Номер 98, страница 231, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 98, страница 231.

Условие.

98 a) Известно, что $x_1^2 + x_2^2 = 13$, где $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2 + bx + 6 = 0$. Определите $b$.

б) Известно, что $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{1}{2}$, где $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2 + x + c = 0$. Определите $c$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Дано квадратное уравнение $x^2 + bx + 6 = 0$. По теореме Виета для приведенного квадратного уравнения ($ax^2+px+q=0$) справедливы следующие соотношения для его корней $x_1$ и $x_2$:

$x_1 + x_2 = -p$
$x_1 \cdot x_2 = q$

В нашем случае $p=b$ и $q=6$. Следовательно:

$x_1 + x_2 = -b$
$x_1 \cdot x_2 = 6$

По условию задачи нам дано, что $x_1^2 + x_2^2 = 13$. Выразим сумму квадратов корней через их сумму и произведение, используя тождество $(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$.

Отсюда получаем: $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$

Теперь подставим в это равенство известные нам значения из условия и из теоремы Виета:

$13 = (-b)^2 - 2 \cdot 6$

Решим полученное уравнение относительно $b$:

$13 = b^2 - 12$
$b^2 = 13 + 12$
$b^2 = 25$
$b = \pm\sqrt{25}$

Таким образом, $b$ может быть равен $5$ или $-5$.

Ответ: $b = 5$ или $b = -5$.

б)

Дано квадратное уравнение $x^2 + x + c = 0$. Снова применим теорему Виета. В этом уравнении коэффициент при $x$ равен $1$, а свободный член равен $c$.

Следовательно, для корней $x_1$ и $x_2$ имеем:

$x_1 + x_2 = -1$
$x_1 \cdot x_2 = c$

По условию задачи нам известно, что $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{1}{2}$.

Преобразуем левую часть этого выражения, приведя дроби к общему знаменателю:

$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_2 + x_1}{x_1x_2}$

Теперь подставим в это выражение значения суммы и произведения корней, которые мы получили из теоремы Виета:

$\frac{x_1 + x_2}{x_1x_2} = \frac{-1}{c}$

Приравняем это выражение к значению, данному в условии:

$\frac{-1}{c} = \frac{1}{2}$

Из этой пропорции находим $c$:

$c \cdot 1 = -1 \cdot 2$
$c = -2$

Проверим, что при $c=-2$ уравнение имеет действительные корни. Дискриминант $D = 1^2 - 4(1)(c) = 1 - 4(-2) = 1 + 8 = 9 > 0$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Также $x_1 \cdot x_2 = c = -2 \neq 0$, поэтому оба корня отличны от нуля, и выражение в условии корректно.

Ответ: $c = -2$.