Номер 93, страница 231, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Авторы: Мордкович А. Г., Александрова Л. А., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е., Семенов П. В.
Тип: Учебник
Издательство: Мнемозина
Год издания: 2019 - 2025
Часть: 2
Цвет обложки:
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 8 классе
Итоговое повторение. Часть 2 - номер 93, страница 231.
№93 (с. 231)
Условие. №93 (с. 231)
скриншот условия

Решите уравнение методом введения новой переменной:
93 a) $x^4 - 2x^2 - 8 = 0$;
б) $2x^4 - 19x^2 + 9 = 0$;
в) $x^4 - 11x^2 + 18 = 0$;
г) $3x^4 - 13x^2 + 4 = 0$.
Решение 1. №93 (с. 231)




Решение 2. №93 (с. 231)

Решение 3. №93 (с. 231)

Решение 4. №93 (с. 231)


Решение 6. №93 (с. 231)
Данные уравнения являются биквадратными, то есть уравнениями вида $ax^4 + bx^2 + c = 0$. Они решаются методом введения новой переменной.
а) $x^4 - 2x^2 - 8 = 0$
Введем новую переменную $t = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа является неотрицательным, должно выполняться условие $t \ge 0$.
Заменив $x^2$ на $t$ и $x^4$ на $t^2$, получим квадратное уравнение относительно переменной $t$:
$t^2 - 2t - 8 = 0$
Решим это уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$
Найдем корни уравнения для $t$:
$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 6}{2} = 4$
$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 6}{2} = -2$
Теперь необходимо проверить найденные корни на соответствие условию $t \ge 0$.
- $t_1 = 4$ – удовлетворяет условию $t \ge 0$.
- $t_2 = -2$ – не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому это посторонний корень.
Выполним обратную замену для корня $t_1 = 4$:
$x^2 = 4$
Отсюда находим корни исходного уравнения:
$x = \pm \sqrt{4}$, то есть $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.
Ответ: $-2; 2$.
б) $2x^4 - 19x^2 + 9 = 0$
Введем замену $t = x^2$, где $t \ge 0$. Уравнение примет вид:
$2t^2 - 19t + 9 = 0$
Найдем дискриминант:
$D = (-19)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 9 = 361 - 72 = 289$
Найдем корни для $t$:
$t_1 = \frac{19 + \sqrt{289}}{2 \cdot 2} = \frac{19 + 17}{4} = \frac{36}{4} = 9$
$t_2 = \frac{19 - \sqrt{289}}{2 \cdot 2} = \frac{19 - 17}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
Оба корня, $t_1 = 9$ и $t_2 = \frac{1}{2}$, являются неотрицательными и удовлетворяют условию $t \ge 0$. Выполним обратную замену для каждого из них.
1) $x^2 = 9 \implies x = \pm \sqrt{9} \implies x_1 = 3, x_2 = -3$.
2) $x^2 = \frac{1}{2} \implies x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$. Итак, $x_3 = \frac{\sqrt{2}}{2}, x_4 = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $-3; 3; -\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}$.
в) $x^4 - 11x^2 + 18 = 0$
Введем замену $t = x^2$, где $t \ge 0$. Получим квадратное уравнение:
$t^2 - 11t + 18 = 0$
Это приведенное квадратное уравнение, его корни можно найти по теореме Виета. Сумма корней равна $11$, а их произведение равно $18$. Легко подобрать корни: $t_1 = 2$ и $t_2 = 9$.
Оба корня положительные, значит, оба подходят. Выполним обратную замену:
1) $x^2 = 2 \implies x = \pm \sqrt{2}$.
2) $x^2 = 9 \implies x = \pm \sqrt{9} = \pm 3$.
Ответ: $-3; 3; -\sqrt{2}; \sqrt{2}$.
г) $3x^4 - 13x^2 + 4 = 0$
Введем замену $t = x^2$, где $t \ge 0$. Уравнение примет вид:
$3t^2 - 13t + 4 = 0$
Найдем дискриминант:
$D = (-13)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 169 - 48 = 121$
Найдем корни для $t$:
$t_1 = \frac{13 + \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{13 + 11}{6} = \frac{24}{6} = 4$
$t_2 = \frac{13 - \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{13 - 11}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
Оба корня, $t_1 = 4$ и $t_2 = \frac{1}{3}$, положительные. Выполним обратную замену для каждого из них.
1) $x^2 = 4 \implies x = \pm \sqrt{4} = \pm 2$.
2) $x^2 = \frac{1}{3} \implies x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $-2; 2; -\frac{\sqrt{3}}{3}; \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 93 расположенного на странице 231 для 2-й части к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №93 (с. 231), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Александрова (Лилия Александровна), Мишустина (Татьяна Николаевна), Тульчинская (Елена Ефимовна), Семенов (Павел Владимирович), 2-й части учебного пособия издательства Мнемозина.