Страница 236, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

130 a) $\sqrt{2x^2 + 8x + 7} - 2 = x;$

б) $x + \sqrt{2x^2 - 7x + 5} = 1;$

в) $\sqrt{2x^2 + 8x + 1} - x = 3;$

г) $x + \sqrt{2x^2 - 8x + 1} = 3.$

а) $\sqrt{2x^2 + 8x + 7} - 2 = x$
Уединим корень в одной части уравнения, перенеся -2 в правую часть:
$\sqrt{2x^2 + 8x + 7} = x + 2$
Уравнение вида $\sqrt{f(x)} = g(x)$ равносильно системе, в которой правая часть неотрицательна (по определению арифметического корня), а подкоренные выражения равны после возведения в квадрат:
$\begin{cases} x + 2 \ge 0 \\ 2x^2 + 8x + 7 = (x+2)^2 \end{cases}$
Решим первое неравенство системы: $x \ge -2$.
Решим второе уравнение системы:
$2x^2 + 8x + 7 = x^2 + 4x + 4$
$x^2 + 4x + 3 = 0$
По теореме Виета, корни этого квадратного уравнения: $x_1 = -1$ и $x_2 = -3$.
Теперь отберем корни, удовлетворяющие условию $x \ge -2$.
Корень $x_1 = -1$ удовлетворяет условию, так как $-1 \ge -2$.
Корень $x_2 = -3$ не удовлетворяет условию, так как $-3 < -2$, и является посторонним.
Следовательно, у исходного уравнения один корень.
Ответ: -1.

б) $x + \sqrt{2x^2 - 7x + 5} = 1$
Уединим корень в одной части уравнения:
$\sqrt{2x^2 - 7x + 5} = 1 - x$
Уравнение равносильно системе:
$\begin{cases} 1 - x \ge 0 \\ 2x^2 - 7x + 5 = (1 - x)^2 \end{cases}$
Решим первое неравенство: $x \le 1$.
Решим второе уравнение:
$2x^2 - 7x + 5 = 1 - 2x + x^2$
$x^2 - 5x + 4 = 0$
По теореме Виета, корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.
Отберем корни, удовлетворяющие условию $x \le 1$.
Корень $x_1 = 1$ удовлетворяет условию, так как $1 \le 1$.
Корень $x_2 = 4$ не удовлетворяет условию, так как $4 > 1$, и является посторонним.
Ответ: 1.

в) $\sqrt{2x^2 + 8x + 1} - x = 3$
Уединим корень:
$\sqrt{2x^2 + 8x + 1} = x + 3$
Уравнение равносильно системе:
$\begin{cases} x + 3 \ge 0 \\ 2x^2 + 8x + 1 = (x + 3)^2 \end{cases}$
Решим первое неравенство: $x \ge -3$.
Решим второе уравнение:
$2x^2 + 8x + 1 = x^2 + 6x + 9$
$x^2 + 2x - 8 = 0$
По теореме Виета, корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -4$.
Отберем корни, удовлетворяющие условию $x \ge -3$.
Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет условию, так как $2 \ge -3$.
Корень $x_2 = -4$ не удовлетворяет условию, так как $-4 < -3$, и является посторонним.
Ответ: 2.

г) $x + \sqrt{2x^2 - 8x + 1} = 3$
Уединим корень:
$\sqrt{2x^2 - 8x + 1} = 3 - x$
Уравнение равносильно системе:
$\begin{cases} 3 - x \ge 0 \\ 2x^2 - 8x + 1 = (3 - x)^2 \end{cases}$
Решим первое неравенство: $x \le 3$.
Решим второе уравнение:
$2x^2 - 8x + 1 = 9 - 6x + x^2$
$x^2 - 2x - 8 = 0$
По теореме Виета, корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = -2$.
Отберем корни, удовлетворяющие условию $x \le 3$.
Корень $x_1 = 4$ не удовлетворяет условию, так как $4 > 3$, и является посторонним.
Корень $x_2 = -2$ удовлетворяет условию, так как $-2 \le 3$.
Ответ: -2.

Решите уравнение методом введения новой переменной:

131 a) $x^2 + 2x - 2\sqrt{x^2 + 2x} = 3;$

б) $x^2 + 6x + 24 = 10\sqrt{x^2 + 6x}.$

Дано уравнение $x^2 + 2x - 2\sqrt{x^2 + 2x} = 3$.

Заметим, что выражение $x^2 + 2x$ встречается в уравнении дважды. Это позволяет нам использовать метод введения новой переменной. Пусть $t = \sqrt{x^2 + 2x}$.

Так как переменная $t$ обозначает арифметический квадратный корень, на нее накладывается ограничение: $t \ge 0$. Также должно выполняться условие $x^2+2x \ge 0$.

Если $t = \sqrt{x^2 + 2x}$, то $t^2 = (\sqrt{x^2 + 2x})^2 = x^2 + 2x$. Подставим новую переменную в исходное уравнение:

$t^2 - 2t = 3$

Перенесем все члены в левую часть и решим полученное квадратное уравнение:

$t^2 - 2t - 3 = 0$

Используем теорему Виета. Сумма корней равна $2$, а их произведение равно $-3$. Корни уравнения: $t_1 = 3$ и $t_2 = -1$.

Проверим корни на соответствие условию $t \ge 0$:

• $t_1 = 3$ удовлетворяет условию ($3 \ge 0$).
• $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию ($-1 < 0$), поэтому это посторонний корень.

Выполним обратную замену для единственного подходящего корня $t = 3$:

$\sqrt{x^2 + 2x} = 3$

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$x^2 + 2x = 9$

$x^2 + 2x - 9 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 4 + 36 = 40$.

$\sqrt{D} = \sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = 2\sqrt{10}$.

Найдем корни $x$:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{10}}{2} = -1 \pm \sqrt{10}$.

Оба корня, $x_1 = -1 + \sqrt{10}$ и $x_2 = -1 - \sqrt{10}$, являются решениями, так как для них подкоренное выражение $x^2+2x$ равно 9, что является неотрицательным числом.

Ответ: $-1 - \sqrt{10}; -1 + \sqrt{10}$.

Дано уравнение $x^2 + 6x + 24 = 10\sqrt{x^2 + 6x}$.

Выражение $x^2 + 6x$ является повторяющимся. Введем новую переменную: $t = \sqrt{x^2 + 6x}$.

Условие для новой переменной: $t \ge 0$. Также должно выполняться $x^2+6x \ge 0$.

Тогда $t^2 = x^2 + 6x$. Подставим $t$ в исходное уравнение, предварительно сгруппировав слагаемые:

$(x^2 + 6x) + 24 = 10\sqrt{x^2 + 6x}$

$t^2 + 24 = 10t$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$t^2 - 10t + 24 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна $10$, а их произведение равно $24$. Легко подобрать корни: $t_1 = 4$ и $t_2 = 6$.

Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$, поэтому оба являются решениями.

Выполним обратную замену для каждого из найденных значений $t$.

Случай 1: $t = 4$.

$\sqrt{x^2 + 6x} = 4$

Возводим в квадрат:

$x^2 + 6x = 16$

$x^2 + 6x - 16 = 0$

По теореме Виета, $x_1 + x_2 = -6$ и $x_1 \cdot x_2 = -16$. Корни: $x_1 = 2$, $x_2 = -8$.

Случай 2: $t = 6$.

$\sqrt{x^2 + 6x} = 6$

Возводим в квадрат:

$x^2 + 6x = 36$

$x^2 + 6x - 36 = 0$

Решим через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 36 + 144 = 180$.

$\sqrt{D} = \sqrt{180} = \sqrt{36 \cdot 5} = 6\sqrt{5}$.

$x_{3,4} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 \pm 6\sqrt{5}}{2} = -3 \pm 3\sqrt{5}$.

Все четыре найденных корня ($2, -8, -3 + 3\sqrt{5}, -3 - 3\sqrt{5}$) являются решениями, так как для них подкоренное выражение $x^2+6x$ равно 16 или 36, что больше или равно нулю.

Ответ: $-8; 2; -3 - 3\sqrt{5}; -3 + 3\sqrt{5}$.

132 a) $\sqrt{2-x} + \frac{4}{\sqrt{2-x}+3} = 2;$

б) $\frac{3}{\sqrt{x+1}+1} + 2\sqrt{x+1} = 5.$

а) Дано уравнение $\sqrt{2-x} + \frac{4}{\sqrt{2-x}+3} = 2$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $2-x \ge 0$, откуда следует, что $x \le 2$. Знаменатель $\sqrt{2-x}+3$ всегда положителен, так как $\sqrt{2-x} \ge 0$, а значит $\sqrt{2-x}+3 \ge 3$. Следовательно, ОДЗ: $x \le 2$.

Для упрощения уравнения введем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{2-x}$. Поскольку арифметический квадратный корень не может быть отрицательным, имеем условие $t \ge 0$.

После замены уравнение принимает вид:

$t + \frac{4}{t+3} = 2$

Умножим обе части уравнения на $(t+3)$, чтобы избавиться от дроби. Так как $t \ge 0$, то $t+3 \neq 0$.

$t(t+3) + 4 = 2(t+3)$

$t^2 + 3t + 4 = 2t + 6$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$t^2 + t - 2 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, а их произведение равно $-2$. Легко подобрать корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = -2$.

Теперь необходимо проверить эти корни на соответствие условию $t \ge 0$.

Корень $t_1 = 1$ удовлетворяет условию $t \ge 0$.

Корень $t_2 = -2$ не удовлетворяет условию, следовательно, это посторонний корень.

Таким образом, у нас есть единственное решение для $t$: $t=1$.

Выполним обратную замену:

$\sqrt{2-x} = 1$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{2-x})^2 = 1^2$

$2-x = 1$

$x = 1$

Найденное значение $x=1$ удовлетворяет ОДЗ ($1 \le 2$).

Ответ: $1$.

б) Дано уравнение $\frac{3}{\sqrt{x+1}+1} + 2\sqrt{x+1} = 5$.

Определим ОДЗ. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x+1 \ge 0$, откуда $x \ge -1$. Знаменатель $\sqrt{x+1}+1$ всегда положителен, так как $\sqrt{x+1} \ge 0$, а значит $\sqrt{x+1}+1 \ge 1$. Следовательно, ОДЗ: $x \ge -1$.

Введем замену переменной для упрощения. Пусть $y = \sqrt{x+1}$. Условие для новой переменной: $y \ge 0$.

Уравнение с новой переменной:

$\frac{3}{y+1} + 2y = 5$

Умножим обе части на $(y+1)$, который не равен нулю при $y \ge 0$:

$3 + 2y(y+1) = 5(y+1)$

$3 + 2y^2 + 2y = 5y + 5$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$2y^2 + 2y - 5y + 3 - 5 = 0$

$2y^2 - 3y - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$

Корни уравнения:

$y_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3+5}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$y_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3-5}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$

Проверим корни на соответствие условию $y \ge 0$.

Корень $y_1 = 2$ удовлетворяет условию.

Корень $y_2 = -0.5$ не удовлетворяет условию, значит, это посторонний корень.

Единственное подходящее значение $y=2$.

Выполним обратную замену:

$\sqrt{x+1} = 2$

Возведем в квадрат обе части:

$(\sqrt{x+1})^2 = 2^2$

$x+1 = 4$

$x = 3$

Проверим, принадлежит ли корень $x=3$ ОДЗ ($x \ge -1$). Да, $3 \ge -1$.

Ответ: $3$.

133 a) $10\sqrt{x^2 - x - 1} - \frac{3}{\sqrt{x^2 - x - 1}} = 7;$

б) $2\sqrt{x^2 - 9x + 23} - 5 = \frac{3}{\sqrt{x^2 - 9x + 23}}.$

а) $10\sqrt{x^2 - x - 1} - \frac{3}{\sqrt{x^2 - x - 1}} = 7$

Данное уравнение является иррациональным. Для его решения сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным. Кроме того, так как это выражение находится в знаменателе, оно не может быть равно нулю. Следовательно, подкоренное выражение должно быть строго положительным:

$$x^2 - x - 1 > 0$$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - x - 1 = 0$ с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

$$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5$$

$$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$$

Поскольку парабола $y = x^2 - x - 1$ имеет ветви, направленные вверх, неравенство $x^2 - x - 1 > 0$ выполняется, когда $x$ находится за пределами корней. Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty, \frac{1-\sqrt{5}}{2}) \cup (\frac{1+\sqrt{5}}{2}, +\infty)$.

Для упрощения уравнения введем замену. Пусть $t = \sqrt{x^2 - x - 1}$. Из ОДЗ следует, что $t > 0$. После замены уравнение принимает вид:

$$10t - \frac{3}{t} = 7$$

Умножим обе части уравнения на $t$ (это возможно, так как $t \ne 0$):

$$10t^2 - 3 = 7t$$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$$10t^2 - 7t - 3 = 0$$

Решим это уравнение относительно $t$:

$$D = (-7)^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-3) = 49 + 120 = 169 = 13^2$$

$$t_1 = \frac{7 + 13}{2 \cdot 10} = \frac{20}{20} = 1$$

$$t_2 = \frac{7 - 13}{2 \cdot 10} = \frac{-6}{20} = -0.3$$

Согласно условию замены $t > 0$, корень $t_2 = -0.3$ является посторонним. Используем только $t_1 = 1$.

Выполним обратную замену:

$$\sqrt{x^2 - x - 1} = 1$$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$$x^2 - x - 1 = 1$$

$$x^2 - x - 2 = 0$$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $1$, а их произведение равно $-2$. Этим условиям удовлетворяют корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Проверим, входят ли найденные значения в ОДЗ.
Для $x=2$: $2^2 - 2 - 1 = 4 - 3 = 1 > 0$. Корень подходит, так как $2 > \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.618$.
Для $x=-1$: $(-1)^2 - (-1) - 1 = 1 + 1 - 1 = 1 > 0$. Корень подходит, так как $-1 < \frac{1-\sqrt{5}}{2} \approx -0.618$.

Ответ: $-1; 2$.

б) $2\sqrt{x^2 - 9x + 23} - 5 = \frac{3}{\sqrt{x^2 - 9x + 23}}$

Определим ОДЗ. Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным:

$$x^2 - 9x + 23 > 0$$

Вычислим дискриминант квадратного трехчлена $x^2 - 9x + 23$:

$$D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 23 = 81 - 92 = -11$$

Поскольку дискриминант отрицателен ($D < 0$), а старший коэффициент положителен (равен 1), квадратный трехчлен $x^2 - 9x + 23$ всегда принимает положительные значения. Следовательно, ОДЗ уравнения — все действительные числа, $x \in \mathbb{R}$.

Введем замену. Пусть $t = \sqrt{x^2 - 9x + 23}$. Так как значение арифметического квадратного корня не может быть отрицательным и подкоренное выражение строго положительно, то $t > 0$. Уравнение принимает вид:

$$2t - 5 = \frac{3}{t}$$

Умножим обе части на $t$ (где $t \ne 0$):

$$2t^2 - 5t = 3$$

Запишем в виде стандартного квадратного уравнения:

$$2t^2 - 5t - 3 = 0$$

Решим уравнение относительно $t$:

$$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2$$

$$t_1 = \frac{5 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3$$

$$t_2 = \frac{5 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -0.5$$

Так как $t > 0$, корень $t_2 = -0.5$ не является решением. Остается $t_1 = 3$.

Выполним обратную замену:

$$\sqrt{x^2 - 9x + 23} = 3$$

Возведем обе части в квадрат:

$$x^2 - 9x + 23 = 9$$

$$x^2 - 9x + 14 = 0$$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $9$, а произведение равно $14$. Отсюда находим корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 7$.

Поскольку ОДЗ — все действительные числа, оба корня являются решениями исходного уравнения.

Ответ: $2; 7$.

134 Сравните значения выражений:

а) $ \sqrt{192} $ и $ \frac{1}{7 - 4\sqrt{3}} - \frac{1}{7 + 4\sqrt{3}} $;

б) $ 3 + 2\sqrt{2} $ и $ \sqrt{7} + \sqrt{10} $;

в) $ \sqrt{198} $ и $ \frac{1}{5\sqrt{2} - 7} - \frac{1}{5\sqrt{2} + 7} $;

г) $ 2\sqrt{5} + 3 $ и $ \sqrt{10} + \sqrt{19} $.

а)

Для того чтобы сравнить значения выражений $\sqrt{192}$ и $\frac{1}{7 - 4\sqrt{3}} - \frac{1}{7 + 4\sqrt{3}}$, сначала упростим второе выражение, приведя дроби к общему знаменателю.

Общий знаменатель равен произведению знаменателей: $(7 - 4\sqrt{3})(7 + 4\sqrt{3})$. Используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$(7 - 4\sqrt{3})(7 + 4\sqrt{3}) = 7^2 - (4\sqrt{3})^2 = 49 - 16 \cdot 3 = 49 - 48 = 1$.

Теперь выполним вычитание дробей:

$\frac{1}{7 - 4\sqrt{3}} - \frac{1}{7 + 4\sqrt{3}} = \frac{1 \cdot (7 + 4\sqrt{3}) - 1 \cdot (7 - 4\sqrt{3})}{(7 - 4\sqrt{3})(7 + 4\sqrt{3})} = \frac{7 + 4\sqrt{3} - 7 + 4\sqrt{3}}{1} = 8\sqrt{3}$.

Теперь сравним первое выражение $\sqrt{192}$ с полученным результатом $8\sqrt{3}$. Упростим $\sqrt{192}$, вынеся множитель из-под знака корня:

$\sqrt{192} = \sqrt{64 \cdot 3} = \sqrt{64} \cdot \sqrt{3} = 8\sqrt{3}$.

Так как оба выражения равны $8\sqrt{3}$, то они равны между собой.

Ответ: $\sqrt{192} = \frac{1}{7 - 4\sqrt{3}} - \frac{1}{7 + 4\sqrt{3}}$.

б)

Сравним выражения $3 + 2\sqrt{2}$ и $\sqrt{7} + \sqrt{10}$. Так как оба выражения очевидно положительны, мы можем сравнить их квадраты. Если квадрат первого выражения больше квадрата второго, то и само первое выражение больше второго.

Возведем в квадрат первое выражение:

$(3 + 2\sqrt{2})^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot 2\sqrt{2} + (2\sqrt{2})^2 = 9 + 12\sqrt{2} + 8 = 17 + 12\sqrt{2}$.

Возведем в квадрат второе выражение:

$(\sqrt{7} + \sqrt{10})^2 = (\sqrt{7})^2 + 2\sqrt{7}\sqrt{10} + (\sqrt{10})^2 = 7 + 2\sqrt{70} + 10 = 17 + 2\sqrt{70}$.

Теперь сравним полученные результаты: $17 + 12\sqrt{2}$ и $17 + 2\sqrt{70}$. Вычтем 17 из обоих выражений. Задача сводится к сравнению $12\sqrt{2}$ и $2\sqrt{70}$. Разделим оба выражения на 2, получим $6\sqrt{2}$ и $\sqrt{70}$.

Чтобы сравнить $6\sqrt{2}$ и $\sqrt{70}$, снова возведем их в квадрат:

$(6\sqrt{2})^2 = 36 \cdot 2 = 72$.

$(\sqrt{70})^2 = 70$.

Так как $72 > 70$, то $6\sqrt{2} > \sqrt{70}$, и, следовательно, $17 + 12\sqrt{2} > 17 + 2\sqrt{70}$.

Поскольку исходные выражения положительны, из $(3 + 2\sqrt{2})^2 > (\sqrt{7} + \sqrt{10})^2$ следует, что $3 + 2\sqrt{2} > \sqrt{7} + \sqrt{10}$.

Ответ: $3 + 2\sqrt{2} > \sqrt{7} + \sqrt{10}$.

в)

Сравним $\sqrt{198}$ и $\frac{1}{5\sqrt{2} - 7} - \frac{1}{5\sqrt{2} + 7}$. Сначала упростим второе выражение.

Найдем общий знаменатель: $(5\sqrt{2} - 7)(5\sqrt{2} + 7)$. По формуле разности квадратов:

$(5\sqrt{2})^2 - 7^2 = (25 \cdot 2) - 49 = 50 - 49 = 1$.

Выполним вычитание дробей:

$\frac{1 \cdot (5\sqrt{2} + 7) - 1 \cdot (5\sqrt{2} - 7)}{(5\sqrt{2} - 7)(5\sqrt{2} + 7)} = \frac{5\sqrt{2} + 7 - 5\sqrt{2} + 7}{1} = 14$.

Теперь сравним $\sqrt{198}$ и 14. Так как оба числа положительны, сравним их квадраты:

$(\sqrt{198})^2 = 198$.

$14^2 = 196$.

Поскольку $198 > 196$, то $\sqrt{198} > 14$.

Ответ: $\sqrt{198} > \frac{1}{5\sqrt{2} - 7} - \frac{1}{5\sqrt{2} + 7}$.

г)

Сравним выражения $2\sqrt{5} + 3$ и $\sqrt{10} + \sqrt{19}$. Оба выражения положительны, поэтому мы можем сравнить их квадраты.

Возведем в квадрат первое выражение:

$(2\sqrt{5} + 3)^2 = (2\sqrt{5})^2 + 2 \cdot 2\sqrt{5} \cdot 3 + 3^2 = 4 \cdot 5 + 12\sqrt{5} + 9 = 20 + 12\sqrt{5} + 9 = 29 + 12\sqrt{5}$.

Возведем в квадрат второе выражение:

$(\sqrt{10} + \sqrt{19})^2 = (\sqrt{10})^2 + 2\sqrt{10}\sqrt{19} + (\sqrt{19})^2 = 10 + 2\sqrt{190} + 19 = 29 + 2\sqrt{190}$.

Теперь сравним $29 + 12\sqrt{5}$ и $29 + 2\sqrt{190}$. Вычтем 29 из обоих выражений, чтобы сравнить $12\sqrt{5}$ и $2\sqrt{190}$. Разделим на 2, получим $6\sqrt{5}$ и $\sqrt{190}$.

Возведем эти выражения в квадрат:

$(6\sqrt{5})^2 = 36 \cdot 5 = 180$.

$(\sqrt{190})^2 = 190$.

Так как $180 < 190$, то $6\sqrt{5} < \sqrt{190}$, и, следовательно, $29 + 12\sqrt{5} < 29 + 2\sqrt{190}$.

Поскольку исходные выражения положительны, из $(2\sqrt{5} + 3)^2 < (\sqrt{10} + \sqrt{19})^2$ следует, что $2\sqrt{5} + 3 < \sqrt{10} + \sqrt{19}$.

Ответ: $2\sqrt{5} + 3 < \sqrt{10} + \sqrt{19}$.

135 Упростите выражение и найдите его значение:

a) $\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{m} + 4} + \frac{4\sqrt{m}}{m - 16}$ при $m = \frac{16}{9}$;

б) $\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n} - 5} - \frac{5\sqrt{n}}{n - 25}$ при $n = \frac{25}{4}$.

а)

Сначала упростим данное выражение: $\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{m}+4} + \frac{4\sqrt{m}}{m-16}$.

Заметим, что знаменатель второй дроби $m-16$ является разностью квадратов, так как $m = (\sqrt{m})^2$ и $16 = 4^2$. Следовательно, $m-16 = (\sqrt{m}-4)(\sqrt{m}+4)$.

Подставим это в выражение:

$\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{m}+4} + \frac{4\sqrt{m}}{(\sqrt{m}-4)(\sqrt{m}+4)}$

Приведем дроби к общему знаменателю $(\sqrt{m}-4)(\sqrt{m}+4)$. Для этого домножим числитель и знаменатель первой дроби на $(\sqrt{m}-4)$:

$\frac{\sqrt{m}(\sqrt{m}-4)}{(\sqrt{m}+4)(\sqrt{m}-4)} + \frac{4\sqrt{m}}{(\sqrt{m}-4)(\sqrt{m}+4)} = \frac{\sqrt{m}(\sqrt{m}-4) + 4\sqrt{m}}{(\sqrt{m}-4)(\sqrt{m}+4)}$

Раскроем скобки в числителе и упростим:

$\frac{m - 4\sqrt{m} + 4\sqrt{m}}{m-16} = \frac{m}{m-16}$

Теперь подставим значение $m = \frac{16}{9}$ в упрощенное выражение:

$\frac{\frac{16}{9}}{\frac{16}{9}-16} = \frac{\frac{16}{9}}{\frac{16}{9}-\frac{144}{9}} = \frac{\frac{16}{9}}{\frac{16-144}{9}} = \frac{\frac{16}{9}}{\frac{-128}{9}}$

Разделим дроби, умножив числитель на перевернутую дробь знаменателя:

$\frac{16}{9} \cdot \frac{9}{-128} = \frac{16}{-128} = -\frac{1}{8}$

Ответ: $-\frac{1}{8}$.

б)

Сначала упростим данное выражение: $\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}-5} - \frac{5\sqrt{n}}{n-25}$.

Знаменатель второй дроби $n-25$ можно разложить на множители как разность квадратов: $n-25 = (\sqrt{n})^2 - 5^2 = (\sqrt{n}-5)(\sqrt{n}+5)$.

Подставим разложение в исходное выражение:

$\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}-5} - \frac{5\sqrt{n}}{(\sqrt{n}-5)(\sqrt{n}+5)}$

Приведем дроби к общему знаменателю $(\sqrt{n}-5)(\sqrt{n}+5)$. Для этого домножим числитель и знаменатель первой дроби на $(\sqrt{n}+5)$:

$\frac{\sqrt{n}(\sqrt{n}+5)}{(\sqrt{n}-5)(\sqrt{n}+5)} - \frac{5\sqrt{n}}{(\sqrt{n}-5)(\sqrt{n}+5)} = \frac{\sqrt{n}(\sqrt{n}+5) - 5\sqrt{n}}{(\sqrt{n}-5)(\sqrt{n}+5)}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{n + 5\sqrt{n} - 5\sqrt{n}}{n-25} = \frac{n}{n-25}$

Теперь подставим значение $n = \frac{25}{4}$ в упрощенное выражение:

$\frac{\frac{25}{4}}{\frac{25}{4}-25} = \frac{\frac{25}{4}}{\frac{25}{4}-\frac{100}{4}} = \frac{\frac{25}{4}}{\frac{25-100}{4}} = \frac{\frac{25}{4}}{\frac{-75}{4}}$

Выполним деление дробей:

$\frac{25}{4} \cdot \frac{4}{-75} = \frac{25}{-75} = -\frac{1}{3}$

Ответ: $-\frac{1}{3}$.

136 Упростите выражение:

а) $(\sqrt{x} + \frac{3-x}{\sqrt{x}+1}): \frac{\sqrt{x}+3}{1-x};$

в) $(\frac{6-y}{1+\sqrt{y}} + \sqrt{y}): \frac{6+\sqrt{y}}{y-1};$

б) $(2 + \sqrt{b})(\frac{b-\sqrt{b}}{\sqrt{b}-1} - 2\sqrt{b} + 2);$

г) $(1 + 2\sqrt{a} - \frac{\sqrt{a}+a}{\sqrt{a}+1})(1-\sqrt{a}).$

а) $(\sqrt{x} + \frac{3-x}{\sqrt{x}+1}) : \frac{\sqrt{x}+3}{1-x}$

1. Упростим выражение в первых скобках, приведя слагаемые к общему знаменателю $\sqrt{x}+1$:

$\sqrt{x} + \frac{3-x}{\sqrt{x}+1} = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1) + (3-x)}{\sqrt{x}+1} = \frac{x+\sqrt{x}+3-x}{\sqrt{x}+1} = \frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+1}$

2. Теперь выполним деление. Деление на дробь заменяется умножением на обратную ей дробь:

$\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+1} : \frac{\sqrt{x}+3}{1-x} = \frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+1} \cdot \frac{1-x}{\sqrt{x}+3}$

3. Сократим общий множитель $(\sqrt{x}+3)$:

$\frac{1}{\sqrt{x}+1} \cdot \frac{1-x}{1} = \frac{1-x}{\sqrt{x}+1}$

4. Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ для числителя, представив $x$ как $(\sqrt{x})^2$:

$1-x = 1^2 - (\sqrt{x})^2 = (1-\sqrt{x})(1+\sqrt{x})$

5. Подставим разложенный числитель в выражение и сократим дробь:

$\frac{(1-\sqrt{x})(1+\sqrt{x})}{1+\sqrt{x}} = 1-\sqrt{x}$

Ответ: $1-\sqrt{x}$.

б) $(2+\sqrt{b})(\frac{b-\sqrt{b}}{\sqrt{b}-1} - 2\sqrt{b} + 2)$

1. Упростим выражение во вторых скобках. Начнем с дроби, вынеся в числителе $\sqrt{b}$ за скобки:

$\frac{b-\sqrt{b}}{\sqrt{b}-1} = \frac{\sqrt{b}(\sqrt{b}-1)}{\sqrt{b}-1} = \sqrt{b}$

2. Подставим упрощенную дробь обратно в выражение во вторых скобках и приведем подобные слагаемые:

$\sqrt{b} - 2\sqrt{b} + 2 = -\sqrt{b} + 2 = 2 - \sqrt{b}$

3. Теперь исходное выражение принимает вид:

$(2+\sqrt{b})(2-\sqrt{b})$

4. Это формула разности квадратов $(a+c)(a-c) = a^2 - c^2$, где $a=2$ и $c=\sqrt{b}$:

$(2+\sqrt{b})(2-\sqrt{b}) = 2^2 - (\sqrt{b})^2 = 4-b$

Ответ: $4-b$.

в) $(\frac{6-y}{1+\sqrt{y}} + \sqrt{y}) : \frac{6+\sqrt{y}}{y-1}$

1. Упростим выражение в скобках, приведя к общему знаменателю $1+\sqrt{y}$:

$\frac{6-y}{1+\sqrt{y}} + \sqrt{y} = \frac{6-y + \sqrt{y}(1+\sqrt{y})}{1+\sqrt{y}} = \frac{6-y+\sqrt{y}+y}{1+\sqrt{y}} = \frac{6+\sqrt{y}}{1+\sqrt{y}}$

2. Выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь:

$\frac{6+\sqrt{y}}{1+\sqrt{y}} : \frac{6+\sqrt{y}}{y-1} = \frac{6+\sqrt{y}}{1+\sqrt{y}} \cdot \frac{y-1}{6+\sqrt{y}}$

3. Сократим общий множитель $(6+\sqrt{y})$:

$\frac{y-1}{1+\sqrt{y}}$

4. Разложим числитель $y-1$ по формуле разности квадратов, представив $y$ как $(\sqrt{y})^2$:

$y-1 = (\sqrt{y})^2 - 1^2 = (\sqrt{y}-1)(\sqrt{y}+1)$

5. Подставим и сократим дробь:

$\frac{(\sqrt{y}-1)(\sqrt{y}+1)}{1+\sqrt{y}} = \sqrt{y}-1$

Ответ: $\sqrt{y}-1$.

г) $(1+2\sqrt{a} - \frac{\sqrt{a}+a}{\sqrt{a}+1})(1-\sqrt{a})$

1. Упростим выражение в первых скобках. Начнем с дроби, вынеся в числителе $\sqrt{a}$ за скобки:

$\frac{\sqrt{a}+a}{\sqrt{a}+1} = \frac{\sqrt{a}(1+\sqrt{a})}{1+\sqrt{a}} = \sqrt{a}$

2. Подставим упрощенное значение обратно в первые скобки и приведем подобные слагаемые:

$1+2\sqrt{a} - \sqrt{a} = 1+\sqrt{a}$

3. Исходное выражение теперь выглядит так:

$(1+\sqrt{a})(1-\sqrt{a})$

4. Это формула разности квадратов $(c+d)(c-d) = c^2 - d^2$, где $c=1$ и $d=\sqrt{a}$:

$(1+\sqrt{a})(1-\sqrt{a}) = 1^2 - (\sqrt{a})^2 = 1-a$

Ответ: $1-a$.

137 Докажите тождество:

а) $(\frac{\sqrt{x^3} - 1}{\sqrt{x} - 1} + \sqrt{x}) : \frac{x - 1}{\sqrt{x} - 1} = \sqrt{x} + 1;$

б) $\frac{1 + \sqrt{a}}{1 - a} \cdot (\frac{1 + \sqrt{a^3}}{1 + \sqrt{a}} - \sqrt{a}) = 1 - \sqrt{a}.$

а)

Докажем тождество, преобразовав его левую часть. Область допустимых значений (ОДЗ) для данного выражения определяется условиями: подкоренные выражения неотрицательны, а знаменатели не равны нулю. Отсюда $x \ge 0$ и $\sqrt{x} - 1 \ne 0$, то есть $x \ne 1$. Таким образом, ОДЗ: $x \in [0, 1) \cup (1, +\infty)$.

Преобразуем выражение по действиям:

1. Упростим выражение в скобках. Сначала преобразуем первую дробь, используя формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ для числителя, где $a = \sqrt{x}$ и $b = 1$.

$\sqrt{x^3} - 1 = (\sqrt{x})^3 - 1^3 = (\sqrt{x}-1)((\sqrt{x})^2 + \sqrt{x} \cdot 1 + 1^2) = (\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)$.

Теперь подставим это в дробь:

$\frac{\sqrt{x^3} - 1}{\sqrt{x} - 1} = \frac{(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}-1} = x+\sqrt{x}+1$.

Теперь выполним сложение в скобках:

$(x+\sqrt{x}+1) + \sqrt{x} = x+2\sqrt{x}+1$.

Полученное выражение является полным квадратом суммы: $x+2\sqrt{x}+1 = (\sqrt{x}+1)^2$.

2. Упростим делитель $\frac{x-1}{\sqrt{x}-1}$. Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ для числителя, где $a = \sqrt{x}$ и $b=1$.

$x - 1 = (\sqrt{x})^2 - 1^2 = (\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)$.

Тогда делитель равен:

$\frac{x-1}{\sqrt{x}-1} = \frac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}-1} = \sqrt{x}+1$.

3. Выполним деление результатов первого и второго действий:

$(\sqrt{x}+1)^2 : (\sqrt{x}+1) = \frac{(\sqrt{x}+1)^2}{\sqrt{x}+1} = \sqrt{x}+1$.

В результате преобразования левая часть тождества оказалась равной правой части: $\sqrt{x}+1 = \sqrt{x}+1$. Тождество доказано.

Ответ: $\sqrt{x}+1$.

б)

Докажем тождество, преобразовав его левую часть. ОДЗ: $a \ge 0$, $1-a \ne 0 \Rightarrow a \ne 1$. Таким образом, ОДЗ: $a \in [0, 1) \cup (1, +\infty)$.

Преобразуем выражение по действиям:

1. Упростим выражение в скобках: $\frac{1+\sqrt{a^3}}{1+\sqrt{a}} - \sqrt{a}$.

Сначала преобразуем дробь. Используем формулу суммы кубов $x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)$ для числителя, где $x=1$ и $y=\sqrt{a}$.

$1+\sqrt{a^3} = 1^3 + (\sqrt{a})^3 = (1+\sqrt{a})(1^2 - 1\cdot\sqrt{a} + (\sqrt{a})^2) = (1+\sqrt{a})(1-\sqrt{a}+a)$.

Подставим в дробь:

$\frac{1+\sqrt{a^3}}{1+\sqrt{a}} = \frac{(1+\sqrt{a})(1-\sqrt{a}+a)}{1+\sqrt{a}} = 1-\sqrt{a}+a$.

Теперь выполним вычитание в скобках:

$(1-\sqrt{a}+a) - \sqrt{a} = 1 - 2\sqrt{a} + a$.

Это выражение является полным квадратом разности: $1 - 2\sqrt{a} + a = (1-\sqrt{a})^2$.

2. Преобразуем первый множитель $\frac{1+\sqrt{a}}{1-a}$. Используем формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$ для знаменателя, где $x=1$ и $y=\sqrt{a}$.

$1-a = 1^2 - (\sqrt{a})^2 = (1-\sqrt{a})(1+\sqrt{a})$.

Тогда множитель равен:

$\frac{1+\sqrt{a}}{1-a} = \frac{1+\sqrt{a}}{(1-\sqrt{a})(1+\sqrt{a})} = \frac{1}{1-\sqrt{a}}$.

3. Выполним умножение результатов первого и второго действий:

$\frac{1}{1-\sqrt{a}} \cdot (1-\sqrt{a})^2 = \frac{(1-\sqrt{a})^2}{1-\sqrt{a}} = 1-\sqrt{a}$.

В результате преобразования левая часть тождества оказалась равной правой части: $1-\sqrt{a} = 1-\sqrt{a}$. Тождество доказано.

Ответ: $1-\sqrt{a}$.