Номер 98, страница 231, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Авторы: Мордкович А. Г., Александрова Л. А., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е., Семенов П. В.
Тип: Учебник
Издательство: Мнемозина
Год издания: 2019 - 2025
Часть: 2
Цвет обложки:
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 8 классе
Итоговое повторение. Часть 2 - номер 98, страница 231.
№98 (с. 231)
Условие. №98 (с. 231)
скриншот условия

98 a) Известно, что $x_1^2 + x_2^2 = 13$, где $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2 + bx + 6 = 0$. Определите $b$.
б) Известно, что $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{1}{2}$, где $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2 + x + c = 0$. Определите $c$.
Решение 1. №98 (с. 231)


Решение 2. №98 (с. 231)

Решение 3. №98 (с. 231)

Решение 4. №98 (с. 231)

Решение 6. №98 (с. 231)
а)
Дано квадратное уравнение $x^2 + bx + 6 = 0$. По теореме Виета для приведенного квадратного уравнения ($ax^2+px+q=0$) справедливы следующие соотношения для его корней $x_1$ и $x_2$:
$x_1 + x_2 = -p$
$x_1 \cdot x_2 = q$
В нашем случае $p=b$ и $q=6$. Следовательно:
$x_1 + x_2 = -b$
$x_1 \cdot x_2 = 6$
По условию задачи нам дано, что $x_1^2 + x_2^2 = 13$. Выразим сумму квадратов корней через их сумму и произведение, используя тождество $(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$.
Отсюда получаем: $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$
Теперь подставим в это равенство известные нам значения из условия и из теоремы Виета:
$13 = (-b)^2 - 2 \cdot 6$
Решим полученное уравнение относительно $b$:
$13 = b^2 - 12$
$b^2 = 13 + 12$
$b^2 = 25$
$b = \pm\sqrt{25}$
Таким образом, $b$ может быть равен $5$ или $-5$.
Ответ: $b = 5$ или $b = -5$.
б)
Дано квадратное уравнение $x^2 + x + c = 0$. Снова применим теорему Виета. В этом уравнении коэффициент при $x$ равен $1$, а свободный член равен $c$.
Следовательно, для корней $x_1$ и $x_2$ имеем:
$x_1 + x_2 = -1$
$x_1 \cdot x_2 = c$
По условию задачи нам известно, что $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{1}{2}$.
Преобразуем левую часть этого выражения, приведя дроби к общему знаменателю:
$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_2 + x_1}{x_1x_2}$
Теперь подставим в это выражение значения суммы и произведения корней, которые мы получили из теоремы Виета:
$\frac{x_1 + x_2}{x_1x_2} = \frac{-1}{c}$
Приравняем это выражение к значению, данному в условии:
$\frac{-1}{c} = \frac{1}{2}$
Из этой пропорции находим $c$:
$c \cdot 1 = -1 \cdot 2$
$c = -2$
Проверим, что при $c=-2$ уравнение имеет действительные корни. Дискриминант $D = 1^2 - 4(1)(c) = 1 - 4(-2) = 1 + 8 = 9 > 0$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Также $x_1 \cdot x_2 = c = -2 \neq 0$, поэтому оба корня отличны от нуля, и выражение в условии корректно.
Ответ: $c = -2$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 98 расположенного на странице 231 для 2-й части к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №98 (с. 231), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Александрова (Лилия Александровна), Мишустина (Татьяна Николаевна), Тульчинская (Елена Ефимовна), Семенов (Павел Владимирович), 2-й части учебного пособия издательства Мнемозина.