Страница 237, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

138 Докажите, что при всех допустимых значениях переменной $x$ значение выражения не зависит от $x$:

а) $(\frac{3\sqrt{x} - x\sqrt{x}}{3-x} - 2)^{-1} : \frac{\sqrt{x}+2}{x-4}$;

б) $(\frac{x - 2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2} + 1)^{-1} \cdot \frac{x-1}{\sqrt{x}-1}$.

а)

Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от $x$, нужно его упростить. Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$.

1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.
2. Знаменатели дробей не могут быть равны нулю: $3-x \ne 0 \Rightarrow x \ne 3$ и $x-4 \ne 0 \Rightarrow x \ne 4$.
3. Выражение, на которое производится деление, не должно равняться нулю. Числитель $\sqrt{x} + 2$ всегда больше нуля при $x \ge 0$, поэтому дробь $\frac{\sqrt{x} + 2}{x-4}$ не равна нулю, если ее знаменатель не равен нулю, что мы уже учли.
4. Основание степени с показателем $-1$ не должно быть равно нулю. Проверим это в ходе упрощения.

ОДЗ: $x \ge 0$, $x \ne 3$, $x \ne 4$.

Приступим к упрощению выражения $ \left( \frac{3\sqrt{x} - x\sqrt{x}}{3-x} - 2 \right)^{-1} : \frac{\sqrt{x} + 2}{x-4} $.

1. Упростим первую дробь в скобках, вынеся в числителе общий множитель $\sqrt{x}$ за скобки:
$ \frac{3\sqrt{x} - x\sqrt{x}}{3-x} = \frac{\sqrt{x}(3 - x)}{3-x} $
При $x \ne 3$ можно сократить дробь:
$ \frac{\sqrt{x}\cancel{(3 - x)}}{\cancel{3-x}} = \sqrt{x} $

2. Подставим результат в скобки:
$ (\sqrt{x} - 2) $

3. Теперь все выражение принимает вид:
$ (\sqrt{x} - 2)^{-1} : \frac{\sqrt{x} + 2}{x-4} $
Возводим в степень $-1$ (это равносильно нахождению обратного числа):
$ \frac{1}{\sqrt{x} - 2} : \frac{\sqrt{x} + 2}{x-4} $
Здесь возникает требование, чтобы знаменатель $\sqrt{x} - 2$ не был равен нулю, то есть $\sqrt{x} \ne 2$, что означает $x \ne 4$. Это условие уже входит в ОДЗ.

4. Заменим деление на умножение, перевернув вторую дробь:
$ \frac{1}{\sqrt{x} - 2} \cdot \frac{x-4}{\sqrt{x} + 2} $

5. Разложим числитель второй дроби $x-4$ по формуле разности квадратов: $x-4 = (\sqrt{x})^2 - 2^2 = (\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)$.
$ \frac{1}{\sqrt{x} - 2} \cdot \frac{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}{\sqrt{x} + 2} $

6. Сократим одинаковые множители. Так как $x \ne 4$, то $\sqrt{x}-2 \ne 0$. Множитель $\sqrt{x}+2$ всегда положителен.
$ \frac{1}{\cancel{\sqrt{x} - 2}} \cdot \frac{\cancel{(\sqrt{x}-2)}\cancel{(\sqrt{x}+2)}}{\cancel{\sqrt{x} + 2}} = 1 $

Полученное значение равно 1 и не зависит от $x$.

Ответ: 1

б)

Аналогично предыдущему пункту, сначала найдем ОДЗ, а затем упростим выражение.

1. Подкоренное выражение: $x \ge 0$.
2. Знаменатели дробей: $\sqrt{x}-2 \ne 0 \Rightarrow x \ne 4$ и $\sqrt{x}-1 \ne 0 \Rightarrow x \ne 1$.
3. Основание степени с показателем $-1$ не должно быть равно нулю.

ОДЗ: $x \ge 0$, $x \ne 1$, $x \ne 4$.

Упростим выражение $ \left( \frac{x - 2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2} + 1 \right)^{-1} \cdot \frac{x-1}{\sqrt{x}-1} $.

1. Упростим дробь в скобках, вынеся в числителе $\sqrt{x}$ за скобки:
$ \frac{x - 2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2} = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}{\sqrt{x}-2} $
При $x \ne 4$ сокращаем дробь:
$ \frac{\sqrt{x}\cancel{(\sqrt{x}-2)}}{\cancel{\sqrt{x}-2}} = \sqrt{x} $

2. Подставим результат в скобки:
$ (\sqrt{x} + 1) $

3. Выражение принимает вид:
$ (\sqrt{x} + 1)^{-1} \cdot \frac{x-1}{\sqrt{x}-1} $
Возведем в степень $-1$:
$ \frac{1}{\sqrt{x} + 1} \cdot \frac{x-1}{\sqrt{x}-1} $
Знаменатель $\sqrt{x} + 1$ не равен нулю при всех $x$ из ОДЗ.

4. Разложим числитель второй дроби $x-1$ по формуле разности квадратов: $x-1 = (\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)$.
$ \frac{1}{\sqrt{x} + 1} \cdot \frac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}-1} $

5. Сократим одинаковые множители. Так как $x \ne 1$, то $\sqrt{x}-1 \ne 0$.
$ \frac{1}{\cancel{\sqrt{x} + 1}} \cdot \frac{\cancel{(\sqrt{x}-1)}\cancel{(\sqrt{x}+1)}}{\cancel{\sqrt{x}-1}} = 1 $

Полученное значение равно 1 и не зависит от $x$.

Ответ: 1

139 Найдите значение выражения:

а) $\sqrt{(3\sqrt{2} - 2\sqrt{5})^2} + 3\sqrt{2};$

б) $\sqrt{(2 - \sqrt{7})^2} + \sqrt{(3 - \sqrt{7})^2};$

в) $\sqrt{(2\sqrt{15} - 3\sqrt{7})^2} - 3\sqrt{7};$

г) $\sqrt{(\sqrt{10} - 3)^2} + \sqrt{(\sqrt{10} - 4)^2}.$

а)

Найдем значение выражения $\sqrt{(3\sqrt{2} - 2\sqrt{5})^2} + 3\sqrt{2}$.
Используем свойство $\sqrt{a^2} = |a|$. Тогда выражение можно записать как $|3\sqrt{2} - 2\sqrt{5}| + 3\sqrt{2}$.
Чтобы раскрыть модуль, нужно определить знак выражения $3\sqrt{2} - 2\sqrt{5}$. Для этого сравним числа $3\sqrt{2}$ и $2\sqrt{5}$, возведя их в квадрат:
$(3\sqrt{2})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$.
$(2\sqrt{5})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20$.
Так как $18 < 20$, то $3\sqrt{2} < 2\sqrt{5}$. Следовательно, разность $3\sqrt{2} - 2\sqrt{5}$ отрицательна.
По определению модуля, $|x| = -x$ при $x < 0$. Значит, $|3\sqrt{2} - 2\sqrt{5}| = -(3\sqrt{2} - 2\sqrt{5}) = 2\sqrt{5} - 3\sqrt{2}$.
Подставим это в наше выражение: $(2\sqrt{5} - 3\sqrt{2}) + 3\sqrt{2} = 2\sqrt{5} - 3\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 2\sqrt{5}$.

Ответ: $2\sqrt{5}$.

б)

Найдем значение выражения $\sqrt{(2 - \sqrt{7})^2} + \sqrt{(3 - \sqrt{7})^2}$.
Применяя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем: $|2 - \sqrt{7}| + |3 - \sqrt{7}|$.
Раскроем каждый модуль по отдельности.
1. Сравним $2$ и $\sqrt{7}$. Их квадраты: $2^2 = 4$ и $(\sqrt{7})^2 = 7$. Так как $4 < 7$, то $2 < \sqrt{7}$, и разность $2 - \sqrt{7}$ отрицательна. Следовательно, $|2 - \sqrt{7}| = -(2 - \sqrt{7}) = \sqrt{7} - 2$.
2. Сравним $3$ и $\sqrt{7}$. Их квадраты: $3^2 = 9$ и $(\sqrt{7})^2 = 7$. Так как $9 > 7$, то $3 > \sqrt{7}$, и разность $3 - \sqrt{7}$ положительна. Следовательно, $|3 - \sqrt{7}| = 3 - \sqrt{7}$.
Теперь подставим полученные значения в выражение: $(\sqrt{7} - 2) + (3 - \sqrt{7}) = \sqrt{7} - 2 + 3 - \sqrt{7} = 1$.

Ответ: $1$.

в)

Найдем значение выражения $\sqrt{(2\sqrt{15} - 3\sqrt{7})^2} - 3\sqrt{7}$.
Используем свойство $\sqrt{a^2} = |a|$. Выражение примет вид: $|2\sqrt{15} - 3\sqrt{7}| - 3\sqrt{7}$.
Чтобы раскрыть модуль, сравним значения $2\sqrt{15}$ и $3\sqrt{7}$, возведя их в квадрат:
$(2\sqrt{15})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{15})^2 = 4 \cdot 15 = 60$.
$(3\sqrt{7})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{7})^2 = 9 \cdot 7 = 63$.
Так как $60 < 63$, то $2\sqrt{15} < 3\sqrt{7}$. Значит, разность $2\sqrt{15} - 3\sqrt{7}$ отрицательна.
По определению модуля: $|2\sqrt{15} - 3\sqrt{7}| = -(2\sqrt{15} - 3\sqrt{7}) = 3\sqrt{7} - 2\sqrt{15}$.
Подставим это в наше выражение: $(3\sqrt{7} - 2\sqrt{15}) - 3\sqrt{7} = 3\sqrt{7} - 2\sqrt{15} - 3\sqrt{7} = -2\sqrt{15}$.

Ответ: $-2\sqrt{15}$.

г)

Найдем значение выражения $\sqrt{(\sqrt{10} - 3)^2} + \sqrt{(\sqrt{10} - 4)^2}$.
Применяя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем: $|\sqrt{10} - 3| + |\sqrt{10} - 4|$.
Раскроем каждый модуль.
1. Сравним $\sqrt{10}$ и $3$. Их квадраты: $(\sqrt{10})^2 = 10$ и $3^2 = 9$. Так как $10 > 9$, то $\sqrt{10} > 3$, и разность $\sqrt{10} - 3$ положительна. Следовательно, $|\sqrt{10} - 3| = \sqrt{10} - 3$.
2. Сравним $\sqrt{10}$ и $4$. Их квадраты: $(\sqrt{10})^2 = 10$ и $4^2 = 16$. Так как $10 < 16$, то $\sqrt{10} < 4$, и разность $\sqrt{10} - 4$ отрицательна. Следовательно, $|\sqrt{10} - 4| = -(\sqrt{10} - 4) = 4 - \sqrt{10}$.
Теперь подставим полученные значения в выражение: $(\sqrt{10} - 3) + (4 - \sqrt{10}) = \sqrt{10} - 3 + 4 - \sqrt{10} = 1$.

Ответ: $1$.

140 Решите уравнение:

a) $x^2 - 5(\sqrt{x})^2 - 6 = 0;$

б) $x^2 + \sqrt{(x + 1)^2} - 3 = 0;$

B) $x^2 + (\sqrt{x - 3})^2 - 9 = 0;$

г) $x^2 + \sqrt{(x - 3)^2} - 9 = 0.$

а) $x^2 - 5(\sqrt{x})^2 - 6 = 0$
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.
Упростим уравнение, используя свойство $(\sqrt{a})^2 = a$ для $a \ge 0$:
$x^2 - 5x - 6 = 0$
Это квадратное уравнение. Решим его с помощью теоремы Виета:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = 5$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -6$
Подбором находим корни: $x_1 = 6$ и $x_2 = -1$.
Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 0$):
$x_1 = 6$ удовлетворяет условию $6 \ge 0$.
$x_2 = -1$ не удовлетворяет условию $-1 \ge 0$.
Следовательно, уравнение имеет один корень.
Ответ: $6$

б) $x^2 + \sqrt{(x + 1)^2} - 3 = 0$
Подкоренное выражение $(x+1)^2$ всегда неотрицательно, поэтому ОДЗ: $x$ — любое действительное число.
Упростим уравнение, используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$:
$x^2 + |x+1| - 3 = 0$
Раскроем модуль, рассмотрев два случая:
1) Если $x+1 \ge 0$, то есть $x \ge -1$. Тогда $|x+1| = x+1$.
Уравнение принимает вид: $x^2 + (x+1) - 3 = 0$
$x^2 + x - 2 = 0$
По теореме Виета: $x_1 = 1$, $x_2 = -2$.
Корень $x_1 = 1$ удовлетворяет условию $x \ge -1$.
Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет условию $x \ge -1$.
2) Если $x+1 < 0$, то есть $x < -1$. Тогда $|x+1| = -(x+1) = -x-1$.
Уравнение принимает вид: $x^2 - (x+1) - 3 = 0$
$x^2 - x - 4 = 0$
Решим через дискриминант: $D = (-1)^2 - 4(1)(-4) = 1 + 16 = 17$.
$x_{3,4} = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{2}$
Проверим корни на соответствие условию $x < -1$:
$x_3 = \frac{1 + \sqrt{17}}{2}$. Так как $\sqrt{17} > \sqrt{1} = 1$, то $1+\sqrt{17} > 2$, и $\frac{1 + \sqrt{17}}{2} > 1$, что не удовлетворяет условию $x < -1$.
$x_4 = \frac{1 - \sqrt{17}}{2}$. Так как $\sqrt{17} > \sqrt{9} = 3$, то $1-\sqrt{17} < -2$, и $\frac{1 - \sqrt{17}}{2} < -1$, что удовлетворяет условию.
Объединяя решения из обоих случаев, получаем два корня.
Ответ: $1; \frac{1 - \sqrt{17}}{2}$

в) $x^2 + (\sqrt{x - 3})^2 - 9 = 0$
ОДЗ: $x - 3 \ge 0 \Rightarrow x \ge 3$.
Упростим уравнение:
$x^2 + (x-3) - 9 = 0$
$x^2 + x - 12 = 0$
По теореме Виета:
$x_1 + x_2 = -1$
$x_1 \cdot x_2 = -12$
Корни: $x_1 = 3$, $x_2 = -4$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 3$):
$x_1 = 3$ удовлетворяет условию $3 \ge 3$.
$x_2 = -4$ не удовлетворяет условию $-4 \ge 3$.
Уравнение имеет один корень.
Ответ: $3$

г) $x^2 + \sqrt{(x - 3)^2} - 9 = 0$
ОДЗ: $x$ — любое действительное число, так как $(x-3)^2 \ge 0$ всегда.
Упростим уравнение, используя $\sqrt{a^2} = |a|$:
$x^2 + |x-3| - 9 = 0$
Раскроем модуль, рассмотрев два случая:
1) Если $x-3 \ge 0$, то есть $x \ge 3$. Тогда $|x-3| = x-3$.
$x^2 + (x-3) - 9 = 0$
$x^2 + x - 12 = 0$
По теореме Виета, корни $x_1 = 3$, $x_2 = -4$.
Проверяем по условию $x \ge 3$: корень $x_1 = 3$ подходит, $x_2 = -4$ не подходит.
2) Если $x-3 < 0$, то есть $x < 3$. Тогда $|x-3| = -(x-3) = -x+3$.
$x^2 - (x-3) - 9 = 0$
$x^2 - x - 6 = 0$
По теореме Виета, корни $x_3 = 3$, $x_4 = -2$.
Проверяем по условию $x < 3$: корень $x_3 = 3$ не подходит ($3 \not< 3$), $x_4 = -2$ подходит.
Объединяя решения из обоих случаев, получаем два корня.
Ответ: $-2; 3$

Решите неравенство:

141 а) $3 + 2x < -4$;

б) $1 - 3x \geq 2$;

в) $2 + 5x > -3$;

г) $1 - 2x \leq 3$.

а) Решим неравенство $3 + 2x < -4$.
Перенесем число 3 из левой части неравенства в правую, изменив его знак на противоположный:
$2x < -4 - 3$
Выполним вычитание в правой части:
$2x < -7$
Разделим обе части неравенства на 2. Так как 2 - положительное число, знак неравенства сохраняется:
$x < -\frac{7}{2}$
$x < -3.5$
Решение неравенства представляет собой числовой промежуток $(-\infty; -3.5)$.
Ответ: $x < -3.5$.

б) Решим неравенство $1 - 3x \ge 2$.
Перенесем число 1 в правую часть, изменив знак:
$-3x \ge 2 - 1$
Упростим правую часть:
$-3x \ge 1$
Разделим обе части на -3. При делении на отрицательное число знак неравенства $\ge$ меняется на противоположный, то есть на $\le$:
$x \le \frac{1}{-3}$
$x \le -\frac{1}{3}$
Решением является числовой промежуток $(-\infty; -\frac{1}{3}]$.
Ответ: $x \le -\frac{1}{3}$.

в) Решим неравенство $2 + 5x > -3$.
Перенесем число 2 в правую часть с противоположным знаком:
$5x > -3 - 2$
Выполним вычитание в правой части:
$5x > -5$
Разделим обе части на 5. Знак неравенства $>$ сохраняется, так как 5 - положительное число:
$x > \frac{-5}{5}$
$x > -1$
Решением является числовой промежуток $(-1; +\infty)$.
Ответ: $x > -1$.

г) Решим неравенство $1 - 2x \le 3$.
Перенесем число 1 в правую часть, изменив его знак:
$-2x \le 3 - 1$
Упростим правую часть:
$-2x \le 2$
Разделим обе части на -2. При делении на отрицательное число знак неравенства $\le$ меняется на противоположный, то есть на $\ge$:
$x \ge \frac{2}{-2}$
$x \ge -1$
Решением является числовой промежуток $[-1; +\infty)$.
Ответ: $x \ge -1$.

142 a) $ \frac{x - 2}{12} \geq \frac{3x - 5}{15}; $

б) $ \frac{3 - 2x}{9} \leq \frac{2x + 7}{6}; $

в) $ \frac{2 + x}{10} > \frac{3x - 1}{15}; $

г) $ \frac{3x - 1}{8} > \frac{3 - 5x}{20}. $

а)

Дано неравенство:

$\frac{x-2}{12} \ge \frac{3x-5}{15}$

Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное (НОК) чисел 12 и 15. НОК(12, 15) = 60. Так как 60 > 0, знак неравенства не меняется.

$60 \cdot \frac{x-2}{12} \ge 60 \cdot \frac{3x-5}{15}$

$\frac{60}{12}(x-2) \ge \frac{60}{15}(3x-5)$

$5(x-2) \ge 4(3x-5)$

Раскроем скобки:

$5x - 10 \ge 12x - 20$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а числовые слагаемые — в другую:

$20 - 10 \ge 12x - 5x$

$10 \ge 7x$

Разделим обе части на 7. Так как 7 > 0, знак неравенства не меняется:

$\frac{10}{7} \ge x$, или $x \le \frac{10}{7}$

Решением является числовой промежуток $(-\infty; \frac{10}{7}] $.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{10}{7}]$

б)

Дано неравенство:

$\frac{3-2x}{9} \le \frac{2x+7}{6}$

Умножим обе части неравенства на НОК(9, 6). НОК(9, 6) = 18. Знак неравенства не меняется.

$18 \cdot \frac{3-2x}{9} \le 18 \cdot \frac{2x+7}{6}$

$2(3-2x) \le 3(2x+7)$

Раскроем скобки:

$6 - 4x \le 6x + 21$

Перенесем слагаемые с $x$ вправо, а числа влево:

$6 - 21 \le 6x + 4x$

$-15 \le 10x$

Разделим обе части на 10:

$-\frac{15}{10} \le x$

$-1.5 \le x$, или $x \ge -1.5$

Решением является числовой промежуток $[-1.5; +\infty)$.

Ответ: $x \in [-1.5; +\infty)$

в)

Дано неравенство:

$\frac{2+x}{10} > \frac{3x-1}{15}$

Умножим обе части неравенства на НОК(10, 15). НОК(10, 15) = 30. Знак неравенства не меняется.

$30 \cdot \frac{2+x}{10} > 30 \cdot \frac{3x-1}{15}$

$3(2+x) > 2(3x-1)$

Раскроем скобки:

$6 + 3x > 6x - 2$

Перенесем слагаемые с $x$ вправо, а числа влево:

$6 + 2 > 6x - 3x$

$8 > 3x$

Разделим обе части на 3:

$\frac{8}{3} > x$, или $x < \frac{8}{3}$

Решением является числовой промежуток $(-\infty; \frac{8}{3})$.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{8}{3})$

г)

Дано неравенство:

$\frac{3x-1}{8} > \frac{3-5x}{20}$

Умножим обе части неравенства на НОК(8, 20). НОК(8, 20) = 40. Знак неравенства не меняется.

$40 \cdot \frac{3x-1}{8} > 40 \cdot \frac{3-5x}{20}$

$5(3x-1) > 2(3-5x)$

Раскроем скобки:

$15x - 5 > 6 - 10x$

Перенесем слагаемые с $x$ влево, а числа вправо:

$15x + 10x > 6 + 5$

$25x > 11$

Разделим обе части на 25:

$x > \frac{11}{25}$

Решением является числовой промежуток $(\frac{11}{25}; +\infty)$.

Ответ: $x \in (\frac{11}{25}; +\infty)$

143 a) $(x - 3)(x + 3) > x^2 + 5x - 4;$

б) $(x + 4)^2 \le x^2 + 6x + 10;$

в) $(3 - 2x)(3 + 2x) \le 10 - 4x^2 + 5x;$

г) $(1 - 3x)^2 > 9x^2 + 3x - 8.$

а) $(x - 3)(x + 3) > x^2 + 5x - 4$

Раскроем скобки в левой части неравенства, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$x^2 - 3^2 > x^2 + 5x - 4$

$x^2 - 9 > x^2 + 5x - 4$

Перенесем члены с $x^2$ в одну часть. Они взаимно уничтожаются:

$-9 > 5x - 4$

Теперь соберем слагаемые с переменной $x$ в одной части, а свободные члены — в другой:

$-9 + 4 > 5x$

$-5 > 5x$

Разделим обе части неравенства на 5. Так как 5 — положительное число, знак неравенства сохраняется:

$-1 > x$

Что эквивалентно $x < -1$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1)$.

б) $(x + 4)^2 \le x^2 + 6x + 10$

Раскроем скобки в левой части, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 \le x^2 + 6x + 10$

$x^2 + 8x + 16 \le x^2 + 6x + 10$

Вычтем $x^2$ из обеих частей неравенства:

$8x + 16 \le 6x + 10$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$8x - 6x \le 10 - 16$

$2x \le -6$

Разделим обе части на 2:

$x \le -3$

Ответ: $x \in (-\infty; -3]$.

в) $(3 - 2x)(3 + 2x) \le 10 - 4x^2 + 5x$

В левой части используем формулу разности квадратов:

$3^2 - (2x)^2 \le 10 - 4x^2 + 5x$

$9 - 4x^2 \le 10 - 4x^2 + 5x$

Прибавим $4x^2$ к обеим частям неравенства, чтобы упростить его:

$9 \le 10 + 5x$

Перенесем 10 в левую часть с противоположным знаком:

$9 - 10 \le 5x$

$-1 \le 5x$

Разделим обе части на 5:

$-\frac{1}{5} \le x$

Что эквивалентно $x \ge -0.2$.

Ответ: $x \in [-0.2; +\infty)$.

г) $(1 - 3x)^2 > 9x^2 + 3x - 8$

Раскроем скобки в левой части, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 3x + (3x)^2 > 9x^2 + 3x - 8$

$1 - 6x + 9x^2 > 9x^2 + 3x - 8$

Вычтем $9x^2$ из обеих частей неравенства:

$1 - 6x > 3x - 8$

Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а свободные члены — в левую, меняя знаки при переносе:

$1 + 8 > 3x + 6x$

$9 > 9x$

Разделим обе части на 9:

$1 > x$

Что эквивалентно $x < 1$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1)$.

144. a) При каких значениях $q$ уравнение $x^2 + 5x + q = 0$ не имеет корней? Укажите такое наименьшее целое значение $q$.

б) При каких значениях $q$ уравнение $x^2 - 7x + q = 0$ имеет два корня? Укажите такое наибольшее целое значение $q$.

а)

Квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ не имеет действительных корней, когда его дискриминант $D$ отрицателен, то есть $D < 0$.

В уравнении $x^2 + 5x + q = 0$ коэффициенты равны: $a = 1$, $b = 5$, $c = q$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot q = 25 - 4q$

Для того чтобы уравнение не имело корней, должно выполняться неравенство $D < 0$:

$25 - 4q < 0$

$25 < 4q$

$q > \frac{25}{4}$

$q > 6.25$

Следовательно, уравнение не имеет корней при $q > 6.25$. Наименьшее целое число, которое удовлетворяет этому условию, — это 7.

Ответ: уравнение не имеет корней при $q > 6.25$; наименьшее целое значение $q = 7$.

б)

Квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ имеет два различных действительных корня, когда его дискриминант $D$ положителен, то есть $D > 0$.

В уравнении $x^2 - 7x + q = 0$ коэффициенты равны: $a = 1$, $b = -7$, $c = q$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot q = 49 - 4q$

Для того чтобы уравнение имело два корня, должно выполняться неравенство $D > 0$:

$49 - 4q > 0$

$49 > 4q$

$q < \frac{49}{4}$

$q < 12.25$

Следовательно, уравнение имеет два корня при $q < 12.25$. Наибольшее целое число, которое удовлетворяет этому условию, — это 12.

Ответ: уравнение имеет два корня при $q < 12.25$; наибольшее целое значение $q = 12$.

145 a) При каких значениях $a$ уравнение $ax^2 + 6x - 3 = 0$ имеет два корня?

б) При каких значениях $a$ уравнение $ax^2 + 5x + 15 = 0$ не имеет корней?

a)
Уравнение $ax^2 + 6x - 3 = 0$ будет иметь два различных корня, если оно является квадратным и его дискриминант положителен.
1. Уравнение является квадратным, если коэффициент при $x^2$ не равен нулю, то есть $a \neq 0$. Если $a=0$, уравнение становится линейным $6x - 3 = 0$ и имеет только один корень $x=0.5$, что не удовлетворяет условию.
2. Дискриминант квадратного уравнения $Ax^2+Bx+C=0$ вычисляется по формуле $D=B^2-4AC$. Уравнение имеет два различных корня, если $D>0$.
Для нашего уравнения коэффициенты равны: $A=a$, $B=6$, $C=-3$.
Вычислим дискриминант:
$D = 6^2 - 4 \cdot a \cdot (-3) = 36 + 12a$
Теперь решим неравенство $D>0$:
$36 + 12a > 0$
$12a > -36$
$a > -3$
Объединяем оба условия: $a > -3$ и $a \neq 0$.
Ответ: $a \in (-3; 0) \cup (0; +\infty)$.

б)
Рассмотрим уравнение $ax^2 + 5x + 15 = 0$. Уравнение не имеет корней, если это квадратное уравнение с отрицательным дискриминантом.
1. Проверим случай, когда уравнение не является квадратным, то есть $a = 0$.
$0 \cdot x^2 + 5x + 15 = 0$
$5x = -15$
$x = -3$
При $a=0$ уравнение имеет один корень, что не удовлетворяет условию.
2. Рассмотрим случай, когда $a \neq 0$. Уравнение является квадратным и не имеет действительных корней, если его дискриминант $D$ меньше нуля.
Коэффициенты уравнения: $A=a$, $B=5$, $C=15$.
Вычислим дискриминант:
$D = B^2 - 4AC = 5^2 - 4 \cdot a \cdot 15 = 25 - 60a$
Решим неравенство $D<0$:
$25 - 60a < 0$
$25 < 60a$
$a > \frac{25}{60}$
$a > \frac{5}{12}$
Это условие уже включает в себя $a \neq 0$, так как $\frac{5}{12} > 0$.
Ответ: $a > \frac{5}{12}$.