Номер 93, страница 231, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 93, страница 231.

Условие.

Решите уравнение методом введения новой переменной:

93 a) $x^4 - 2x^2 - 8 = 0$;

б) $2x^4 - 19x^2 + 9 = 0$;

в) $x^4 - 11x^2 + 18 = 0$;

г) $3x^4 - 13x^2 + 4 = 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Данные уравнения являются биквадратными, то есть уравнениями вида $ax^4 + bx^2 + c = 0$. Они решаются методом введения новой переменной.

а) $x^4 - 2x^2 - 8 = 0$

Введем новую переменную $t = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа является неотрицательным, должно выполняться условие $t \ge 0$.

Заменив $x^2$ на $t$ и $x^4$ на $t^2$, получим квадратное уравнение относительно переменной $t$:

$t^2 - 2t - 8 = 0$

Решим это уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$

Найдем корни уравнения для $t$:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 6}{2} = 4$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 6}{2} = -2$

Теперь необходимо проверить найденные корни на соответствие условию $t \ge 0$.

• $t_1 = 4$ – удовлетворяет условию $t \ge 0$.
• $t_2 = -2$ – не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому это посторонний корень.

Выполним обратную замену для корня $t_1 = 4$:

$x^2 = 4$

Отсюда находим корни исходного уравнения:

$x = \pm \sqrt{4}$, то есть $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Ответ: $-2; 2$.

б) $2x^4 - 19x^2 + 9 = 0$

Введем замену $t = x^2$, где $t \ge 0$. Уравнение примет вид:

$2t^2 - 19t + 9 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = (-19)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 9 = 361 - 72 = 289$

Найдем корни для $t$:

$t_1 = \frac{19 + \sqrt{289}}{2 \cdot 2} = \frac{19 + 17}{4} = \frac{36}{4} = 9$

$t_2 = \frac{19 - \sqrt{289}}{2 \cdot 2} = \frac{19 - 17}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Оба корня, $t_1 = 9$ и $t_2 = \frac{1}{2}$, являются неотрицательными и удовлетворяют условию $t \ge 0$. Выполним обратную замену для каждого из них.

1) $x^2 = 9 \implies x = \pm \sqrt{9} \implies x_1 = 3, x_2 = -3$.

2) $x^2 = \frac{1}{2} \implies x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$. Итак, $x_3 = \frac{\sqrt{2}}{2}, x_4 = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $-3; 3; -\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}$.

в) $x^4 - 11x^2 + 18 = 0$

Введем замену $t = x^2$, где $t \ge 0$. Получим квадратное уравнение:

$t^2 - 11t + 18 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение, его корни можно найти по теореме Виета. Сумма корней равна $11$, а их произведение равно $18$. Легко подобрать корни: $t_1 = 2$ и $t_2 = 9$.

Оба корня положительные, значит, оба подходят. Выполним обратную замену:

1) $x^2 = 2 \implies x = \pm \sqrt{2}$.

2) $x^2 = 9 \implies x = \pm \sqrt{9} = \pm 3$.

Ответ: $-3; 3; -\sqrt{2}; \sqrt{2}$.

г) $3x^4 - 13x^2 + 4 = 0$

Введем замену $t = x^2$, где $t \ge 0$. Уравнение примет вид:

$3t^2 - 13t + 4 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = (-13)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 169 - 48 = 121$

Найдем корни для $t$:

$t_1 = \frac{13 + \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{13 + 11}{6} = \frac{24}{6} = 4$

$t_2 = \frac{13 - \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{13 - 11}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Оба корня, $t_1 = 4$ и $t_2 = \frac{1}{3}$, положительные. Выполним обратную замену для каждого из них.

1) $x^2 = 4 \implies x = \pm \sqrt{4} = \pm 2$.

2) $x^2 = \frac{1}{3} \implies x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $-2; 2; -\frac{\sqrt{3}}{3}; \frac{\sqrt{3}}{3}$.