Номер 105, страница 232, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 105, страница 232.

Условие.

105 a) $\frac{x^2 - 9}{2x + x^2} \cdot \frac{x^2 - 4}{5x + 15}$

б) $\frac{4y^2}{y^2 - 4y + 4} : \frac{y}{y - 2}$

в) $\frac{x - x^2}{25 - x^2} \cdot \frac{2x + 10}{x^2 - 1}$

г) $\frac{a}{a + 6} : \frac{6a^2}{a^2 + 36 + 12a}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) Чтобы умножить две рациональные дроби, необходимо перемножить их числители и знаменатели. Сначала разложим числители и знаменатели на множители, чтобы упростить выражение.
Исходное выражение: $ \frac{x^2 - 9}{2x + x^2} \cdot \frac{x^2 - 4}{5x + 15} $
Разложим на множители каждый числитель и знаменатель:
$ x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) $ (как разность квадратов).
$ 2x + x^2 = x(2 + x) = x(x + 2) $ (вынесение общего множителя).
$ x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) $ (как разность квадратов).
$ 5x + 15 = 5(x + 3) $ (вынесение общего множителя).
Теперь подставим разложенные выражения обратно в произведение:
$ \frac{(x - 3)(x + 3)}{x(x + 2)} \cdot \frac{(x - 2)(x + 2)}{5(x + 3)} $
Сократим общие множители $ (x + 3) $ и $ (x + 2) $ в числителе и знаменателе:
$ \frac{(x - 3)\cancel{(x + 3)}}{x\cancel{(x + 2)}} \cdot \frac{(x - 2)\cancel{(x + 2)}}{5\cancel{(x + 3)}} = \frac{(x - 3)(x - 2)}{5x} $
Ответ: $ \frac{(x - 3)(x - 2)}{5x} $

б) Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную (перевернутую) дробь.
Исходное выражение: $ \frac{4y^2}{y^2 - 4y + 4} : \frac{y}{y - 2} $
Перепишем деление как умножение:
$ \frac{4y^2}{y^2 - 4y + 4} \cdot \frac{y - 2}{y} $
Разложим знаменатель первой дроби на множители. Это полный квадрат разности $ a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2 $:
$ y^2 - 4y + 4 = y^2 - 2 \cdot y \cdot 2 + 2^2 = (y - 2)^2 $
Подставим разложение в наше выражение:
$ \frac{4y^2}{(y - 2)^2} \cdot \frac{y - 2}{y} $
Сократим общие множители. $ y^2 $ в числителе и $ y $ в знаменателе сокращаются до $ y $. $ (y - 2) $ в числителе и $ (y - 2)^2 $ в знаменателе сокращаются до $ (y - 2) $ в знаменателе:
$ \frac{4y \cdot \cancel{y} \cdot \cancel{(y - 2)}}{ (y - 2) \cdot \cancel{(y - 2)} \cdot \cancel{y}} = \frac{4y}{y - 2} $
Ответ: $ \frac{4y}{y - 2} $

в) Для умножения дробей перемножим их числители и знаменатели. Предварительно разложим их на множители.
Исходное выражение: $ \frac{x - x^2}{25 - x^2} \cdot \frac{2x + 10}{x^2 - 1} $
Разложим на множители:
$ x - x^2 = x(1 - x) = -x(x - 1) $
$ 25 - x^2 = (5 - x)(5 + x) $
$ 2x + 10 = 2(x + 5) $
$ x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) $
Подставим разложения в произведение:
$ \frac{-x(x - 1)}{(5 - x)(5 + x)} \cdot \frac{2(x + 5)}{(x - 1)(x + 1)} $
Сократим общие множители $ (x - 1) $ и $ (x + 5) $ (учитывая, что $ 5 + x = x + 5 $):
$ \frac{-x \cdot \cancel{(x - 1)}}{(5 - x)\cancel{(x + 5)}} \cdot \frac{2\cancel{(x + 5)}}{\cancel{(x - 1)}(x + 1)} = \frac{-2x}{(5 - x)(x + 1)} $
Чтобы сделать выражение более аккуратным, можно внести знак минуса в знаменатель:
$ \frac{2x}{-(5 - x)(x + 1)} = \frac{2x}{(x - 5)(x + 1)} $
Ответ: $ \frac{2x}{(x - 5)(x + 1)} $

г) Деление на дробь заменяем умножением на обратную дробь.
Исходное выражение: $ \frac{a}{a + 6} : \frac{6a^2}{a^2 + 36 + 12a} $
Перепишем как умножение:
$ \frac{a}{a + 6} \cdot \frac{a^2 + 12a + 36}{6a^2} $
Разложим на множители числитель второй дроби. Выражение $ a^2 + 12a + 36 $ является полным квадратом суммы $ x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2 $:
$ a^2 + 12a + 36 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 6 + 6^2 = (a + 6)^2 $
Подставим разложение в выражение:
$ \frac{a}{a + 6} \cdot \frac{(a + 6)^2}{6a^2} $
Сократим общие множители. $ a $ в числителе и $ a^2 $ в знаменателе сокращаются до $ a $ в знаменателе. $ (a+6)^2 $ в числителе и $ (a+6) $ в знаменателе сокращаются до $ (a+6) $ в числителе:
$ \frac{\cancel{a} \cdot (a + 6)\cancel{^2}}{\cancel{(a + 6)} \cdot 6a\cancel{^2}} = \frac{a+6}{6a} $
Ответ: $ \frac{a + 6}{6a} $