Номер 132, страница 236, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 132, страница 236.

Условие.

132 a) $\sqrt{2-x} + \frac{4}{\sqrt{2-x}+3} = 2;$

б) $\frac{3}{\sqrt{x+1}+1} + 2\sqrt{x+1} = 5.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) Дано уравнение $\sqrt{2-x} + \frac{4}{\sqrt{2-x}+3} = 2$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $2-x \ge 0$, откуда следует, что $x \le 2$. Знаменатель $\sqrt{2-x}+3$ всегда положителен, так как $\sqrt{2-x} \ge 0$, а значит $\sqrt{2-x}+3 \ge 3$. Следовательно, ОДЗ: $x \le 2$.

Для упрощения уравнения введем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{2-x}$. Поскольку арифметический квадратный корень не может быть отрицательным, имеем условие $t \ge 0$.

После замены уравнение принимает вид:

$t + \frac{4}{t+3} = 2$

Умножим обе части уравнения на $(t+3)$, чтобы избавиться от дроби. Так как $t \ge 0$, то $t+3 \neq 0$.

$t(t+3) + 4 = 2(t+3)$

$t^2 + 3t + 4 = 2t + 6$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$t^2 + t - 2 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, а их произведение равно $-2$. Легко подобрать корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = -2$.

Теперь необходимо проверить эти корни на соответствие условию $t \ge 0$.

Корень $t_1 = 1$ удовлетворяет условию $t \ge 0$.

Корень $t_2 = -2$ не удовлетворяет условию, следовательно, это посторонний корень.

Таким образом, у нас есть единственное решение для $t$: $t=1$.

Выполним обратную замену:

$\sqrt{2-x} = 1$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{2-x})^2 = 1^2$

$2-x = 1$

$x = 1$

Найденное значение $x=1$ удовлетворяет ОДЗ ($1 \le 2$).

Ответ: $1$.

б) Дано уравнение $\frac{3}{\sqrt{x+1}+1} + 2\sqrt{x+1} = 5$.

Определим ОДЗ. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x+1 \ge 0$, откуда $x \ge -1$. Знаменатель $\sqrt{x+1}+1$ всегда положителен, так как $\sqrt{x+1} \ge 0$, а значит $\sqrt{x+1}+1 \ge 1$. Следовательно, ОДЗ: $x \ge -1$.

Введем замену переменной для упрощения. Пусть $y = \sqrt{x+1}$. Условие для новой переменной: $y \ge 0$.

Уравнение с новой переменной:

$\frac{3}{y+1} + 2y = 5$

Умножим обе части на $(y+1)$, который не равен нулю при $y \ge 0$:

$3 + 2y(y+1) = 5(y+1)$

$3 + 2y^2 + 2y = 5y + 5$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$2y^2 + 2y - 5y + 3 - 5 = 0$

$2y^2 - 3y - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$

Корни уравнения:

$y_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3+5}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$y_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3-5}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$

Проверим корни на соответствие условию $y \ge 0$.

Корень $y_1 = 2$ удовлетворяет условию.

Корень $y_2 = -0.5$ не удовлетворяет условию, значит, это посторонний корень.

Единственное подходящее значение $y=2$.

Выполним обратную замену:

$\sqrt{x+1} = 2$

Возведем в квадрат обе части:

$(\sqrt{x+1})^2 = 2^2$

$x+1 = 4$

$x = 3$

Проверим, принадлежит ли корень $x=3$ ОДЗ ($x \ge -1$). Да, $3 \ge -1$.

Ответ: $3$.