Номер 95, страница 231, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Итоговое повторение - номер 95, страница 231.

Условие.

Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа:

95 a) $x_1 = -9, x_2 = 4;$

б) $x_1 = \frac{1}{6}, x_2 = -\frac{2}{3};$

в) $x_1 = -7, x_2 = -3;$

г) $x_1 = \frac{5}{6}, x_2 = \frac{2}{15}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Для составления квадратного уравнения по его корням $x_1$ и $x_2$ используется теорема, обратная теореме Виета. Согласно ей, числа $x_1$ и $x_2$ являются корнями приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$, если их сумма равна $-p$, а их произведение равно $q$.

Таким образом, искомое уравнение можно составить по формуле: $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$.

а) Даны корни $x_1 = -9$ и $x_2 = 4$.

1. Найдем сумму корней: $x_1 + x_2 = -9 + 4 = -5$.

2. Найдем произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -9 \cdot 4 = -36$.

3. Подставим найденные значения в формулу $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$:

$x^2 - (-5)x + (-36) = 0$

Раскрыв скобки, получаем искомое уравнение:

$x^2 + 5x - 36 = 0$

Ответ: $x^2 + 5x - 36 = 0$.

б) Даны корни $x_1 = \frac{1}{6}$ и $x_2 = -\frac{2}{3}$.

1. Найдем сумму корней, приведя дроби к общему знаменателю 6:

$x_1 + x_2 = \frac{1}{6} + (-\frac{2}{3}) = \frac{1}{6} - \frac{4}{6} = -\frac{3}{6} = -\frac{1}{2}$.

2. Найдем произведение корней:

$x_1 \cdot x_2 = \frac{1}{6} \cdot (-\frac{2}{3}) = -\frac{2}{18} = -\frac{1}{9}$.

3. Составим приведенное квадратное уравнение:

$x^2 - (-\frac{1}{2})x + (-\frac{1}{9}) = 0$

$x^2 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{9} = 0$

Чтобы получить уравнение с целыми коэффициентами, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 2 и 9, то есть на 18:

$18 \cdot (x^2 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{9}) = 18 \cdot 0$

$18x^2 + 18 \cdot \frac{1}{2}x - 18 \cdot \frac{1}{9} = 0$

$18x^2 + 9x - 2 = 0$

Ответ: $18x^2 + 9x - 2 = 0$.

в) Даны корни $x_1 = -7$ и $x_2 = -3$.

1. Найдем сумму корней: $x_1 + x_2 = -7 + (-3) = -10$.

2. Найдем произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = (-7) \cdot (-3) = 21$.

3. Подставим найденные значения в формулу:

$x^2 - (-10)x + 21 = 0$

Раскрыв скобки, получаем:

$x^2 + 10x + 21 = 0$

Ответ: $x^2 + 10x + 21 = 0$.

г) Даны корни $x_1 = \frac{5}{6}$ и $x_2 = \frac{2}{15}$.

1. Найдем сумму корней. Наименьший общий знаменатель для 6 и 15 это 30.

$x_1 + x_2 = \frac{5}{6} + \frac{2}{15} = \frac{5 \cdot 5}{30} + \frac{2 \cdot 2}{30} = \frac{25+4}{30} = \frac{29}{30}$.

2. Найдем произведение корней:

$x_1 \cdot x_2 = \frac{5}{6} \cdot \frac{2}{15} = \frac{10}{90} = \frac{1}{9}$.

3. Составим приведенное квадратное уравнение:

$x^2 - \frac{29}{30}x + \frac{1}{9} = 0$

Чтобы получить уравнение с целыми коэффициентами, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 30 и 9, то есть на 90:

$90 \cdot (x^2 - \frac{29}{30}x + \frac{1}{9}) = 90 \cdot 0$

$90x^2 - 90 \cdot \frac{29}{30}x + 90 \cdot \frac{1}{9} = 0$

$90x^2 - 3 \cdot 29x + 10 = 0$

$90x^2 - 87x + 10 = 0$

Ответ: $90x^2 - 87x + 10 = 0$.