Номер 99, страница 232, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 99, страница 232.

Условие.

99 a) Разность корней квадратного уравнения $-x^2 + 11x + q = 0$ равна 3. Найдите значение параметра $q$.

б) Один из корней квадратного уравнения $3x^2 - 18x + c = 0$ в 5 раз больше другого. Найдите значение параметра $c$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Виета. Для квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы соотношения:

• $x_1 + x_2 = -b/a$
• $x_1 \cdot x_2 = c/a$

В нашем уравнении $-x^2 + 11x + q = 0$ коэффициенты равны: $a = -1$, $b = 11$, $c = q$.

Следовательно, по теореме Виета:

1. $x_1 + x_2 = -11 / (-1) = 11$
2. $x_1 \cdot x_2 = q / (-1) = -q$

По условию задачи, разность корней равна 3. Пусть $x_1 > x_2$, тогда $x_1 - x_2 = 3$.

Мы получили систему из двух линейных уравнений для нахождения корней:

$\begin{cases} x_1 + x_2 = 11 \\ x_1 - x_2 = 3 \end{cases}$

Сложив два уравнения, получим:

$(x_1 + x_2) + (x_1 - x_2) = 11 + 3$

$2x_1 = 14$

$x_1 = 7$

Подставим найденное значение $x_1$ в первое уравнение системы:

$7 + x_2 = 11$

$x_2 = 11 - 7 = 4$

Таким образом, корни уравнения - это 7 и 4. Теперь, используя второе соотношение из теоремы Виета, найдем параметр $q$:

$x_1 \cdot x_2 = -q$

$7 \cdot 4 = -q$

$28 = -q$

$q = -28$

Ответ: $q = -28$.

б) Рассмотрим квадратное уравнение $3x^2 - 18x + c = 0$. Обозначим его корни как $x_1$ и $x_2$.

По условию, один из корней в 5 раз больше другого. Запишем это соотношение как $x_1 = 5x_2$.

Применим теорему Виета. Для нашего уравнения коэффициенты равны: $a = 3$, $b = -18$, $c = c$.

Тогда:

1. $x_1 + x_2 = -(-18) / 3 = 18 / 3 = 6$
2. $x_1 \cdot x_2 = c / 3$

Получим систему уравнений для нахождения корней:

$\begin{cases} x_1 + x_2 = 6 \\ x_1 = 5x_2 \end{cases}$

Подставим второе уравнение в первое:

$5x_2 + x_2 = 6$

$6x_2 = 6$

$x_2 = 1$

Теперь найдем второй корень:

$x_1 = 5 \cdot x_2 = 5 \cdot 1 = 5$

Корни уравнения - это 5 и 1. Теперь, используя второе соотношение из теоремы Виета, найдем параметр $c$:

$x_1 \cdot x_2 = c / 3$

$5 \cdot 1 = c / 3$

$5 = c / 3$

$c = 5 \cdot 3 = 15$

Ответ: $c = 15$.