Номер 137, страница 236, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Итоговое повторение - номер 137, страница 236.

Условие.

137 Докажите тождество:

а) $(\frac{\sqrt{x^3} - 1}{\sqrt{x} - 1} + \sqrt{x}) : \frac{x - 1}{\sqrt{x} - 1} = \sqrt{x} + 1;$

б) $\frac{1 + \sqrt{a}}{1 - a} \cdot (\frac{1 + \sqrt{a^3}}{1 + \sqrt{a}} - \sqrt{a}) = 1 - \sqrt{a}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Докажем тождество, преобразовав его левую часть. Область допустимых значений (ОДЗ) для данного выражения определяется условиями: подкоренные выражения неотрицательны, а знаменатели не равны нулю. Отсюда $x \ge 0$ и $\sqrt{x} - 1 \ne 0$, то есть $x \ne 1$. Таким образом, ОДЗ: $x \in [0, 1) \cup (1, +\infty)$.

Преобразуем выражение по действиям:

1. Упростим выражение в скобках. Сначала преобразуем первую дробь, используя формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ для числителя, где $a = \sqrt{x}$ и $b = 1$.

$\sqrt{x^3} - 1 = (\sqrt{x})^3 - 1^3 = (\sqrt{x}-1)((\sqrt{x})^2 + \sqrt{x} \cdot 1 + 1^2) = (\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)$.

Теперь подставим это в дробь:

$\frac{\sqrt{x^3} - 1}{\sqrt{x} - 1} = \frac{(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}-1} = x+\sqrt{x}+1$.

Теперь выполним сложение в скобках:

$(x+\sqrt{x}+1) + \sqrt{x} = x+2\sqrt{x}+1$.

Полученное выражение является полным квадратом суммы: $x+2\sqrt{x}+1 = (\sqrt{x}+1)^2$.

2. Упростим делитель $\frac{x-1}{\sqrt{x}-1}$. Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ для числителя, где $a = \sqrt{x}$ и $b=1$.

$x - 1 = (\sqrt{x})^2 - 1^2 = (\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)$.

Тогда делитель равен:

$\frac{x-1}{\sqrt{x}-1} = \frac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}-1} = \sqrt{x}+1$.

3. Выполним деление результатов первого и второго действий:

$(\sqrt{x}+1)^2 : (\sqrt{x}+1) = \frac{(\sqrt{x}+1)^2}{\sqrt{x}+1} = \sqrt{x}+1$.

В результате преобразования левая часть тождества оказалась равной правой части: $\sqrt{x}+1 = \sqrt{x}+1$. Тождество доказано.

Ответ: $\sqrt{x}+1$.

б)

Докажем тождество, преобразовав его левую часть. ОДЗ: $a \ge 0$, $1-a \ne 0 \Rightarrow a \ne 1$. Таким образом, ОДЗ: $a \in [0, 1) \cup (1, +\infty)$.

Преобразуем выражение по действиям:

1. Упростим выражение в скобках: $\frac{1+\sqrt{a^3}}{1+\sqrt{a}} - \sqrt{a}$.

Сначала преобразуем дробь. Используем формулу суммы кубов $x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)$ для числителя, где $x=1$ и $y=\sqrt{a}$.

$1+\sqrt{a^3} = 1^3 + (\sqrt{a})^3 = (1+\sqrt{a})(1^2 - 1\cdot\sqrt{a} + (\sqrt{a})^2) = (1+\sqrt{a})(1-\sqrt{a}+a)$.

Подставим в дробь:

$\frac{1+\sqrt{a^3}}{1+\sqrt{a}} = \frac{(1+\sqrt{a})(1-\sqrt{a}+a)}{1+\sqrt{a}} = 1-\sqrt{a}+a$.

Теперь выполним вычитание в скобках:

$(1-\sqrt{a}+a) - \sqrt{a} = 1 - 2\sqrt{a} + a$.

Это выражение является полным квадратом разности: $1 - 2\sqrt{a} + a = (1-\sqrt{a})^2$.

2. Преобразуем первый множитель $\frac{1+\sqrt{a}}{1-a}$. Используем формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$ для знаменателя, где $x=1$ и $y=\sqrt{a}$.

$1-a = 1^2 - (\sqrt{a})^2 = (1-\sqrt{a})(1+\sqrt{a})$.

Тогда множитель равен:

$\frac{1+\sqrt{a}}{1-a} = \frac{1+\sqrt{a}}{(1-\sqrt{a})(1+\sqrt{a})} = \frac{1}{1-\sqrt{a}}$.

3. Выполним умножение результатов первого и второго действий:

$\frac{1}{1-\sqrt{a}} \cdot (1-\sqrt{a})^2 = \frac{(1-\sqrt{a})^2}{1-\sqrt{a}} = 1-\sqrt{a}$.

В результате преобразования левая часть тождества оказалась равной правой части: $1-\sqrt{a} = 1-\sqrt{a}$. Тождество доказано.

Ответ: $1-\sqrt{a}$.