0$. Строгое неравенство $(2x - 3)^2 > 0$ будет выполняться для всех значений $x$, при которых основание степени не равно нулю.

Найдем значение $x$, при котором выражение равно нулю:

$2x - 3 = 0$

$2x = 3$

$x = \frac{3}{2} = 1.5$

Следовательно, неравенство выполняется для всех действительных чисел $x$, кроме $x = 1.5$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1.5) \cup (1.5; +\infty)$.

б) $-2x^2 + x - 1 < 0$

Чтобы упростить анализ, умножим обе части неравенства на $-1$, изменив при этом знак неравенства на противоположный:

$2x^2 - x + 1 > 0$

Рассмотрим квадратичную функцию $y = 2x^2 - x + 1$. Ее графиком является парабола. Так как старший коэффициент $a = 2$ положителен ($a > 0$), ветви параболы направлены вверх.

Найдем дискриминант соответствующего квадратного уравнения $2x^2 - x + 1 = 0$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 1 - 8 = -7$.

Поскольку дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что парабола не пересекает ось абсцисс ($Ox$).

Так как ветви параболы направлены вверх и она не пересекает ось $Ox$, вся парабола расположена выше этой оси. Следовательно, выражение $2x^2 - x + 1$ всегда положительно при любом значении $x$.

Это означает, что неравенство $2x^2 - x + 1 > 0$ (а значит и исходное неравенство $-2x^2 + x - 1 < 0$) верно для всех действительных чисел.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

в) $9x^2 - 6x + 1 \le 0$

Левая часть неравенства является полным квадратом разности:

$9x^2 - 6x + 1 = (3x)^2 - 2 \cdot (3x) \cdot 1 + 1^2 = (3x - 1)^2$.

Неравенство принимает вид: $(3x - 1)^2 \le 0$.

Выражение в квадрате, $(3x - 1)^2$, не может быть отрицательным. Оно всегда больше или равно нулю. Поэтому неравенство $(3x - 1)^2 \le 0$ может выполняться только в одном случае: когда выражение равно нулю.

$(3x - 1)^2 = 0$

$3x - 1 = 0$

$3x = 1$

$x = \frac{1}{3}$

Таким образом, неравенство имеет единственное решение.

Ответ: $x = \frac{1}{3}$.

г) $x^2 - 2x + 5 < 0$

Рассмотрим квадратичную функцию $y = x^2 - 2x + 5$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, так как старший коэффициент $a = 1 > 0$.

Найдем дискриминант соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 2x + 5 = 0$:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16$.

Так как дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Это значит, что парабола не пересекает ось $Ox$.

Поскольку ветви параболы направлены вверх и она не пересекает ось $Ox$, вся парабола находится выше оси $Ox$. Это означает, что выражение $x^2 - 2x + 5$ всегда принимает только положительные значения.

Следовательно, неравенство $x^2 - 2x + 5 < 0$ (т.е. выражение меньше нуля) никогда не выполняется.

Ответ: решений нет.