Номер 135, страница 236, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 135, страница 236.

Условие.

135 Упростите выражение и найдите его значение:

a) $\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{m} + 4} + \frac{4\sqrt{m}}{m - 16}$ при $m = \frac{16}{9}$;

б) $\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n} - 5} - \frac{5\sqrt{n}}{n - 25}$ при $n = \frac{25}{4}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Сначала упростим данное выражение: $\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{m}+4} + \frac{4\sqrt{m}}{m-16}$.

Заметим, что знаменатель второй дроби $m-16$ является разностью квадратов, так как $m = (\sqrt{m})^2$ и $16 = 4^2$. Следовательно, $m-16 = (\sqrt{m}-4)(\sqrt{m}+4)$.

Подставим это в выражение:

$\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{m}+4} + \frac{4\sqrt{m}}{(\sqrt{m}-4)(\sqrt{m}+4)}$

Приведем дроби к общему знаменателю $(\sqrt{m}-4)(\sqrt{m}+4)$. Для этого домножим числитель и знаменатель первой дроби на $(\sqrt{m}-4)$:

$\frac{\sqrt{m}(\sqrt{m}-4)}{(\sqrt{m}+4)(\sqrt{m}-4)} + \frac{4\sqrt{m}}{(\sqrt{m}-4)(\sqrt{m}+4)} = \frac{\sqrt{m}(\sqrt{m}-4) + 4\sqrt{m}}{(\sqrt{m}-4)(\sqrt{m}+4)}$

Раскроем скобки в числителе и упростим:

$\frac{m - 4\sqrt{m} + 4\sqrt{m}}{m-16} = \frac{m}{m-16}$

Теперь подставим значение $m = \frac{16}{9}$ в упрощенное выражение:

$\frac{\frac{16}{9}}{\frac{16}{9}-16} = \frac{\frac{16}{9}}{\frac{16}{9}-\frac{144}{9}} = \frac{\frac{16}{9}}{\frac{16-144}{9}} = \frac{\frac{16}{9}}{\frac{-128}{9}}$

Разделим дроби, умножив числитель на перевернутую дробь знаменателя:

$\frac{16}{9} \cdot \frac{9}{-128} = \frac{16}{-128} = -\frac{1}{8}$

Ответ: $-\frac{1}{8}$.

б)

Сначала упростим данное выражение: $\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}-5} - \frac{5\sqrt{n}}{n-25}$.

Знаменатель второй дроби $n-25$ можно разложить на множители как разность квадратов: $n-25 = (\sqrt{n})^2 - 5^2 = (\sqrt{n}-5)(\sqrt{n}+5)$.

Подставим разложение в исходное выражение:

$\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}-5} - \frac{5\sqrt{n}}{(\sqrt{n}-5)(\sqrt{n}+5)}$

Приведем дроби к общему знаменателю $(\sqrt{n}-5)(\sqrt{n}+5)$. Для этого домножим числитель и знаменатель первой дроби на $(\sqrt{n}+5)$:

$\frac{\sqrt{n}(\sqrt{n}+5)}{(\sqrt{n}-5)(\sqrt{n}+5)} - \frac{5\sqrt{n}}{(\sqrt{n}-5)(\sqrt{n}+5)} = \frac{\sqrt{n}(\sqrt{n}+5) - 5\sqrt{n}}{(\sqrt{n}-5)(\sqrt{n}+5)}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{n + 5\sqrt{n} - 5\sqrt{n}}{n-25} = \frac{n}{n-25}$

Теперь подставим значение $n = \frac{25}{4}$ в упрощенное выражение:

$\frac{\frac{25}{4}}{\frac{25}{4}-25} = \frac{\frac{25}{4}}{\frac{25}{4}-\frac{100}{4}} = \frac{\frac{25}{4}}{\frac{25-100}{4}} = \frac{\frac{25}{4}}{\frac{-75}{4}}$

Выполним деление дробей:

$\frac{25}{4} \cdot \frac{4}{-75} = \frac{25}{-75} = -\frac{1}{3}$

Ответ: $-\frac{1}{3}$.