Номер 96, страница 231, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 96, страница 231.

Условие.

96 a) $x_{1,2} = 2 \pm \sqrt{3};$

б) $x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{7}}{2};$

в) $x_{1,2} = -3 \pm \sqrt{5};$

г) $x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{11}}{6}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Чтобы составить квадратное уравнение по его корням $x_1$ и $x_2$, можно воспользоваться теоремой, обратной теореме Виета. Уравнение будет иметь вид $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$.
В данном случае корни: $x_1 = 2 + \sqrt{3}$ и $x_2 = 2 - \sqrt{3}$.
Найдем их сумму: $x_1 + x_2 = (2 + \sqrt{3}) + (2 - \sqrt{3}) = 4$.
Найдем их произведение, используя формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$:
$x_1 \cdot x_2 = (2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$.
Подставим найденные значения в формулу уравнения: $x^2 - (4)x + 1 = 0$.
Искомое уравнение: $x^2 - 4x + 1 = 0$.

Ответ: $x^2 - 4x + 1 = 0$.

б)

Даны корни: $x_1 = \frac{3 + \sqrt{7}}{2}$ и $x_2 = \frac{3 - \sqrt{7}}{2}$.
Найдем сумму корней: $x_1 + x_2 = \frac{3 + \sqrt{7}}{2} + \frac{3 - \sqrt{7}}{2} = \frac{3 + \sqrt{7} + 3 - \sqrt{7}}{2} = \frac{6}{2} = 3$.
Найдем произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{3 + \sqrt{7}}{2} \cdot \frac{3 - \sqrt{7}}{2} = \frac{(3 + \sqrt{7})(3 - \sqrt{7})}{4} = \frac{3^2 - (\sqrt{7})^2}{4} = \frac{9 - 7}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Составим приведенное квадратное уравнение: $x^2 - 3x + \frac{1}{2} = 0$.
Для получения целых коэффициентов умножим обе части уравнения на 2: $2(x^2 - 3x + \frac{1}{2}) = 0$, что дает $2x^2 - 6x + 1 = 0$.

Ответ: $2x^2 - 6x + 1 = 0$.

в)

Даны корни: $x_1 = -3 + \sqrt{5}$ и $x_2 = -3 - \sqrt{5}$.
Найдем сумму корней: $x_1 + x_2 = (-3 + \sqrt{5}) + (-3 - \sqrt{5}) = -6$.
Найдем произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = (-3 + \sqrt{5})(-3 - \sqrt{5}) = (-3)^2 - (\sqrt{5})^2 = 9 - 5 = 4$.
Подставим значения в формулу $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$: $x^2 - (-6)x + 4 = 0$.
Искомое уравнение: $x^2 + 6x + 4 = 0$.

Ответ: $x^2 + 6x + 4 = 0$.

г)

Даны корни: $x_1 = \frac{-1 + \sqrt{11}}{6}$ и $x_2 = \frac{-1 - \sqrt{11}}{6}$.
Найдем сумму корней: $x_1 + x_2 = \frac{-1 + \sqrt{11}}{6} + \frac{-1 - \sqrt{11}}{6} = \frac{-1 + \sqrt{11} - 1 - \sqrt{11}}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$.
Найдем произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \left(\frac{-1 + \sqrt{11}}{6}\right) \left(\frac{-1 - \sqrt{11}}{6}\right) = \frac{(-1)^2 - (\sqrt{11})^2}{36} = \frac{1 - 11}{36} = \frac{-10}{36} = -\frac{5}{18}$.
Составим приведенное уравнение: $x^2 - (-\frac{1}{3})x + (-\frac{5}{18}) = 0$, что равносильно $x^2 + \frac{1}{3}x - \frac{5}{18} = 0$.
Умножим обе части уравнения на 18, чтобы избавиться от дробей: $18(x^2 + \frac{1}{3}x - \frac{5}{18}) = 0$, что дает $18x^2 + 6x - 5 = 0$.

Ответ: $18x^2 + 6x - 5 = 0$.