Страница 231, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

91 При каком значении $a$ вершина параболы $y = ax^2 + 6x - 5$ отстоит от начала координат на 5 единичных отрезков?

Для нахождения значения параметра $a$, сначала определим координаты вершины параболы $y = ax^2 + 6x - 5$. Координаты вершины $(x_v, y_v)$ для параболы вида $y = Ax^2 + Bx + C$ находятся по формулам:

$x_v = -\frac{B}{2A}$

$y_v = y(x_v)$

В нашем случае коэффициенты $A=a$, $B=6$, $C=-5$. Для того, чтобы уравнение задавало параболу, необходимо, чтобы $a \neq 0$.

Находим абсциссу вершины:

$x_v = -\frac{6}{2a} = -\frac{3}{a}$

Далее находим ординату вершины, подставив $x_v$ в уравнение параболы:

$y_v = a\left(-\frac{3}{a}\right)^2 + 6\left(-\frac{3}{a}\right) - 5 = a\left(\frac{9}{a^2}\right) - \frac{18}{a} - 5 = \frac{9}{a} - \frac{18}{a} - 5 = -\frac{9}{a} - 5$

Таким образом, вершина параболы имеет координаты $V\left(-\frac{3}{a}, -\frac{9}{a} - 5\right)$.

По условию задачи, расстояние от вершины параболы до начала координат $O(0, 0)$ равно 5. Расстояние $d$ между двумя точками с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ вычисляется по формуле $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$.

Применим эту формулу для точек $V$ и $O$:

$\sqrt{\left(-\frac{3}{a} - 0\right)^2 + \left(-\frac{9}{a} - 5 - 0\right)^2} = 5$

Чтобы избавиться от квадратного корня, возведем обе части уравнения в квадрат:

$\left(-\frac{3}{a}\right)^2 + \left(-\frac{9}{a} - 5\right)^2 = 5^2$

$\frac{9}{a^2} + \left(\frac{9}{a} + 5\right)^2 = 25$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:

$\frac{9}{a^2} + \left(\frac{81}{a^2} + 2 \cdot \frac{9}{a} \cdot 5 + 25\right) = 25$

$\frac{9}{a^2} + \frac{81}{a^2} + \frac{90}{a} + 25 = 25$

Приведем подобные слагаемые и упростим уравнение:

$\frac{90}{a^2} + \frac{90}{a} = 0$

Вынесем общий множитель $\frac{90}{a}$ за скобки:

$\frac{90}{a}\left(\frac{1}{a} + 1\right) = 0$

Поскольку $a \neq 0$, множитель $\frac{90}{a}$ не может быть равен нулю. Следовательно, равен нулю второй множитель:

$\frac{1}{a} + 1 = 0$

$\frac{1}{a} = -1$

$a = -1$

Полученное значение $a = -1$ удовлетворяет начальному условию $a \neq 0$.

Ответ: -1

92 a) Найдите значения a, b, c с квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$, если известно, что её график проходит через точки D(3; -2), F(0; 4), K(2; -4).

б) Найдите значения p и q квадратичной функции $y = x^2 + px + q$, если известно, что её график проходит через точки A(2; -3), B(-3; 7).

а)

Дана квадратичная функция $y = ax^2 + bx + c$. Её график проходит через точки D(3; –2), F(0; 4) и K(2; –4).
Чтобы найти коэффициенты $a$, $b$ и $c$, подставим координаты каждой точки в уравнение функции. Это даст нам систему из трех линейных уравнений с тремя неизвестными.

1. Для точки F(0; 4):
$4 = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c$
$c = 4$

2. Для точки D(3; –2):
$-2 = a \cdot 3^2 + b \cdot 3 + c$
$-2 = 9a + 3b + c$

3. Для точки K(2; –4):
$-4 = a \cdot 2^2 + b \cdot 2 + c$
$-4 = 4a + 2b + c$

Получаем систему уравнений:
$ \begin{cases} c = 4 \\ 9a + 3b + c = -2 \\ 4a + 2b + c = -4 \end{cases} $
Подставим значение $c = 4$ во второе и третье уравнения:
$ \begin{cases} 9a + 3b + 4 = -2 \\ 4a + 2b + 4 = -4 \end{cases} $
Упростим эти уравнения:
$ \begin{cases} 9a + 3b = -6 \\ 4a + 2b = -8 \end{cases} $
Разделим первое уравнение на 3, а второе на 2:
$ \begin{cases} 3a + b = -2 \\ 2a + b = -4 \end{cases} $
Вычтем второе уравнение из первого:
$(3a + b) - (2a + b) = -2 - (-4)$
$a = 2$
Теперь подставим значение $a = 2$ в уравнение $3a + b = -2$:
$3 \cdot 2 + b = -2$
$6 + b = -2$
$b = -8$
Таким образом, мы нашли все коэффициенты: $a = 2, b = -8, c = 4$.

Ответ: $a=2, b=-8, c=4$.

б)

Дана квадратичная функция $y = x^2 + px + q$. Её график проходит через точки A(2; –3) и B(–3; 7).
Чтобы найти коэффициенты $p$ и $q$, подставим координаты каждой точки в уравнение функции. Это даст нам систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

1. Для точки A(2; –3):
$-3 = 2^2 + p \cdot 2 + q$
$-3 = 4 + 2p + q$
$2p + q = -7$

2. Для точки B(–3; 7):
$7 = (-3)^2 + p \cdot (-3) + q$
$7 = 9 - 3p + q$
$-3p + q = -2$

Получаем систему уравнений:
$ \begin{cases} 2p + q = -7 \\ -3p + q = -2 \end{cases} $
Вычтем второе уравнение из первого:
$(2p + q) - (-3p + q) = -7 - (-2)$
$2p + 3p = -5$
$5p = -5$
$p = -1$
Теперь подставим значение $p = -1$ в уравнение $2p + q = -7$:
$2 \cdot (-1) + q = -7$
$-2 + q = -7$
$q = -5$
Таким образом, мы нашли все коэффициенты: $p = -1, q = -5$.

Ответ: $p=-1, q=-5$.

Решите уравнение методом введения новой переменной:

93 a) $x^4 - 2x^2 - 8 = 0$;

б) $2x^4 - 19x^2 + 9 = 0$;

в) $x^4 - 11x^2 + 18 = 0$;

г) $3x^4 - 13x^2 + 4 = 0$.

Данные уравнения являются биквадратными, то есть уравнениями вида $ax^4 + bx^2 + c = 0$. Они решаются методом введения новой переменной.

а) $x^4 - 2x^2 - 8 = 0$

Введем новую переменную $t = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа является неотрицательным, должно выполняться условие $t \ge 0$.

Заменив $x^2$ на $t$ и $x^4$ на $t^2$, получим квадратное уравнение относительно переменной $t$:

$t^2 - 2t - 8 = 0$

Решим это уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$

Найдем корни уравнения для $t$:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 6}{2} = 4$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 6}{2} = -2$

Теперь необходимо проверить найденные корни на соответствие условию $t \ge 0$.

• $t_1 = 4$ – удовлетворяет условию $t \ge 0$.
• $t_2 = -2$ – не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому это посторонний корень.

Выполним обратную замену для корня $t_1 = 4$:

$x^2 = 4$

Отсюда находим корни исходного уравнения:

$x = \pm \sqrt{4}$, то есть $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Ответ: $-2; 2$.

б) $2x^4 - 19x^2 + 9 = 0$

Введем замену $t = x^2$, где $t \ge 0$. Уравнение примет вид:

$2t^2 - 19t + 9 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = (-19)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 9 = 361 - 72 = 289$

Найдем корни для $t$:

$t_1 = \frac{19 + \sqrt{289}}{2 \cdot 2} = \frac{19 + 17}{4} = \frac{36}{4} = 9$

$t_2 = \frac{19 - \sqrt{289}}{2 \cdot 2} = \frac{19 - 17}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Оба корня, $t_1 = 9$ и $t_2 = \frac{1}{2}$, являются неотрицательными и удовлетворяют условию $t \ge 0$. Выполним обратную замену для каждого из них.

1) $x^2 = 9 \implies x = \pm \sqrt{9} \implies x_1 = 3, x_2 = -3$.

2) $x^2 = \frac{1}{2} \implies x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$. Итак, $x_3 = \frac{\sqrt{2}}{2}, x_4 = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $-3; 3; -\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}$.

в) $x^4 - 11x^2 + 18 = 0$

Введем замену $t = x^2$, где $t \ge 0$. Получим квадратное уравнение:

$t^2 - 11t + 18 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение, его корни можно найти по теореме Виета. Сумма корней равна $11$, а их произведение равно $18$. Легко подобрать корни: $t_1 = 2$ и $t_2 = 9$.

Оба корня положительные, значит, оба подходят. Выполним обратную замену:

1) $x^2 = 2 \implies x = \pm \sqrt{2}$.

2) $x^2 = 9 \implies x = \pm \sqrt{9} = \pm 3$.

Ответ: $-3; 3; -\sqrt{2}; \sqrt{2}$.

г) $3x^4 - 13x^2 + 4 = 0$

Введем замену $t = x^2$, где $t \ge 0$. Уравнение примет вид:

$3t^2 - 13t + 4 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = (-13)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 169 - 48 = 121$

Найдем корни для $t$:

$t_1 = \frac{13 + \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{13 + 11}{6} = \frac{24}{6} = 4$

$t_2 = \frac{13 - \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{13 - 11}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Оба корня, $t_1 = 4$ и $t_2 = \frac{1}{3}$, положительные. Выполним обратную замену для каждого из них.

1) $x^2 = 4 \implies x = \pm \sqrt{4} = \pm 2$.

2) $x^2 = \frac{1}{3} \implies x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $-2; 2; -\frac{\sqrt{3}}{3}; \frac{\sqrt{3}}{3}$.

94 а) $(x^2 + 3)^2 - 7(x^2 + 3) + 12 = 0;$

б) $3(6x^2 - x)^2 - 4(6x^2 - x) + 1 = 0;$

в) $2(x^2 - 1)^2 - 13(x^2 - 1) - 24 = 0;$

г) $(x^2 - 4x)^2 + 9(x^2 - 4x) + 20 = 0.$

а) $(x^2 + 3)^2 - 7(x^2 + 3) + 12 = 0$

Данное уравнение является биквадратным относительно выражения $(x^2 + 3)$. Для его решения введем новую переменную. Пусть $y = x^2 + 3$. Тогда исходное уравнение можно переписать в виде квадратного уравнения относительно $y$:

$y^2 - 7y + 12 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета. Сумма корней $y_1 + y_2 = 7$, а их произведение $y_1 \cdot y_2 = 12$. Подбором находим корни:

$y_1 = 3$, $y_2 = 4$

Теперь вернемся к исходной переменной $x$, выполнив обратную замену для каждого найденного значения $y$.

1. При $y = 3$:

$x^2 + 3 = 3$

$x^2 = 0$

$x = 0$

2. При $y = 4$:

$x^2 + 3 = 4$

$x^2 = 4 - 3$

$x^2 = 1$

$x_1 = 1$, $x_2 = -1$

Таким образом, мы получили три корня.

Ответ: $x \in \{-1, 0, 1\}$.

б) $3(6x^2 - x)^2 - 4(6x^2 - x) + 1 = 0$

Это уравнение решается методом замены переменной. Обозначим $y = 6x^2 - x$. Тогда уравнение принимает вид:

$3y^2 - 4y + 1 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $y$. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4$

Найдем корни:

$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 \pm 2}{6}$

$y_1 = \frac{4 + 2}{6} = \frac{6}{6} = 1$

$y_2 = \frac{4 - 2}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Теперь выполним обратную замену для каждого значения $y$.

1. При $y = 1$:

$6x^2 - x = 1$

$6x^2 - x - 1 = 0$

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 1 + 24 = 25$

$x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{12} = \frac{1 \pm 5}{12}$

$x_1 = \frac{1 + 5}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

$x_2 = \frac{1 - 5}{12} = -\frac{4}{12} = -\frac{1}{3}$

2. При $y = \frac{1}{3}$:

$6x^2 - x = \frac{1}{3}$

$18x^2 - 3x = 1$

$18x^2 - 3x - 1 = 0$

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 18 \cdot (-1) = 9 + 72 = 81$

$x_{3,4} = \frac{3 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 18} = \frac{3 \pm 9}{36}$

$x_3 = \frac{3 + 9}{36} = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}$

$x_4 = \frac{3 - 9}{36} = -\frac{6}{36} = -\frac{1}{6}$

В результате получено четыре различных корня.

Ответ: $x \in \{-\frac{1}{3}, -\frac{1}{6}, \frac{1}{3}, \frac{1}{2}\}$.

в) $2(x^2 - 1)^2 - 13(x^2 - 1) - 24 = 0$

Введем замену переменной, чтобы упростить уравнение. Пусть $y = x^2 - 1$. Подставим $y$ в исходное уравнение:

$2y^2 - 13y - 24 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-24) = 169 + 192 = 361$

Поскольку $\sqrt{361} = 19$, найдем корни для $y$:

$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 \pm 19}{2 \cdot 2} = \frac{13 \pm 19}{4}$

$y_1 = \frac{13 + 19}{4} = \frac{32}{4} = 8$

$y_2 = \frac{13 - 19}{4} = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2}$

Сделаем обратную замену.

1. При $y = 8$:

$x^2 - 1 = 8$

$x^2 = 9$

$x_1 = 3$, $x_2 = -3$

2. При $y = -\frac{3}{2}$:

$x^2 - 1 = -\frac{3}{2}$

$x^2 = 1 - \frac{3}{2}$

$x^2 = -\frac{1}{2}$

Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.

Следовательно, исходное уравнение имеет два корня.

Ответ: $x \in \{-3, 3\}$.

г) $(x^2 - 4x)^2 + 9(x^2 - 4x) + 20 = 0$

Для решения этого уравнения используем метод замены. Пусть $y = x^2 - 4x$. Заменим выражение в уравнении на $y$:

$y^2 + 9y + 20 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью теоремы Виета. Сумма корней $y_1 + y_2 = -9$, а произведение $y_1 \cdot y_2 = 20$. Корнями являются:

$y_1 = -4$, $y_2 = -5$

Выполним обратную замену для найденных значений $y$.

1. При $y = -4$:

$x^2 - 4x = -4$

$x^2 - 4x + 4 = 0$

Свернем левую часть по формуле квадрата разности:

$(x - 2)^2 = 0$

$x - 2 = 0$

$x = 2$

2. При $y = -5$:

$x^2 - 4x = -5$

$x^2 - 4x + 5 = 0$

Проверим дискриминант этого квадратного уравнения:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$

Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, исходное уравнение имеет только один корень.

Ответ: $x = 2$.

Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа:

95 a) $x_1 = -9, x_2 = 4;$

б) $x_1 = \frac{1}{6}, x_2 = -\frac{2}{3};$

в) $x_1 = -7, x_2 = -3;$

г) $x_1 = \frac{5}{6}, x_2 = \frac{2}{15}.$

Для составления квадратного уравнения по его корням $x_1$ и $x_2$ используется теорема, обратная теореме Виета. Согласно ей, числа $x_1$ и $x_2$ являются корнями приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$, если их сумма равна $-p$, а их произведение равно $q$.

Таким образом, искомое уравнение можно составить по формуле: $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$.

а) Даны корни $x_1 = -9$ и $x_2 = 4$.

1. Найдем сумму корней: $x_1 + x_2 = -9 + 4 = -5$.

2. Найдем произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -9 \cdot 4 = -36$.

3. Подставим найденные значения в формулу $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$:

$x^2 - (-5)x + (-36) = 0$

Раскрыв скобки, получаем искомое уравнение:

$x^2 + 5x - 36 = 0$

Ответ: $x^2 + 5x - 36 = 0$.

б) Даны корни $x_1 = \frac{1}{6}$ и $x_2 = -\frac{2}{3}$.

1. Найдем сумму корней, приведя дроби к общему знаменателю 6:

$x_1 + x_2 = \frac{1}{6} + (-\frac{2}{3}) = \frac{1}{6} - \frac{4}{6} = -\frac{3}{6} = -\frac{1}{2}$.

2. Найдем произведение корней:

$x_1 \cdot x_2 = \frac{1}{6} \cdot (-\frac{2}{3}) = -\frac{2}{18} = -\frac{1}{9}$.

3. Составим приведенное квадратное уравнение:

$x^2 - (-\frac{1}{2})x + (-\frac{1}{9}) = 0$

$x^2 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{9} = 0$

Чтобы получить уравнение с целыми коэффициентами, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 2 и 9, то есть на 18:

$18 \cdot (x^2 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{9}) = 18 \cdot 0$

$18x^2 + 18 \cdot \frac{1}{2}x - 18 \cdot \frac{1}{9} = 0$

$18x^2 + 9x - 2 = 0$

Ответ: $18x^2 + 9x - 2 = 0$.

в) Даны корни $x_1 = -7$ и $x_2 = -3$.

1. Найдем сумму корней: $x_1 + x_2 = -7 + (-3) = -10$.

2. Найдем произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = (-7) \cdot (-3) = 21$.

3. Подставим найденные значения в формулу:

$x^2 - (-10)x + 21 = 0$

Раскрыв скобки, получаем:

$x^2 + 10x + 21 = 0$

Ответ: $x^2 + 10x + 21 = 0$.

г) Даны корни $x_1 = \frac{5}{6}$ и $x_2 = \frac{2}{15}$.

1. Найдем сумму корней. Наименьший общий знаменатель для 6 и 15 это 30.

$x_1 + x_2 = \frac{5}{6} + \frac{2}{15} = \frac{5 \cdot 5}{30} + \frac{2 \cdot 2}{30} = \frac{25+4}{30} = \frac{29}{30}$.

2. Найдем произведение корней:

$x_1 \cdot x_2 = \frac{5}{6} \cdot \frac{2}{15} = \frac{10}{90} = \frac{1}{9}$.

3. Составим приведенное квадратное уравнение:

$x^2 - \frac{29}{30}x + \frac{1}{9} = 0$

Чтобы получить уравнение с целыми коэффициентами, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 30 и 9, то есть на 90:

$90 \cdot (x^2 - \frac{29}{30}x + \frac{1}{9}) = 90 \cdot 0$

$90x^2 - 90 \cdot \frac{29}{30}x + 90 \cdot \frac{1}{9} = 0$

$90x^2 - 3 \cdot 29x + 10 = 0$

$90x^2 - 87x + 10 = 0$

Ответ: $90x^2 - 87x + 10 = 0$.

96 a) $x_{1,2} = 2 \pm \sqrt{3};$

б) $x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{7}}{2};$

в) $x_{1,2} = -3 \pm \sqrt{5};$

г) $x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{11}}{6}.$

а)

Чтобы составить квадратное уравнение по его корням $x_1$ и $x_2$, можно воспользоваться теоремой, обратной теореме Виета. Уравнение будет иметь вид $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$.
В данном случае корни: $x_1 = 2 + \sqrt{3}$ и $x_2 = 2 - \sqrt{3}$.
Найдем их сумму: $x_1 + x_2 = (2 + \sqrt{3}) + (2 - \sqrt{3}) = 4$.
Найдем их произведение, используя формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$:
$x_1 \cdot x_2 = (2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$.
Подставим найденные значения в формулу уравнения: $x^2 - (4)x + 1 = 0$.
Искомое уравнение: $x^2 - 4x + 1 = 0$.

Ответ: $x^2 - 4x + 1 = 0$.

б)

Даны корни: $x_1 = \frac{3 + \sqrt{7}}{2}$ и $x_2 = \frac{3 - \sqrt{7}}{2}$.
Найдем сумму корней: $x_1 + x_2 = \frac{3 + \sqrt{7}}{2} + \frac{3 - \sqrt{7}}{2} = \frac{3 + \sqrt{7} + 3 - \sqrt{7}}{2} = \frac{6}{2} = 3$.
Найдем произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{3 + \sqrt{7}}{2} \cdot \frac{3 - \sqrt{7}}{2} = \frac{(3 + \sqrt{7})(3 - \sqrt{7})}{4} = \frac{3^2 - (\sqrt{7})^2}{4} = \frac{9 - 7}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Составим приведенное квадратное уравнение: $x^2 - 3x + \frac{1}{2} = 0$.
Для получения целых коэффициентов умножим обе части уравнения на 2: $2(x^2 - 3x + \frac{1}{2}) = 0$, что дает $2x^2 - 6x + 1 = 0$.

Ответ: $2x^2 - 6x + 1 = 0$.

в)

Даны корни: $x_1 = -3 + \sqrt{5}$ и $x_2 = -3 - \sqrt{5}$.
Найдем сумму корней: $x_1 + x_2 = (-3 + \sqrt{5}) + (-3 - \sqrt{5}) = -6$.
Найдем произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = (-3 + \sqrt{5})(-3 - \sqrt{5}) = (-3)^2 - (\sqrt{5})^2 = 9 - 5 = 4$.
Подставим значения в формулу $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$: $x^2 - (-6)x + 4 = 0$.
Искомое уравнение: $x^2 + 6x + 4 = 0$.

Ответ: $x^2 + 6x + 4 = 0$.

г)

Даны корни: $x_1 = \frac{-1 + \sqrt{11}}{6}$ и $x_2 = \frac{-1 - \sqrt{11}}{6}$.
Найдем сумму корней: $x_1 + x_2 = \frac{-1 + \sqrt{11}}{6} + \frac{-1 - \sqrt{11}}{6} = \frac{-1 + \sqrt{11} - 1 - \sqrt{11}}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$.
Найдем произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \left(\frac{-1 + \sqrt{11}}{6}\right) \left(\frac{-1 - \sqrt{11}}{6}\right) = \frac{(-1)^2 - (\sqrt{11})^2}{36} = \frac{1 - 11}{36} = \frac{-10}{36} = -\frac{5}{18}$.
Составим приведенное уравнение: $x^2 - (-\frac{1}{3})x + (-\frac{5}{18}) = 0$, что равносильно $x^2 + \frac{1}{3}x - \frac{5}{18} = 0$.
Умножим обе части уравнения на 18, чтобы избавиться от дробей: $18(x^2 + \frac{1}{3}x - \frac{5}{18}) = 0$, что дает $18x^2 + 6x - 5 = 0$.

Ответ: $18x^2 + 6x - 5 = 0$.

97 a) Вычислите $ \frac{3}{x_1} + \frac{3}{x_2} $, где $ x_1 $ и $ x_2 $ — корни уравнения

$ 3x^2 - 2x - 6 = 0 $.

б) Вычислите $ x_1^3 + x_2^3 $, где $ x_1 $ и $ x_2 $ — корни уравнения $ x^2 + x - 5 = 0 $.

а)

Требуется вычислить значение выражения $\frac{3}{x_1} + \frac{3}{x_2}$, где $x_1$ и $x_2$ — корни квадратного уравнения $3x^2 - 2x - 6 = 0$.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Виета. Для квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

В нашем уравнении $3x^2 - 2x - 6 = 0$ коэффициенты равны: $a = 3$, $b = -2$, $c = -6$.

Найдем сумму и произведение корней:

$x_1 + x_2 = -\frac{-2}{3} = \frac{2}{3}$

$x_1 \cdot x_2 = \frac{-6}{3} = -2$

Теперь преобразуем исходное выражение, чтобы выразить его через сумму и произведение корней. Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{3}{x_1} + \frac{3}{x_2} = \frac{3x_2 + 3x_1}{x_1 \cdot x_2} = \frac{3(x_1 + x_2)}{x_1 \cdot x_2}$

Подставим найденные значения суммы и произведения корней в преобразованное выражение:

$\frac{3(\frac{2}{3})}{-2} = \frac{2}{-2} = -1$

Ответ: -1

б)

Требуется вычислить значение выражения $x_1^3 + x_2^3$, где $x_1$ и $x_2$ — корни квадратного уравнения $x^2 + x - 5 = 0$.

Снова воспользуемся теоремой Виета. Для уравнения $x^2 + x - 5 = 0$ коэффициенты равны: $a = 1$, $b = 1$, $c = -5$.

Найдем сумму и произведение корней:

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{1}{1} = -1$

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-5}{1} = -5$

Теперь преобразуем выражение $x_1^3 + x_2^3$. Для этого используем формулу суммы кубов, выраженную через сумму и произведение:

$x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)(x_1^2 - x_1x_2 + x_2^2)$

Выражение $x_1^2 + x_2^2$ можно также выразить через сумму и произведение: $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$.

Тогда $x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)((x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 - x_1x_2) = (x_1 + x_2)((x_1 + x_2)^2 - 3x_1x_2)$.

Также можно использовать более компактную формулу: $x_1^3 + x_2^3 = (x_1+x_2)^3 - 3x_1x_2(x_1+x_2)$.

Подставим найденные значения $x_1 + x_2 = -1$ и $x_1 \cdot x_2 = -5$ в эту формулу:

$x_1^3 + x_2^3 = (-1)^3 - 3(-5)(-1) = -1 - (15) = -1 - 15 = -16$

Ответ: -16

98 a) Известно, что $x_1^2 + x_2^2 = 13$, где $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2 + bx + 6 = 0$. Определите $b$.

б) Известно, что $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{1}{2}$, где $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2 + x + c = 0$. Определите $c$.

а)

Дано квадратное уравнение $x^2 + bx + 6 = 0$. По теореме Виета для приведенного квадратного уравнения ($ax^2+px+q=0$) справедливы следующие соотношения для его корней $x_1$ и $x_2$:

$x_1 + x_2 = -p$
$x_1 \cdot x_2 = q$

В нашем случае $p=b$ и $q=6$. Следовательно:

$x_1 + x_2 = -b$
$x_1 \cdot x_2 = 6$

По условию задачи нам дано, что $x_1^2 + x_2^2 = 13$. Выразим сумму квадратов корней через их сумму и произведение, используя тождество $(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$.

Отсюда получаем: $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$

Теперь подставим в это равенство известные нам значения из условия и из теоремы Виета:

$13 = (-b)^2 - 2 \cdot 6$

Решим полученное уравнение относительно $b$:

$13 = b^2 - 12$
$b^2 = 13 + 12$
$b^2 = 25$
$b = \pm\sqrt{25}$

Таким образом, $b$ может быть равен $5$ или $-5$.

Ответ: $b = 5$ или $b = -5$.

б)

Дано квадратное уравнение $x^2 + x + c = 0$. Снова применим теорему Виета. В этом уравнении коэффициент при $x$ равен $1$, а свободный член равен $c$.

Следовательно, для корней $x_1$ и $x_2$ имеем:

$x_1 + x_2 = -1$
$x_1 \cdot x_2 = c$

По условию задачи нам известно, что $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{1}{2}$.

Преобразуем левую часть этого выражения, приведя дроби к общему знаменателю:

$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_2 + x_1}{x_1x_2}$

Теперь подставим в это выражение значения суммы и произведения корней, которые мы получили из теоремы Виета:

$\frac{x_1 + x_2}{x_1x_2} = \frac{-1}{c}$

Приравняем это выражение к значению, данному в условии:

$\frac{-1}{c} = \frac{1}{2}$

Из этой пропорции находим $c$:

$c \cdot 1 = -1 \cdot 2$
$c = -2$

Проверим, что при $c=-2$ уравнение имеет действительные корни. Дискриминант $D = 1^2 - 4(1)(c) = 1 - 4(-2) = 1 + 8 = 9 > 0$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Также $x_1 \cdot x_2 = c = -2 \neq 0$, поэтому оба корня отличны от нуля, и выражение в условии корректно.

Ответ: $c = -2$.