Номер 92, страница 231, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 92, страница 231.

Условие.

92 a) Найдите значения a, b, c с квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$, если известно, что её график проходит через точки D(3; -2), F(0; 4), K(2; -4).

б) Найдите значения p и q квадратичной функции $y = x^2 + px + q$, если известно, что её график проходит через точки A(2; -3), B(-3; 7).

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Дана квадратичная функция $y = ax^2 + bx + c$. Её график проходит через точки D(3; –2), F(0; 4) и K(2; –4).
Чтобы найти коэффициенты $a$, $b$ и $c$, подставим координаты каждой точки в уравнение функции. Это даст нам систему из трех линейных уравнений с тремя неизвестными.

1. Для точки F(0; 4):
$4 = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c$
$c = 4$

2. Для точки D(3; –2):
$-2 = a \cdot 3^2 + b \cdot 3 + c$
$-2 = 9a + 3b + c$

3. Для точки K(2; –4):
$-4 = a \cdot 2^2 + b \cdot 2 + c$
$-4 = 4a + 2b + c$

Получаем систему уравнений:
$ \begin{cases} c = 4 \\ 9a + 3b + c = -2 \\ 4a + 2b + c = -4 \end{cases} $
Подставим значение $c = 4$ во второе и третье уравнения:
$ \begin{cases} 9a + 3b + 4 = -2 \\ 4a + 2b + 4 = -4 \end{cases} $
Упростим эти уравнения:
$ \begin{cases} 9a + 3b = -6 \\ 4a + 2b = -8 \end{cases} $
Разделим первое уравнение на 3, а второе на 2:
$ \begin{cases} 3a + b = -2 \\ 2a + b = -4 \end{cases} $
Вычтем второе уравнение из первого:
$(3a + b) - (2a + b) = -2 - (-4)$
$a = 2$
Теперь подставим значение $a = 2$ в уравнение $3a + b = -2$:
$3 \cdot 2 + b = -2$
$6 + b = -2$
$b = -8$
Таким образом, мы нашли все коэффициенты: $a = 2, b = -8, c = 4$.

Ответ: $a=2, b=-8, c=4$.

б)

Дана квадратичная функция $y = x^2 + px + q$. Её график проходит через точки A(2; –3) и B(–3; 7).
Чтобы найти коэффициенты $p$ и $q$, подставим координаты каждой точки в уравнение функции. Это даст нам систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

1. Для точки A(2; –3):
$-3 = 2^2 + p \cdot 2 + q$
$-3 = 4 + 2p + q$
$2p + q = -7$

2. Для точки B(–3; 7):
$7 = (-3)^2 + p \cdot (-3) + q$
$7 = 9 - 3p + q$
$-3p + q = -2$

Получаем систему уравнений:
$ \begin{cases} 2p + q = -7 \\ -3p + q = -2 \end{cases} $
Вычтем второе уравнение из первого:
$(2p + q) - (-3p + q) = -7 - (-2)$
$2p + 3p = -5$
$5p = -5$
$p = -1$
Теперь подставим значение $p = -1$ в уравнение $2p + q = -7$:
$2 \cdot (-1) + q = -7$
$-2 + q = -7$
$q = -5$
Таким образом, мы нашли все коэффициенты: $p = -1, q = -5$.

Ответ: $p=-1, q=-5$.