Номер 90, страница 230, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 90, страница 230.

Условие.

90 При каком значении c вершина параболы $y = x^2 - 10x + c$ отстоит от начала координат на 13 единичных отрезков?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Уравнение параболы задано в виде $y = x^2 - 10x + c$.
Координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$ для общего вида $y = ax^2 + bx + c$ находятся по формулам:
$x_v = -\frac{b}{2a}$
$y_v = y(x_v)$
В данном уравнении коэффициенты $a=1$ и $b=-10$.
Найдем абсциссу (координату $x$) вершины параболы:
$x_v = -\frac{-10}{2 \cdot 1} = \frac{10}{2} = 5$
Теперь найдем ординату (координату $y$) вершины, подставив значение $x_v = 5$ в уравнение параболы:
$y_v = (5)^2 - 10 \cdot 5 + c = 25 - 50 + c = c - 25$
Следовательно, вершина параболы находится в точке с координатами $V(5, c - 25)$.

Расстояние $d$ от точки с координатами $(x, y)$ до начала координат $(0, 0)$ вычисляется по формуле расстояния между двумя точками (которая является следствием теоремы Пифагора):
$d = \sqrt{(x - 0)^2 + (y - 0)^2} = \sqrt{x^2 + y^2}$
По условию задачи, расстояние от вершины параболы до начала координат равно 13. Подставим координаты вершины $x = 5$ и $y = c - 25$ в формулу расстояния:
$13 = \sqrt{5^2 + (c - 25)^2}$
Чтобы решить это уравнение относительно $c$, возведем обе части в квадрат:
$13^2 = 5^2 + (c - 25)^2$
$169 = 25 + (c - 25)^2$
Выразим слагаемое с неизвестной:
$(c - 25)^2 = 169 - 25$
$(c - 25)^2 = 144$
Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Следует помнить, что корень из числа может быть как положительным, так и отрицательным:
$c - 25 = \pm\sqrt{144}$
$c - 25 = \pm12$
Это приводит к двум возможным решениям:
1) $c - 25 = 12 \implies c = 12 + 25 \implies c = 37$
2) $c - 25 = -12 \implies c = -12 + 25 \implies c = 13$
Таким образом, существуют два значения $c$, при которых вершина параболы будет находиться на расстоянии 13 единичных отрезков от начала координат.
Ответ: $13$ или $37$.