Номер 93, страница 231, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Алгебра, 8 класс Учебник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Александрова Лилия Александровна, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, Семенов Павел Владимирович, издательство Мнемозина, Москва, 2019, часть 2

Авторы: Мордкович А. Г., Александрова Л. А., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е., Семенов П. В.

Тип: Учебник

Издательство: Мнемозина

Год издания: 2019 - 2025

Часть: 2

Цвет обложки:

Допущено Министерством просвещения Российской Федерации

Популярные ГДЗ в 8 классе

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 93, страница 231.

№93 (с. 231)
Условие. №93 (с. 231)
скриншот условия
Алгебра, 8 класс Учебник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Александрова Лилия Александровна, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, Семенов Павел Владимирович, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 231, номер 93, Условие

Решите уравнение методом введения новой переменной:

93 a) $x^4 - 2x^2 - 8 = 0$;

б) $2x^4 - 19x^2 + 9 = 0$;

в) $x^4 - 11x^2 + 18 = 0$;

г) $3x^4 - 13x^2 + 4 = 0$.

Решение 1. №93 (с. 231)
Алгебра, 8 класс Учебник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Александрова Лилия Александровна, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, Семенов Павел Владимирович, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 231, номер 93, Решение 1 Алгебра, 8 класс Учебник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Александрова Лилия Александровна, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, Семенов Павел Владимирович, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 231, номер 93, Решение 1 (продолжение 2) Алгебра, 8 класс Учебник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Александрова Лилия Александровна, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, Семенов Павел Владимирович, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 231, номер 93, Решение 1 (продолжение 3) Алгебра, 8 класс Учебник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Александрова Лилия Александровна, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, Семенов Павел Владимирович, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 231, номер 93, Решение 1 (продолжение 4)
Решение 2. №93 (с. 231)
Алгебра, 8 класс Учебник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Александрова Лилия Александровна, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, Семенов Павел Владимирович, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 231, номер 93, Решение 2
Решение 3. №93 (с. 231)
Алгебра, 8 класс Учебник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Александрова Лилия Александровна, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, Семенов Павел Владимирович, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 231, номер 93, Решение 3
Решение 4. №93 (с. 231)
Алгебра, 8 класс Учебник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Александрова Лилия Александровна, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, Семенов Павел Владимирович, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 231, номер 93, Решение 4 Алгебра, 8 класс Учебник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Александрова Лилия Александровна, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, Семенов Павел Владимирович, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 231, номер 93, Решение 4 (продолжение 2)
Решение 6. №93 (с. 231)

Данные уравнения являются биквадратными, то есть уравнениями вида $ax^4 + bx^2 + c = 0$. Они решаются методом введения новой переменной.

а) $x^4 - 2x^2 - 8 = 0$

Введем новую переменную $t = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа является неотрицательным, должно выполняться условие $t \ge 0$.

Заменив $x^2$ на $t$ и $x^4$ на $t^2$, получим квадратное уравнение относительно переменной $t$:

$t^2 - 2t - 8 = 0$

Решим это уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$

Найдем корни уравнения для $t$:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 6}{2} = 4$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 6}{2} = -2$

Теперь необходимо проверить найденные корни на соответствие условию $t \ge 0$.

  • $t_1 = 4$ – удовлетворяет условию $t \ge 0$.
  • $t_2 = -2$ – не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому это посторонний корень.

Выполним обратную замену для корня $t_1 = 4$:

$x^2 = 4$

Отсюда находим корни исходного уравнения:

$x = \pm \sqrt{4}$, то есть $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Ответ: $-2; 2$.

б) $2x^4 - 19x^2 + 9 = 0$

Введем замену $t = x^2$, где $t \ge 0$. Уравнение примет вид:

$2t^2 - 19t + 9 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = (-19)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 9 = 361 - 72 = 289$

Найдем корни для $t$:

$t_1 = \frac{19 + \sqrt{289}}{2 \cdot 2} = \frac{19 + 17}{4} = \frac{36}{4} = 9$

$t_2 = \frac{19 - \sqrt{289}}{2 \cdot 2} = \frac{19 - 17}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Оба корня, $t_1 = 9$ и $t_2 = \frac{1}{2}$, являются неотрицательными и удовлетворяют условию $t \ge 0$. Выполним обратную замену для каждого из них.

1) $x^2 = 9 \implies x = \pm \sqrt{9} \implies x_1 = 3, x_2 = -3$.

2) $x^2 = \frac{1}{2} \implies x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$. Итак, $x_3 = \frac{\sqrt{2}}{2}, x_4 = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $-3; 3; -\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}$.

в) $x^4 - 11x^2 + 18 = 0$

Введем замену $t = x^2$, где $t \ge 0$. Получим квадратное уравнение:

$t^2 - 11t + 18 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение, его корни можно найти по теореме Виета. Сумма корней равна $11$, а их произведение равно $18$. Легко подобрать корни: $t_1 = 2$ и $t_2 = 9$.

Оба корня положительные, значит, оба подходят. Выполним обратную замену:

1) $x^2 = 2 \implies x = \pm \sqrt{2}$.

2) $x^2 = 9 \implies x = \pm \sqrt{9} = \pm 3$.

Ответ: $-3; 3; -\sqrt{2}; \sqrt{2}$.

г) $3x^4 - 13x^2 + 4 = 0$

Введем замену $t = x^2$, где $t \ge 0$. Уравнение примет вид:

$3t^2 - 13t + 4 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = (-13)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 169 - 48 = 121$

Найдем корни для $t$:

$t_1 = \frac{13 + \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{13 + 11}{6} = \frac{24}{6} = 4$

$t_2 = \frac{13 - \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{13 - 11}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Оба корня, $t_1 = 4$ и $t_2 = \frac{1}{3}$, положительные. Выполним обратную замену для каждого из них.

1) $x^2 = 4 \implies x = \pm \sqrt{4} = \pm 2$.

2) $x^2 = \frac{1}{3} \implies x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $-2; 2; -\frac{\sqrt{3}}{3}; \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 93 расположенного на странице 231 для 2-й части к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №93 (с. 231), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Александрова (Лилия Александровна), Мишустина (Татьяна Николаевна), Тульчинская (Елена Ефимовна), Семенов (Павел Владимирович), 2-й части учебного пособия издательства Мнемозина.