Номер 100, страница 232, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 100, страница 232.

Условие.

100 a) Найдите значение параметра m в уравнении $x^2 - (m - 1)x + (4m^2 - 45m - 8) = 0,$ если произведение корней уравнения равно 28.

б) Найдите значение параметра m в уравнении $x^2 - (3m^2 + 16m - 8)x + (m + 9) = 0,$ если сумма корней уравнения равна 4.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Дано квадратное уравнение $x^2 - (m - 1)x + (4m^2 - 45m - 8) = 0$. Это приведенное квадратное уравнение, для которого, согласно теореме Виета, произведение корней $x_1 \cdot x_2$ равно свободному члену.

Свободный член в данном уравнении равен $4m^2 - 45m - 8$. По условию задачи, произведение корней равно 28. Составим уравнение относительно параметра $m$:

$4m^2 - 45m - 8 = 28$

Перенесем 28 в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$4m^2 - 45m - 36 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение для $m$. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-45)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-36) = 2025 + 576 = 2601$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{2601} = 51$.

Находим значения $m$:

$m_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{45 + 51}{2 \cdot 4} = \frac{96}{8} = 12$

$m_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{45 - 51}{2 \cdot 4} = \frac{-6}{8} = -\frac{3}{4}$

Теперь необходимо проверить, при каких из найденных значений $m$ исходное уравнение имеет действительные корни. Для этого его дискриминант $D_x$ должен быть неотрицательным ($D_x \ge 0$).

$D_x = (-(m-1))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (4m^2 - 45m - 8) = (m-1)^2 - 16m^2 + 180m + 32$

$D_x = m^2 - 2m + 1 - 16m^2 + 180m + 32 = -15m^2 + 178m + 33$

Проверим найденные значения $m$:

При $m = 12$:
$D_x = -15(12)^2 + 178(12) + 33 = -15 \cdot 144 + 2136 + 33 = -2160 + 2169 = 9$.
Так как $D_x > 0$, уравнение имеет действительные корни, и это значение $m$ подходит.

При $m = -\frac{3}{4}$:
$D_x = -15(-\frac{3}{4})^2 + 178(-\frac{3}{4}) + 33 = -15(\frac{9}{16}) - \frac{534}{4} + 33 = -\frac{135}{16} - \frac{2136}{16} + \frac{528}{16} = \frac{-1743}{16}$.
Так как $D_x < 0$, уравнение не имеет действительных корней, и это значение $m$ не подходит.

Ответ: 12

б)

Дано квадратное уравнение $x^2 - (3m^2 + 16m - 8)x + (m + 9) = 0$. Это приведенное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2$ равна второму коэффициенту с противоположным знаком.

Второй коэффициент равен $-(3m^2 + 16m - 8)$. Следовательно, сумма корней равна $3m^2 + 16m - 8$. По условию задачи, сумма корней равна 4. Составим уравнение:

$3m^2 + 16m - 8 = 4$

Перенесем 4 в левую часть:

$3m^2 + 16m - 12 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение для $m$. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 16^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-12) = 256 + 144 = 400$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{400} = 20$.

Находим значения $m$:

$m_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-16 + 20}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

$m_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-16 - 20}{2 \cdot 3} = \frac{-36}{6} = -6$

Проверим, при каких из найденных значений $m$ исходное уравнение имеет действительные корни. Дискриминант $D_x$ должен быть неотрицательным ($D_x \ge 0$).

$D_x = (-(3m^2 + 16m - 8))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m+9)$

Из нашего уравнения для $m$ мы знаем, что $3m^2 + 16m - 8 = 4$. Подставим это в выражение для $D_x$:

$D_x = (-4)^2 - 4(m+9) = 16 - 4m - 36 = -4m - 20$

Проверим условие $D_x \ge 0$ для каждого найденного $m$:

При $m = \frac{2}{3}$:
$D_x = -4(\frac{2}{3}) - 20 = -\frac{8}{3} - 20 < 0$.
Так как $D_x < 0$, уравнение не имеет действительных корней, и это значение $m$ не подходит.

При $m = -6$:
$D_x = -4(-6) - 20 = 24 - 20 = 4$.
Так как $D_x > 0$, уравнение имеет действительные корни, и это значение $m$ подходит.

Ответ: -6