Номер 91, страница 231, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 91, страница 231.

Условие.

91 При каком значении $a$ вершина параболы $y = ax^2 + 6x - 5$ отстоит от начала координат на 5 единичных отрезков?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Для нахождения значения параметра $a$, сначала определим координаты вершины параболы $y = ax^2 + 6x - 5$. Координаты вершины $(x_v, y_v)$ для параболы вида $y = Ax^2 + Bx + C$ находятся по формулам:

$x_v = -\frac{B}{2A}$

$y_v = y(x_v)$

В нашем случае коэффициенты $A=a$, $B=6$, $C=-5$. Для того, чтобы уравнение задавало параболу, необходимо, чтобы $a \neq 0$.

Находим абсциссу вершины:

$x_v = -\frac{6}{2a} = -\frac{3}{a}$

Далее находим ординату вершины, подставив $x_v$ в уравнение параболы:

$y_v = a\left(-\frac{3}{a}\right)^2 + 6\left(-\frac{3}{a}\right) - 5 = a\left(\frac{9}{a^2}\right) - \frac{18}{a} - 5 = \frac{9}{a} - \frac{18}{a} - 5 = -\frac{9}{a} - 5$

Таким образом, вершина параболы имеет координаты $V\left(-\frac{3}{a}, -\frac{9}{a} - 5\right)$.

По условию задачи, расстояние от вершины параболы до начала координат $O(0, 0)$ равно 5. Расстояние $d$ между двумя точками с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ вычисляется по формуле $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$.

Применим эту формулу для точек $V$ и $O$:

$\sqrt{\left(-\frac{3}{a} - 0\right)^2 + \left(-\frac{9}{a} - 5 - 0\right)^2} = 5$

Чтобы избавиться от квадратного корня, возведем обе части уравнения в квадрат:

$\left(-\frac{3}{a}\right)^2 + \left(-\frac{9}{a} - 5\right)^2 = 5^2$

$\frac{9}{a^2} + \left(\frac{9}{a} + 5\right)^2 = 25$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:

$\frac{9}{a^2} + \left(\frac{81}{a^2} + 2 \cdot \frac{9}{a} \cdot 5 + 25\right) = 25$

$\frac{9}{a^2} + \frac{81}{a^2} + \frac{90}{a} + 25 = 25$

Приведем подобные слагаемые и упростим уравнение:

$\frac{90}{a^2} + \frac{90}{a} = 0$

Вынесем общий множитель $\frac{90}{a}$ за скобки:

$\frac{90}{a}\left(\frac{1}{a} + 1\right) = 0$

Поскольку $a \neq 0$, множитель $\frac{90}{a}$ не может быть равен нулю. Следовательно, равен нулю второй множитель:

$\frac{1}{a} + 1 = 0$

$\frac{1}{a} = -1$

$a = -1$

Полученное значение $a = -1$ удовлетворяет начальному условию $a \neq 0$.

Ответ: -1