Страница 232, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

99 a) Разность корней квадратного уравнения $-x^2 + 11x + q = 0$ равна 3. Найдите значение параметра $q$.

б) Один из корней квадратного уравнения $3x^2 - 18x + c = 0$ в 5 раз больше другого. Найдите значение параметра $c$.

а) Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Виета. Для квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы соотношения:

• $x_1 + x_2 = -b/a$
• $x_1 \cdot x_2 = c/a$

В нашем уравнении $-x^2 + 11x + q = 0$ коэффициенты равны: $a = -1$, $b = 11$, $c = q$.

Следовательно, по теореме Виета:

1. $x_1 + x_2 = -11 / (-1) = 11$
2. $x_1 \cdot x_2 = q / (-1) = -q$

По условию задачи, разность корней равна 3. Пусть $x_1 > x_2$, тогда $x_1 - x_2 = 3$.

Мы получили систему из двух линейных уравнений для нахождения корней:

$\begin{cases} x_1 + x_2 = 11 \\ x_1 - x_2 = 3 \end{cases}$

Сложив два уравнения, получим:

$(x_1 + x_2) + (x_1 - x_2) = 11 + 3$

$2x_1 = 14$

$x_1 = 7$

Подставим найденное значение $x_1$ в первое уравнение системы:

$7 + x_2 = 11$

$x_2 = 11 - 7 = 4$

Таким образом, корни уравнения - это 7 и 4. Теперь, используя второе соотношение из теоремы Виета, найдем параметр $q$:

$x_1 \cdot x_2 = -q$

$7 \cdot 4 = -q$

$28 = -q$

$q = -28$

Ответ: $q = -28$.

б) Рассмотрим квадратное уравнение $3x^2 - 18x + c = 0$. Обозначим его корни как $x_1$ и $x_2$.

По условию, один из корней в 5 раз больше другого. Запишем это соотношение как $x_1 = 5x_2$.

Применим теорему Виета. Для нашего уравнения коэффициенты равны: $a = 3$, $b = -18$, $c = c$.

Тогда:

1. $x_1 + x_2 = -(-18) / 3 = 18 / 3 = 6$
2. $x_1 \cdot x_2 = c / 3$

Получим систему уравнений для нахождения корней:

$\begin{cases} x_1 + x_2 = 6 \\ x_1 = 5x_2 \end{cases}$

Подставим второе уравнение в первое:

$5x_2 + x_2 = 6$

$6x_2 = 6$

$x_2 = 1$

Теперь найдем второй корень:

$x_1 = 5 \cdot x_2 = 5 \cdot 1 = 5$

Корни уравнения - это 5 и 1. Теперь, используя второе соотношение из теоремы Виета, найдем параметр $c$:

$x_1 \cdot x_2 = c / 3$

$5 \cdot 1 = c / 3$

$5 = c / 3$

$c = 5 \cdot 3 = 15$

Ответ: $c = 15$.

100 a) Найдите значение параметра m в уравнении $x^2 - (m - 1)x + (4m^2 - 45m - 8) = 0,$ если произведение корней уравнения равно 28.

б) Найдите значение параметра m в уравнении $x^2 - (3m^2 + 16m - 8)x + (m + 9) = 0,$ если сумма корней уравнения равна 4.

а)

Дано квадратное уравнение $x^2 - (m - 1)x + (4m^2 - 45m - 8) = 0$. Это приведенное квадратное уравнение, для которого, согласно теореме Виета, произведение корней $x_1 \cdot x_2$ равно свободному члену.

Свободный член в данном уравнении равен $4m^2 - 45m - 8$. По условию задачи, произведение корней равно 28. Составим уравнение относительно параметра $m$:

$4m^2 - 45m - 8 = 28$

Перенесем 28 в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$4m^2 - 45m - 36 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение для $m$. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-45)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-36) = 2025 + 576 = 2601$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{2601} = 51$.

Находим значения $m$:

$m_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{45 + 51}{2 \cdot 4} = \frac{96}{8} = 12$

$m_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{45 - 51}{2 \cdot 4} = \frac{-6}{8} = -\frac{3}{4}$

Теперь необходимо проверить, при каких из найденных значений $m$ исходное уравнение имеет действительные корни. Для этого его дискриминант $D_x$ должен быть неотрицательным ($D_x \ge 0$).

$D_x = (-(m-1))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (4m^2 - 45m - 8) = (m-1)^2 - 16m^2 + 180m + 32$

$D_x = m^2 - 2m + 1 - 16m^2 + 180m + 32 = -15m^2 + 178m + 33$

Проверим найденные значения $m$:

При $m = 12$:
$D_x = -15(12)^2 + 178(12) + 33 = -15 \cdot 144 + 2136 + 33 = -2160 + 2169 = 9$.
Так как $D_x > 0$, уравнение имеет действительные корни, и это значение $m$ подходит.

При $m = -\frac{3}{4}$:
$D_x = -15(-\frac{3}{4})^2 + 178(-\frac{3}{4}) + 33 = -15(\frac{9}{16}) - \frac{534}{4} + 33 = -\frac{135}{16} - \frac{2136}{16} + \frac{528}{16} = \frac{-1743}{16}$.
Так как $D_x < 0$, уравнение не имеет действительных корней, и это значение $m$ не подходит.

Ответ: 12

б)

Дано квадратное уравнение $x^2 - (3m^2 + 16m - 8)x + (m + 9) = 0$. Это приведенное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2$ равна второму коэффициенту с противоположным знаком.

Второй коэффициент равен $-(3m^2 + 16m - 8)$. Следовательно, сумма корней равна $3m^2 + 16m - 8$. По условию задачи, сумма корней равна 4. Составим уравнение:

$3m^2 + 16m - 8 = 4$

Перенесем 4 в левую часть:

$3m^2 + 16m - 12 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение для $m$. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 16^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-12) = 256 + 144 = 400$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{400} = 20$.

Находим значения $m$:

$m_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-16 + 20}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

$m_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-16 - 20}{2 \cdot 3} = \frac{-36}{6} = -6$

Проверим, при каких из найденных значений $m$ исходное уравнение имеет действительные корни. Дискриминант $D_x$ должен быть неотрицательным ($D_x \ge 0$).

$D_x = (-(3m^2 + 16m - 8))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m+9)$

Из нашего уравнения для $m$ мы знаем, что $3m^2 + 16m - 8 = 4$. Подставим это в выражение для $D_x$:

$D_x = (-4)^2 - 4(m+9) = 16 - 4m - 36 = -4m - 20$

Проверим условие $D_x \ge 0$ для каждого найденного $m$:

При $m = \frac{2}{3}$:
$D_x = -4(\frac{2}{3}) - 20 = -\frac{8}{3} - 20 < 0$.
Так как $D_x < 0$, уравнение не имеет действительных корней, и это значение $m$ не подходит.

При $m = -6$:
$D_x = -4(-6) - 20 = 24 - 20 = 4$.
Так как $D_x > 0$, уравнение имеет действительные корни, и это значение $m$ подходит.

Ответ: -6

101 Разложите квадратный трёхчлен на множители:

а) $x^2 + 22x - 23$;

б) $-3x^2 - 8x + 3$;

в) $-x^2 + 18x - 77$;

г) $7x^2 + 9x + 2$.

Для разложения квадратного трёхчлена вида $ax^2 + bx + c$ на множители используется формула $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — это корни соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

а) Для разложения трёхчлена $x^2 + 22x - 23$ найдём корни уравнения $x^2 + 22x - 23 = 0$. Так как это приведённое квадратное уравнение ($a=1$), воспользуемся теоремой Виета: сумма корней $x_1 + x_2 = -22$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = -23$. Отсюда корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -23$.

Подставляем найденные корни в формулу разложения: $x^2 + 22x - 23 = 1 \cdot (x - 1)(x - (-23)) = (x - 1)(x + 23)$.

Ответ: $(x - 1)(x + 23)$.

б) Для разложения трёхчлена $-3x^2 - 8x + 3$ найдём корни уравнения $-3x^2 - 8x + 3 = 0$.

Найдём дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot (-3) \cdot 3 = 64 + 36 = 100$. $\sqrt{D} = 10$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-(-8) + 10}{2 \cdot (-3)} = \frac{18}{-6} = -3$; $x_2 = \frac{-(-8) - 10}{2 \cdot (-3)} = \frac{-2}{-6} = \frac{1}{3}$.

Подставляем корни и коэффициент $a=-3$ в формулу разложения: $-3(x - (-3))(x - \frac{1}{3}) = -3(x + 3)(x - \frac{1}{3})$.

Чтобы избавиться от дроби, умножим множитель $3$ на вторую скобку: $-(x + 3)(3x - 1)$.

Ответ: $-(x + 3)(3x - 1)$.

в) Для разложения трёхчлена $-x^2 + 18x - 77$ найдём корни уравнения $-x^2 + 18x - 77 = 0$. Умножим уравнение на -1, чтобы получить приведённое уравнение: $x^2 - 18x + 77 = 0$.

По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 18$ и $x_1 \cdot x_2 = 77$. Отсюда корни $x_1 = 7$ и $x_2 = 11$.

Подставляем корни и коэффициент $a=-1$ из исходного трёхчлена в формулу разложения: $-1(x - 7)(x - 11) = -(x - 7)(x - 11)$.

Ответ: $-(x - 7)(x - 11)$.

г) Для разложения трёхчлена $7x^2 + 9x + 2$ найдём корни уравнения $7x^2 + 9x + 2 = 0$.

Найдём дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 7 \cdot 2 = 81 - 56 = 25$. $\sqrt{D} = 5$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-9 + 5}{2 \cdot 7} = \frac{-4}{14} = -\frac{2}{7}$; $x_2 = \frac{-9 - 5}{2 \cdot 7} = \frac{-14}{14} = -1$.

Подставляем корни и коэффициент $a=7$ в формулу разложения: $7(x - (-\frac{2}{7}))(x - (-1)) = 7(x + \frac{2}{7})(x + 1)$.

Чтобы избавиться от дроби, умножим множитель $7$ на первую скобку: $(7x + 2)(x + 1)$.

Ответ: $(7x + 2)(x + 1)$.

102 Сократите дробь:

а) $\frac{x^2 + 2x - 63}{49 - x^2}$;

б) $\frac{6x^2 + x}{6x^2 - 17x - 3}$;

в) $\frac{8x - x^2}{x^2 - 3x - 40}$;

г) $\frac{5x^2 - 12x + 4}{25x^2 - 4}$.

а) $ \frac{x^2 + 2x - 63}{49 - x^2} $

Чтобы сократить дробь, необходимо разложить числитель и знаменатель на множители.

1. Разложим на множители числитель $x^2 + 2x - 63$. Для этого найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 2x - 63 = 0$.

Воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-63) = 4 + 252 = 256$.

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 16}{2} = \frac{14}{2} = 7$.

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 16}{2} = \frac{-18}{2} = -9$.

Таким образом, числитель раскладывается на множители: $x^2 + 2x - 63 = (x - x_1)(x - x_2) = (x - 7)(x - (-9)) = (x - 7)(x + 9)$.

2. Разложим на множители знаменатель $49 - x^2$. Это формула разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

$49 - x^2 = 7^2 - x^2 = (7 - x)(7 + x)$.

3. Запишем исходную дробь с разложенными числителем и знаменателем:

$ \frac{(x - 7)(x + 9)}{(7 - x)(7 + x)} $.

Заметим, что множители $(x-7)$ и $(7-x)$ являются противоположными, то есть $(x - 7) = -(7 - x)$.

$ \frac{-(7 - x)(x + 9)}{(7 - x)(7 + x)} $.

Сократим общий множитель $(7-x)$ в числителе и знаменателе:

$ -\frac{x + 9}{7 + x} = -\frac{x+9}{x+7} $.

Ответ: $ -\frac{x+9}{x+7} $

б) $ \frac{6x^2 + x}{6x^2 - 17x - 3} $

1. В числителе $6x^2 + x$ вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$6x^2 + x = x(6x + 1)$.

2. Разложим на множители знаменатель $6x^2 - 17x - 3$, решив квадратное уравнение $6x^2 - 17x - 3 = 0$.

$D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-3) = 289 + 72 = 361$.

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 + \sqrt{361}}{2 \cdot 6} = \frac{17 + 19}{12} = \frac{36}{12} = 3$.

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 - \sqrt{361}}{12} = \frac{17 - 19}{12} = \frac{-2}{12} = -\frac{1}{6}$.

Разложение имеет вид: $a(x-x_1)(x-x_2) = 6(x-3)(x-(-\frac{1}{6})) = 6(x-3)(x+\frac{1}{6})$. Для удобства умножим второй множитель на 6: $(x-3)(6x+1)$.

3. Подставим полученные выражения в дробь и выполним сокращение:

$ \frac{x(6x + 1)}{(x - 3)(6x + 1)} = \frac{x}{x-3} $.

Ответ: $ \frac{x}{x-3} $

в) $ \frac{8x - x^2}{x^2 - 3x - 40} $

1. Разложим числитель $8x - x^2$, вынеся $x$ за скобки:

$8x - x^2 = x(8 - x)$.

2. Разложим знаменатель $x^2 - 3x - 40$, решив уравнение $x^2 - 3x - 40 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = 3$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = -40$. Подбором находим корни: $x_1 = 8$ и $x_2 = -5$.

Следовательно, $x^2 - 3x - 40 = (x - 8)(x - (-5)) = (x - 8)(x + 5)$.

3. Запишем дробь с разложенными частями:

$ \frac{x(8 - x)}{(x - 8)(x + 5)} $.

Так как $(8 - x) = -(x - 8)$, то:

$ \frac{-x(x - 8)}{(x - 8)(x + 5)} $.

Сокращаем на $(x-8)$:

$ -\frac{x}{x+5} $.

Ответ: $ -\frac{x}{x+5} $

г) $ \frac{5x^2 - 12x + 4}{25x^2 - 4} $

1. Разложим числитель $5x^2 - 12x + 4$. Найдем корни уравнения $5x^2 - 12x + 4 = 0$.

$D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 4 = 144 - 80 = 64$.

$x_1 = \frac{12 + \sqrt{64}}{2 \cdot 5} = \frac{12 + 8}{10} = \frac{20}{10} = 2$.

$x_2 = \frac{12 - \sqrt{64}}{10} = \frac{12 - 8}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.

Разложение: $5x^2 - 12x + 4 = 5(x-2)(x-\frac{2}{5}) = (x-2)(5x-2)$.

2. Знаменатель $25x^2 - 4$ — это разность квадратов:

$25x^2 - 4 = (5x)^2 - 2^2 = (5x - 2)(5x + 2)$.

3. Подставим выражения в дробь и сократим общий множитель $(5x-2)$:

$ \frac{(x - 2)(5x - 2)}{(5x - 2)(5x + 2)} = \frac{x - 2}{5x + 2} $.

Ответ: $ \frac{x-2}{5x+2} $

Упростите выражение:

103 a) $\frac{4 - a}{a} + \frac{a}{4 + a}$

б) $\frac{2 - c}{2 + c} - \frac{2 + c}{2 - c}$

в) $\frac{1 + x}{x} - \frac{x + 2}{1 + x}$

г) $\frac{3}{3 + y} + \frac{y}{3 - y}$

а) $\frac{4-a}{a} + \frac{a}{4+a}$

Для сложения дробей их необходимо привести к общему знаменателю. В данном случае общий знаменатель равен произведению знаменателей исходных дробей: $a(4+a)$.

Домножим числитель и знаменатель первой дроби на $(4+a)$, а второй дроби — на $a$:

$\frac{(4-a)(4+a)}{a(4+a)} + \frac{a \cdot a}{a(4+a)}$

Теперь, когда знаменатели одинаковы, можно сложить числители:

$\frac{(4-a)(4+a) + a^2}{a(4+a)}$

В числителе применяем формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$ для выражения $(4-a)(4+a)$:

$\frac{4^2 - a^2 + a^2}{a(4+a)} = \frac{16 - a^2 + a^2}{a(4+a)}$

Взаимно уничтожаем $-a^2$ и $+a^2$ в числителе:

$\frac{16}{a(4+a)}$

Ответ: $\frac{16}{a(4+a)}$

б) $\frac{2-c}{2+c} - \frac{2+c}{2-c}$

Приведем дроби к общему знаменателю, который равен $(2+c)(2-c)$. По формуле разности квадратов это выражение равно $4-c^2$.

Домножим первую дробь на $(2-c)$, а вторую — на $(2+c)$:

$\frac{(2-c)(2-c)}{(2+c)(2-c)} - \frac{(2+c)(2+c)}{(2+c)(2-c)} = \frac{(2-c)^2 - (2+c)^2}{(2+c)(2-c)}$

Числитель представляет собой разность квадратов, которую можно разложить по формуле $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, где $x = 2-c$ и $y = 2+c$:

$(2-c)^2 - (2+c)^2 = ((2-c) - (2+c))((2-c) + (2+c)) = (2-c-2-c)(2-c+2+c) = (-2c)(4) = -8c$

В качестве альтернативы можно раскрыть квадраты в числителе:

$(4-4c+c^2) - (4+4c+c^2) = 4-4c+c^2-4-4c-c^2 = -8c$

Подставим полученные выражения для числителя и знаменателя:

$\frac{-8c}{4-c^2}$

Ответ: $\frac{-8c}{4-c^2}$

в) $\frac{1+x}{x} - \frac{x+2}{1+x}$

Общий знаменатель для этих дробей равен $x(1+x)$. Приведем дроби к этому знаменателю:

$\frac{(1+x)(1+x)}{x(1+x)} - \frac{x(x+2)}{x(1+x)} = \frac{(1+x)^2 - x(x+2)}{x(1+x)}$

Раскроем скобки в числителе. $(1+x)^2$ - это квадрат суммы, равный $1+2x+x^2$. Выражение $x(x+2)$ равно $x^2+2x$.

$\frac{(1+2x+x^2) - (x^2+2x)}{x(1+x)}$

Раскроем вторые скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{1+2x+x^2 - x^2 - 2x}{x(1+x)} = \frac{1}{x(1+x)}$

Ответ: $\frac{1}{x(1+x)}$

г) $\frac{3}{3+y} + \frac{y}{3-y}$

Общий знаменатель для дробей — $(3+y)(3-y)$, что по формуле разности квадратов равно $9-y^2$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{3(3-y)}{(3+y)(3-y)} + \frac{y(3+y)}{(3+y)(3-y)} = \frac{3(3-y) + y(3+y)}{(3+y)(3-y)}$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$3(3-y) + y(3+y) = 9 - 3y + 3y + y^2 = 9 + y^2$

Теперь запишем итоговую дробь:

$\frac{9+y^2}{9-y^2}$

Ответ: $\frac{y^2+9}{9-y^2}$

104 a) $ \frac{4a}{a^2 - 1} + \frac{a - 1}{a + 1}; $

б) $ \frac{2b - 5}{b^2 - 5b} + \frac{1}{5 - b}; $

в) $ \frac{12x}{x^2 - 9} + \frac{x - 3}{x + 3}; $

г) $ \frac{m + 2}{3m^2 - 3m} - \frac{1}{m - 1}. $

а) $\frac{4a}{a^2 - 1} + \frac{a - 1}{a + 1}$

Чтобы сложить дроби, их нужно привести к общему знаменателю. Сначала разложим знаменатель первой дроби на множители по формуле разности квадратов: $a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1)$.

$\frac{4a}{(a - 1)(a + 1)} + \frac{a - 1}{a + 1}$

Общий знаменатель для этих дробей - это $(a - 1)(a + 1)$. Домножим числитель и знаменатель второй дроби на дополнительный множитель $(a - 1)$:

$\frac{4a}{(a - 1)(a + 1)} + \frac{(a - 1)(a - 1)}{(a + 1)(a - 1)} = \frac{4a + (a - 1)^2}{(a - 1)(a + 1)}$

Теперь раскроем скобки в числителе, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$\frac{4a + a^2 - 2a + 1}{(a - 1)(a + 1)} = \frac{a^2 + 2a + 1}{(a - 1)(a + 1)}$

Выражение в числителе является полным квадратом. Свернем его по формуле квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:

$\frac{(a + 1)^2}{(a - 1)(a + 1)}$

Сократим дробь на общий множитель $(a + 1)$:

$\frac{a + 1}{a - 1}$

Ответ: $\frac{a + 1}{a - 1}$

б) $\frac{2b - 5}{b^2 - 5b} + \frac{1}{5 - b}$

Разложим на множители знаменатель первой дроби, вынеся общий множитель $b$ за скобки: $b^2 - 5b = b(b - 5)$.

$\frac{2b - 5}{b(b - 5)} + \frac{1}{5 - b}$

Заметим, что знаменатель второй дроби $5 - b$ можно представить как $-(b - 5)$. Вынесем минус из знаменателя и поменяем знак перед дробью:

$\frac{2b - 5}{b(b - 5)} - \frac{1}{b - 5}$

Теперь приведем дроби к общему знаменателю $b(b - 5)$. Дополнительный множитель для второй дроби - $b$.

$\frac{2b - 5}{b(b - 5)} - \frac{1 \cdot b}{(b - 5) \cdot b} = \frac{2b - 5 - b}{b(b - 5)}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{b - 5}{b(b - 5)}$

Сократим дробь на общий множитель $(b - 5)$:

$\frac{1}{b}$

Ответ: $\frac{1}{b}$

в) $\frac{12x}{x^2 - 9} + \frac{x - 3}{x + 3}$

Разложим знаменатель первой дроби по формуле разности квадратов: $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$.

$\frac{12x}{(x - 3)(x + 3)} + \frac{x - 3}{x + 3}$

Общий знаменатель - $(x - 3)(x + 3)$. Дополнительный множитель для второй дроби - $(x - 3)$.

$\frac{12x}{(x - 3)(x + 3)} + \frac{(x - 3)(x - 3)}{(x + 3)(x - 3)} = \frac{12x + (x - 3)^2}{(x - 3)(x + 3)}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{12x + x^2 - 6x + 9}{(x - 3)(x + 3)} = \frac{x^2 + 6x + 9}{(x - 3)(x + 3)}$

Свернем числитель по формуле квадрата суммы:

$\frac{(x + 3)^2}{(x - 3)(x + 3)}$

Сократим дробь на $(x + 3)$:

$\frac{x + 3}{x - 3}$

Ответ: $\frac{x + 3}{x - 3}$

г) $\frac{m + 2}{3m^2 - 3m} - \frac{1}{m - 1}$

Разложим на множители знаменатель первой дроби, вынеся за скобки $3m$: $3m^2 - 3m = 3m(m - 1)$.

$\frac{m + 2}{3m(m - 1)} - \frac{1}{m - 1}$

Общий знаменатель - $3m(m - 1)$. Дополнительный множитель для второй дроби - $3m$.

$\frac{m + 2}{3m(m - 1)} - \frac{1 \cdot 3m}{(m - 1) \cdot 3m} = \frac{m + 2 - 3m}{3m(m - 1)}$

Упростим числитель:

$\frac{2 - 2m}{3m(m - 1)}$

В числителе вынесем общий множитель 2 за скобки:

$\frac{2(1 - m)}{3m(m - 1)}$

Чтобы можно было сократить дробь, в числителе вынесем -1 за скобки: $1 - m = -(m - 1)$.

$\frac{-2(m - 1)}{3m(m - 1)}$

Сократим дробь на общий множитель $(m - 1)$:

$-\frac{2}{3m}$

Ответ: $-\frac{2}{3m}$

105 a) $\frac{x^2 - 9}{2x + x^2} \cdot \frac{x^2 - 4}{5x + 15}$

б) $\frac{4y^2}{y^2 - 4y + 4} : \frac{y}{y - 2}$

в) $\frac{x - x^2}{25 - x^2} \cdot \frac{2x + 10}{x^2 - 1}$

г) $\frac{a}{a + 6} : \frac{6a^2}{a^2 + 36 + 12a}$

а) Чтобы умножить две рациональные дроби, необходимо перемножить их числители и знаменатели. Сначала разложим числители и знаменатели на множители, чтобы упростить выражение.
Исходное выражение: $ \frac{x^2 - 9}{2x + x^2} \cdot \frac{x^2 - 4}{5x + 15} $
Разложим на множители каждый числитель и знаменатель:
$ x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) $ (как разность квадратов).
$ 2x + x^2 = x(2 + x) = x(x + 2) $ (вынесение общего множителя).
$ x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) $ (как разность квадратов).
$ 5x + 15 = 5(x + 3) $ (вынесение общего множителя).
Теперь подставим разложенные выражения обратно в произведение:
$ \frac{(x - 3)(x + 3)}{x(x + 2)} \cdot \frac{(x - 2)(x + 2)}{5(x + 3)} $
Сократим общие множители $ (x + 3) $ и $ (x + 2) $ в числителе и знаменателе:
$ \frac{(x - 3)\cancel{(x + 3)}}{x\cancel{(x + 2)}} \cdot \frac{(x - 2)\cancel{(x + 2)}}{5\cancel{(x + 3)}} = \frac{(x - 3)(x - 2)}{5x} $
Ответ: $ \frac{(x - 3)(x - 2)}{5x} $

б) Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную (перевернутую) дробь.
Исходное выражение: $ \frac{4y^2}{y^2 - 4y + 4} : \frac{y}{y - 2} $
Перепишем деление как умножение:
$ \frac{4y^2}{y^2 - 4y + 4} \cdot \frac{y - 2}{y} $
Разложим знаменатель первой дроби на множители. Это полный квадрат разности $ a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2 $:
$ y^2 - 4y + 4 = y^2 - 2 \cdot y \cdot 2 + 2^2 = (y - 2)^2 $
Подставим разложение в наше выражение:
$ \frac{4y^2}{(y - 2)^2} \cdot \frac{y - 2}{y} $
Сократим общие множители. $ y^2 $ в числителе и $ y $ в знаменателе сокращаются до $ y $. $ (y - 2) $ в числителе и $ (y - 2)^2 $ в знаменателе сокращаются до $ (y - 2) $ в знаменателе:
$ \frac{4y \cdot \cancel{y} \cdot \cancel{(y - 2)}}{ (y - 2) \cdot \cancel{(y - 2)} \cdot \cancel{y}} = \frac{4y}{y - 2} $
Ответ: $ \frac{4y}{y - 2} $

в) Для умножения дробей перемножим их числители и знаменатели. Предварительно разложим их на множители.
Исходное выражение: $ \frac{x - x^2}{25 - x^2} \cdot \frac{2x + 10}{x^2 - 1} $
Разложим на множители:
$ x - x^2 = x(1 - x) = -x(x - 1) $
$ 25 - x^2 = (5 - x)(5 + x) $
$ 2x + 10 = 2(x + 5) $
$ x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) $
Подставим разложения в произведение:
$ \frac{-x(x - 1)}{(5 - x)(5 + x)} \cdot \frac{2(x + 5)}{(x - 1)(x + 1)} $
Сократим общие множители $ (x - 1) $ и $ (x + 5) $ (учитывая, что $ 5 + x = x + 5 $):
$ \frac{-x \cdot \cancel{(x - 1)}}{(5 - x)\cancel{(x + 5)}} \cdot \frac{2\cancel{(x + 5)}}{\cancel{(x - 1)}(x + 1)} = \frac{-2x}{(5 - x)(x + 1)} $
Чтобы сделать выражение более аккуратным, можно внести знак минуса в знаменатель:
$ \frac{2x}{-(5 - x)(x + 1)} = \frac{2x}{(x - 5)(x + 1)} $
Ответ: $ \frac{2x}{(x - 5)(x + 1)} $

г) Деление на дробь заменяем умножением на обратную дробь.
Исходное выражение: $ \frac{a}{a + 6} : \frac{6a^2}{a^2 + 36 + 12a} $
Перепишем как умножение:
$ \frac{a}{a + 6} \cdot \frac{a^2 + 12a + 36}{6a^2} $
Разложим на множители числитель второй дроби. Выражение $ a^2 + 12a + 36 $ является полным квадратом суммы $ x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2 $:
$ a^2 + 12a + 36 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 6 + 6^2 = (a + 6)^2 $
Подставим разложение в выражение:
$ \frac{a}{a + 6} \cdot \frac{(a + 6)^2}{6a^2} $
Сократим общие множители. $ a $ в числителе и $ a^2 $ в знаменателе сокращаются до $ a $ в знаменателе. $ (a+6)^2 $ в числителе и $ (a+6) $ в знаменателе сокращаются до $ (a+6) $ в числителе:
$ \frac{\cancel{a} \cdot (a + 6)\cancel{^2}}{\cancel{(a + 6)} \cdot 6a\cancel{^2}} = \frac{a+6}{6a} $
Ответ: $ \frac{a + 6}{6a} $

106 a) $(5a - b)^2 \cdot \frac{5b}{25a^2 - b^2};$

б) $\frac{4ax + 4a^2 + x^2}{3x} : (2a^2 + ax);$

в) $\frac{8b}{b^2 - 16} \cdot (b^2 - 8b + 16);$

г) $(3xy - y^2) : \frac{y^2 - 9x^2}{3y}.$

а)

Чтобы упростить выражение $(5a - b)^2 \cdot \frac{5b}{25a^2 - b^2}$, сначала разложим знаменатель дроби на множители, используя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

$25a^2 - b^2 = (5a)^2 - b^2 = (5a - b)(5a + b)$

Теперь подставим разложенный знаменатель обратно в исходное выражение:

$(5a - b)^2 \cdot \frac{5b}{(5a - b)(5a + b)}$

Представим $(5a - b)^2$ как дробь $\frac{(5a - b)^2}{1}$ и выполним умножение:

$\frac{(5a - b)^2 \cdot 5b}{(5a - b)(5a + b)}$

Сократим дробь на общий множитель $(5a - b)$:

$\frac{(5a - b) \cdot 5b}{5a + b} = \frac{5b(5a - b)}{5a + b}$

Ответ: $\frac{5b(5a - b)}{5a + b}$

б)

Рассмотрим выражение $\frac{4ax + 4a^2 + x^2}{3x} : (2a^2 + ax)$.

Сначала упростим числитель первой дроби. Переставим слагаемые: $x^2 + 4ax + 4a^2$. Это полный квадрат суммы, который можно свернуть по формуле $(p + q)^2 = p^2 + 2pq + q^2$. В нашем случае $p=x$ и $q=2a$.

$x^2 + 4ax + 4a^2 = (x + 2a)^2$

Теперь упростим выражение, на которое мы делим. Вынесем общий множитель $a$ за скобки:

$2a^2 + ax = a(2a + x)$

Перепишем исходное выражение с упрощенными частями:

$\frac{(x + 2a)^2}{3x} : a(2a + x)$

Деление на выражение равносильно умножению на обратное ему. Заменим деление на умножение:

$\frac{(x + 2a)^2}{3x} \cdot \frac{1}{a(2a + x)} = \frac{(x + 2a)^2}{3x \cdot a(2a + x)}$

Сократим дробь на общий множитель $(x + 2a)$:

$\frac{x + 2a}{3ax}$

Ответ: $\frac{x + 2a}{3ax}$

в)

Упростим выражение $\frac{8b}{b^2 - 16} \cdot (b^2 - 8b + 16)$.

Разложим на множители знаменатель первой дроби по формуле разности квадратов:

$b^2 - 16 = b^2 - 4^2 = (b - 4)(b + 4)$

Разложим на множители второй сомножитель. Выражение $b^2 - 8b + 16$ является полным квадратом разности и сворачивается по формуле $(p - q)^2 = p^2 - 2pq + q^2$. В нашем случае $p=b$ и $q=4$.

$b^2 - 8b + 16 = (b - 4)^2$

Подставим разложенные выражения в исходный пример:

$\frac{8b}{(b - 4)(b + 4)} \cdot (b - 4)^2 = \frac{8b \cdot (b - 4)^2}{(b - 4)(b + 4)}$

Сократим дробь на общий множитель $(b - 4)$:

$\frac{8b(b - 4)}{b + 4}$

Ответ: $\frac{8b(b - 4)}{b + 4}$

г)

Рассмотрим выражение $(3xy - y^2) : \frac{y^2 - 9x^2}{3y}$.

Сначала упростим делимое, вынеся общий множитель $y$ за скобки:

$3xy - y^2 = y(3x - y)$

Теперь упростим числитель дроби-делителя, используя формулу разности квадратов:

$y^2 - 9x^2 = y^2 - (3x)^2 = (y - 3x)(y + 3x)$

Перепишем исходное выражение с упрощенными частями:

$y(3x - y) : \frac{(y - 3x)(y + 3x)}{3y}$

Заменим деление на умножение на обратную дробь:

$y(3x - y) \cdot \frac{3y}{(y - 3x)(y + 3x)} = \frac{y(3x - y) \cdot 3y}{(y - 3x)(y + 3x)}$

Заметим, что $(3x - y) = -(y - 3x)$. Подставим это в выражение:

$\frac{y \cdot (-(y - 3x)) \cdot 3y}{(y - 3x)(y + 3x)} = \frac{-3y^2(y - 3x)}{(y - 3x)(y + 3x)}$

Сократим дробь на общий множитель $(y - 3x)$:

$\frac{-3y^2}{y + 3x} = -\frac{3y^2}{y + 3x}$

Ответ: $-\frac{3y^2}{y + 3x}$