Номер 145, страница 237, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 145, страница 237.

Условие.

145 a) При каких значениях $a$ уравнение $ax^2 + 6x - 3 = 0$ имеет два корня?

б) При каких значениях $a$ уравнение $ax^2 + 5x + 15 = 0$ не имеет корней?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

a)
Уравнение $ax^2 + 6x - 3 = 0$ будет иметь два различных корня, если оно является квадратным и его дискриминант положителен.
1. Уравнение является квадратным, если коэффициент при $x^2$ не равен нулю, то есть $a \neq 0$. Если $a=0$, уравнение становится линейным $6x - 3 = 0$ и имеет только один корень $x=0.5$, что не удовлетворяет условию.
2. Дискриминант квадратного уравнения $Ax^2+Bx+C=0$ вычисляется по формуле $D=B^2-4AC$. Уравнение имеет два различных корня, если $D>0$.
Для нашего уравнения коэффициенты равны: $A=a$, $B=6$, $C=-3$.
Вычислим дискриминант:
$D = 6^2 - 4 \cdot a \cdot (-3) = 36 + 12a$
Теперь решим неравенство $D>0$:
$36 + 12a > 0$
$12a > -36$
$a > -3$
Объединяем оба условия: $a > -3$ и $a \neq 0$.
Ответ: $a \in (-3; 0) \cup (0; +\infty)$.

б)
Рассмотрим уравнение $ax^2 + 5x + 15 = 0$. Уравнение не имеет корней, если это квадратное уравнение с отрицательным дискриминантом.
1. Проверим случай, когда уравнение не является квадратным, то есть $a = 0$.
$0 \cdot x^2 + 5x + 15 = 0$
$5x = -15$
$x = -3$
При $a=0$ уравнение имеет один корень, что не удовлетворяет условию.
2. Рассмотрим случай, когда $a \neq 0$. Уравнение является квадратным и не имеет действительных корней, если его дискриминант $D$ меньше нуля.
Коэффициенты уравнения: $A=a$, $B=5$, $C=15$.
Вычислим дискриминант:
$D = B^2 - 4AC = 5^2 - 4 \cdot a \cdot 15 = 25 - 60a$
Решим неравенство $D<0$:
$25 - 60a < 0$
$25 < 60a$
$a > \frac{25}{60}$
$a > \frac{5}{12}$
Это условие уже включает в себя $a \neq 0$, так как $\frac{5}{12} > 0$.
Ответ: $a > \frac{5}{12}$.