Номер 139, страница 237, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 139, страница 237.

Условие.

139 Найдите значение выражения:

а) $\sqrt{(3\sqrt{2} - 2\sqrt{5})^2} + 3\sqrt{2};$

б) $\sqrt{(2 - \sqrt{7})^2} + \sqrt{(3 - \sqrt{7})^2};$

в) $\sqrt{(2\sqrt{15} - 3\sqrt{7})^2} - 3\sqrt{7};$

г) $\sqrt{(\sqrt{10} - 3)^2} + \sqrt{(\sqrt{10} - 4)^2}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Найдем значение выражения $\sqrt{(3\sqrt{2} - 2\sqrt{5})^2} + 3\sqrt{2}$.
Используем свойство $\sqrt{a^2} = |a|$. Тогда выражение можно записать как $|3\sqrt{2} - 2\sqrt{5}| + 3\sqrt{2}$.
Чтобы раскрыть модуль, нужно определить знак выражения $3\sqrt{2} - 2\sqrt{5}$. Для этого сравним числа $3\sqrt{2}$ и $2\sqrt{5}$, возведя их в квадрат:
$(3\sqrt{2})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$.
$(2\sqrt{5})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20$.
Так как $18 < 20$, то $3\sqrt{2} < 2\sqrt{5}$. Следовательно, разность $3\sqrt{2} - 2\sqrt{5}$ отрицательна.
По определению модуля, $|x| = -x$ при $x < 0$. Значит, $|3\sqrt{2} - 2\sqrt{5}| = -(3\sqrt{2} - 2\sqrt{5}) = 2\sqrt{5} - 3\sqrt{2}$.
Подставим это в наше выражение: $(2\sqrt{5} - 3\sqrt{2}) + 3\sqrt{2} = 2\sqrt{5} - 3\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 2\sqrt{5}$.

Ответ: $2\sqrt{5}$.

б)

Найдем значение выражения $\sqrt{(2 - \sqrt{7})^2} + \sqrt{(3 - \sqrt{7})^2}$.
Применяя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем: $|2 - \sqrt{7}| + |3 - \sqrt{7}|$.
Раскроем каждый модуль по отдельности.
1. Сравним $2$ и $\sqrt{7}$. Их квадраты: $2^2 = 4$ и $(\sqrt{7})^2 = 7$. Так как $4 < 7$, то $2 < \sqrt{7}$, и разность $2 - \sqrt{7}$ отрицательна. Следовательно, $|2 - \sqrt{7}| = -(2 - \sqrt{7}) = \sqrt{7} - 2$.
2. Сравним $3$ и $\sqrt{7}$. Их квадраты: $3^2 = 9$ и $(\sqrt{7})^2 = 7$. Так как $9 > 7$, то $3 > \sqrt{7}$, и разность $3 - \sqrt{7}$ положительна. Следовательно, $|3 - \sqrt{7}| = 3 - \sqrt{7}$.
Теперь подставим полученные значения в выражение: $(\sqrt{7} - 2) + (3 - \sqrt{7}) = \sqrt{7} - 2 + 3 - \sqrt{7} = 1$.

Ответ: $1$.

в)

Найдем значение выражения $\sqrt{(2\sqrt{15} - 3\sqrt{7})^2} - 3\sqrt{7}$.
Используем свойство $\sqrt{a^2} = |a|$. Выражение примет вид: $|2\sqrt{15} - 3\sqrt{7}| - 3\sqrt{7}$.
Чтобы раскрыть модуль, сравним значения $2\sqrt{15}$ и $3\sqrt{7}$, возведя их в квадрат:
$(2\sqrt{15})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{15})^2 = 4 \cdot 15 = 60$.
$(3\sqrt{7})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{7})^2 = 9 \cdot 7 = 63$.
Так как $60 < 63$, то $2\sqrt{15} < 3\sqrt{7}$. Значит, разность $2\sqrt{15} - 3\sqrt{7}$ отрицательна.
По определению модуля: $|2\sqrt{15} - 3\sqrt{7}| = -(2\sqrt{15} - 3\sqrt{7}) = 3\sqrt{7} - 2\sqrt{15}$.
Подставим это в наше выражение: $(3\sqrt{7} - 2\sqrt{15}) - 3\sqrt{7} = 3\sqrt{7} - 2\sqrt{15} - 3\sqrt{7} = -2\sqrt{15}$.

Ответ: $-2\sqrt{15}$.

г)

Найдем значение выражения $\sqrt{(\sqrt{10} - 3)^2} + \sqrt{(\sqrt{10} - 4)^2}$.
Применяя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем: $|\sqrt{10} - 3| + |\sqrt{10} - 4|$.
Раскроем каждый модуль.
1. Сравним $\sqrt{10}$ и $3$. Их квадраты: $(\sqrt{10})^2 = 10$ и $3^2 = 9$. Так как $10 > 9$, то $\sqrt{10} > 3$, и разность $\sqrt{10} - 3$ положительна. Следовательно, $|\sqrt{10} - 3| = \sqrt{10} - 3$.
2. Сравним $\sqrt{10}$ и $4$. Их квадраты: $(\sqrt{10})^2 = 10$ и $4^2 = 16$. Так как $10 < 16$, то $\sqrt{10} < 4$, и разность $\sqrt{10} - 4$ отрицательна. Следовательно, $|\sqrt{10} - 4| = -(\sqrt{10} - 4) = 4 - \sqrt{10}$.
Теперь подставим полученные значения в выражение: $(\sqrt{10} - 3) + (4 - \sqrt{10}) = \sqrt{10} - 3 + 4 - \sqrt{10} = 1$.

Ответ: $1$.