Номер 132, страница 236, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Авторы: Мордкович А. Г., Александрова Л. А., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е., Семенов П. В.
Тип: Учебник
Издательство: Мнемозина
Год издания: 2019 - 2025
Часть: 2
Цвет обложки:
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 8 классе
Итоговое повторение. Часть 2 - номер 132, страница 236.
№132 (с. 236)
Условие. №132 (с. 236)
скриншот условия

132 a) $\sqrt{2-x} + \frac{4}{\sqrt{2-x}+3} = 2;$
б) $\frac{3}{\sqrt{x+1}+1} + 2\sqrt{x+1} = 5.$
Решение 1. №132 (с. 236)


Решение 2. №132 (с. 236)

Решение 3. №132 (с. 236)

Решение 4. №132 (с. 236)

Решение 6. №132 (с. 236)
а) Дано уравнение $\sqrt{2-x} + \frac{4}{\sqrt{2-x}+3} = 2$.
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $2-x \ge 0$, откуда следует, что $x \le 2$. Знаменатель $\sqrt{2-x}+3$ всегда положителен, так как $\sqrt{2-x} \ge 0$, а значит $\sqrt{2-x}+3 \ge 3$. Следовательно, ОДЗ: $x \le 2$.
Для упрощения уравнения введем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{2-x}$. Поскольку арифметический квадратный корень не может быть отрицательным, имеем условие $t \ge 0$.
После замены уравнение принимает вид:
$t + \frac{4}{t+3} = 2$
Умножим обе части уравнения на $(t+3)$, чтобы избавиться от дроби. Так как $t \ge 0$, то $t+3 \neq 0$.
$t(t+3) + 4 = 2(t+3)$
$t^2 + 3t + 4 = 2t + 6$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$t^2 + t - 2 = 0$
Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, а их произведение равно $-2$. Легко подобрать корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = -2$.
Теперь необходимо проверить эти корни на соответствие условию $t \ge 0$.
Корень $t_1 = 1$ удовлетворяет условию $t \ge 0$.
Корень $t_2 = -2$ не удовлетворяет условию, следовательно, это посторонний корень.
Таким образом, у нас есть единственное решение для $t$: $t=1$.
Выполним обратную замену:
$\sqrt{2-x} = 1$
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{2-x})^2 = 1^2$
$2-x = 1$
$x = 1$
Найденное значение $x=1$ удовлетворяет ОДЗ ($1 \le 2$).
Ответ: $1$.
б) Дано уравнение $\frac{3}{\sqrt{x+1}+1} + 2\sqrt{x+1} = 5$.
Определим ОДЗ. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x+1 \ge 0$, откуда $x \ge -1$. Знаменатель $\sqrt{x+1}+1$ всегда положителен, так как $\sqrt{x+1} \ge 0$, а значит $\sqrt{x+1}+1 \ge 1$. Следовательно, ОДЗ: $x \ge -1$.
Введем замену переменной для упрощения. Пусть $y = \sqrt{x+1}$. Условие для новой переменной: $y \ge 0$.
Уравнение с новой переменной:
$\frac{3}{y+1} + 2y = 5$
Умножим обе части на $(y+1)$, который не равен нулю при $y \ge 0$:
$3 + 2y(y+1) = 5(y+1)$
$3 + 2y^2 + 2y = 5y + 5$
Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:
$2y^2 + 2y - 5y + 3 - 5 = 0$
$2y^2 - 3y - 2 = 0$
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$
Корни уравнения:
$y_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3+5}{4} = \frac{8}{4} = 2$
$y_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3-5}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$
Проверим корни на соответствие условию $y \ge 0$.
Корень $y_1 = 2$ удовлетворяет условию.
Корень $y_2 = -0.5$ не удовлетворяет условию, значит, это посторонний корень.
Единственное подходящее значение $y=2$.
Выполним обратную замену:
$\sqrt{x+1} = 2$
Возведем в квадрат обе части:
$(\sqrt{x+1})^2 = 2^2$
$x+1 = 4$
$x = 3$
Проверим, принадлежит ли корень $x=3$ ОДЗ ($x \ge -1$). Да, $3 \ge -1$.
Ответ: $3$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 132 расположенного на странице 236 для 2-й части к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №132 (с. 236), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Александрова (Лилия Александровна), Мишустина (Татьяна Николаевна), Тульчинская (Елена Ефимовна), Семенов (Павел Владимирович), 2-й части учебного пособия издательства Мнемозина.