Страница 234, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

114 Решите уравнение методом введения новой переменной:

a) $ \frac{3}{x^2 - 2x - 2} - x^2 + 2x = 0; $

б) $ \frac{x}{x^2 - 2} + \frac{6(x^2 - 2)}{x} = 7; $

в) $ 1 - \frac{15}{(x^2 - 4x)^2} = \frac{2}{x^2 - 4x}; $

г) $ \frac{x - 3}{x^2 + 10x + 27} + \frac{x^2 + 10x + 27}{x - 3} = -2. $

a) $ \frac{3}{x^2 - 2x - 2} - x^2 + 2x = 0 $

Преобразуем уравнение, вынеся знак минус за скобки у второго и третьего слагаемых:

$ \frac{3}{x^2 - 2x - 2} - (x^2 - 2x) = 0 $

Очевидно, что повторяющимся выражением является $x^2 - 2x$. Введем новую переменную. Пусть $t = x^2 - 2x$.

Тогда уравнение примет вид:

$ \frac{3}{t - 2} - t = 0 $

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения: $t - 2 \neq 0$, то есть $t \neq 2$.

Решим полученное уравнение относительно $t$:

$ \frac{3}{t - 2} = t $

$ 3 = t(t - 2) $

$ 3 = t^2 - 2t $

$ t^2 - 2t - 3 = 0 $

Это квадратное уравнение. Найдем его корни по теореме Виета: $t_1 + t_2 = 2$ и $t_1 \cdot t_2 = -3$. Корни: $t_1 = 3$ и $t_2 = -1$.

Оба корня удовлетворяют условию $t \neq 2$.

Теперь выполним обратную замену.

1. Если $t = 3$:

$ x^2 - 2x = 3 $

$ x^2 - 2x - 3 = 0 $

По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 2$ и $x_1 \cdot x_2 = -3$. Корни: $x_1 = 3$, $x_2 = -1$.

2. Если $t = -1$:

$ x^2 - 2x = -1 $

$ x^2 - 2x + 1 = 0 $

$ (x - 1)^2 = 0 $

Корень: $x_3 = 1$.

Проверим ОДЗ исходного уравнения: знаменатель $x^2 - 2x - 2 \neq 0$. Так как мы нашли, что $x^2 - 2x$ принимает значения $3$ и $-1$, то знаменатель равен $3-2=1 \neq 0$ и $-1-2=-3 \neq 0$. Все найденные корни являются решениями.

Ответ: $-1; 1; 3$.

б) $ \frac{x}{x^2 - 2} + \frac{6(x^2 - 2)}{x} = 7 $

Заметим, что второе слагаемое является обратным к первому, умноженным на 6. Введем замену.

Пусть $ t = \frac{x}{x^2 - 2} $. Тогда $ \frac{x^2 - 2}{x} = \frac{1}{t} $.

Уравнение примет вид:

$ t + \frac{6}{t} = 7 $

ОДЗ: $t \neq 0$. Домножим обе части на $t$:

$ t^2 + 6 = 7t $

$ t^2 - 7t + 6 = 0 $

По теореме Виета: $t_1 + t_2 = 7$ и $t_1 \cdot t_2 = 6$. Корни: $t_1 = 1$, $t_2 = 6$.

Оба корня удовлетворяют условию $t \neq 0$.

Выполним обратную замену.

1. Если $t = 1$:

$ \frac{x}{x^2 - 2} = 1 $

$ x = x^2 - 2 $

$ x^2 - x - 2 = 0 $

По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 1$ и $x_1 \cdot x_2 = -2$. Корни: $x_1 = 2$, $x_2 = -1$.

2. Если $t = 6$:

$ \frac{x}{x^2 - 2} = 6 $

$ x = 6(x^2 - 2) $

$ 6x^2 - x - 12 = 0 $

Найдем дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-12) = 1 + 288 = 289 = 17^2$.

$ x = \frac{1 \pm 17}{12} $.

$ x_3 = \frac{1 + 17}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2} $.

$ x_4 = \frac{1 - 17}{12} = \frac{-16}{12} = -\frac{4}{3} $.

ОДЗ исходного уравнения: $x \neq 0$ и $x^2 - 2 \neq 0$ (т.е. $x \neq \pm \sqrt{2}$). Все четыре корня удовлетворяют этим условиям.

Ответ: $-\frac{4}{3}; -1; \frac{3}{2}; 2$.

в) $ 1 - \frac{15}{(x^2 - 4x)^2} = \frac{2}{x^2 - 4x} $

В данном уравнении повторяется выражение $x^2 - 4x$. Введем новую переменную.

Пусть $t = x^2 - 4x$.

Тогда уравнение можно переписать в виде:

$ 1 - \frac{15}{t^2} = \frac{2}{t} $

ОДЗ для этого уравнения: $t \neq 0$. Перенесем все слагаемые в одну часть и домножим на $t^2$:

$ t^2 - 15 = 2t $

$ t^2 - 2t - 15 = 0 $

По теореме Виета: $t_1 + t_2 = 2$ и $t_1 \cdot t_2 = -15$. Корни: $t_1 = 5$, $t_2 = -3$.

Оба корня удовлетворяют условию $t \neq 0$.

Выполним обратную замену.

1. Если $t = 5$:

$ x^2 - 4x = 5 $

$ x^2 - 4x - 5 = 0 $

По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 4$ и $x_1 \cdot x_2 = -5$. Корни: $x_1 = 5$, $x_2 = -1$.

2. Если $t = -3$:

$ x^2 - 4x = -3 $

$ x^2 - 4x + 3 = 0 $

По теореме Виета: $x_3 + x_4 = 4$ и $x_3 \cdot x_4 = 3$. Корни: $x_3 = 3$, $x_4 = 1$.

ОДЗ исходного уравнения: $x^2 - 4x \neq 0$, что равносильно $t \neq 0$. Это условие мы учли. $x(x-4) \neq 0$, то есть $x \neq 0$ и $x \neq 4$. Все найденные корни удовлетворяют этому условию.

Ответ: $-1; 1; 3; 5$.

г) $ \frac{x - 3}{x^2 + 10x + 27} + \frac{x^2 + 10x + 27}{x - 3} = -2 $

В уравнении присутствуют два взаимно обратных выражения. Сделаем замену.

Пусть $ t = \frac{x - 3}{x^2 + 10x + 27} $. Тогда $ \frac{x^2 + 10x + 27}{x - 3} = \frac{1}{t} $.

Уравнение примет вид:

$ t + \frac{1}{t} = -2 $

ОДЗ: $t \neq 0$. Домножим обе части на $t$:

$ t^2 + 1 = -2t $

$ t^2 + 2t + 1 = 0 $

$ (t + 1)^2 = 0 $

Отсюда $t = -1$. Это значение удовлетворяет условию $t \neq 0$.

Выполним обратную замену:

$ \frac{x - 3}{x^2 + 10x + 27} = -1 $

ОДЗ исходного уравнения: $x-3 \neq 0$ (т.е. $x \neq 3$) и $x^2+10x+27 \neq 0$. Дискриминант квадратного трехчлена $x^2+10x+27$ равен $D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 27 = 100 - 108 = -8 < 0$, следовательно, этот трехчлен не обращается в ноль ни при каких $x$.

Решим уравнение:

$ x - 3 = -(x^2 + 10x + 27) $

$ x - 3 = -x^2 - 10x - 27 $

$ x^2 + x + 10x - 3 + 27 = 0 $

$ x^2 + 11x + 24 = 0 $

По теореме Виета: $x_1 + x_2 = -11$ и $x_1 \cdot x_2 = 24$. Корни: $x_1 = -3$, $x_2 = -8$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 3$).

Ответ: $-8; -3$.

115 Туристы, совершая путешествие, проплыли на лодке по течению горной реки 54 км, а затем ещё 6 км по озеру за такое же время, за которое плот проплывает по этой реке 21 км. Найдите скорость течения реки, если собственная скорость лодки 12 км/ч.

Пусть скорость течения реки равна $x$ км/ч.

Скорость лодки по течению реки составляет $(12 + x)$ км/ч. Скорость лодки в озере, где нет течения, равна её собственной скорости, то есть 12 км/ч. Плот движется со скоростью течения, поэтому его скорость равна $x$ км/ч.

Время, затраченное туристами на путь по реке, равно $\frac{54}{12 + x}$ часа.

Время, затраченное туристами на путь по озеру, равно $\frac{6}{12} = \frac{1}{2}$ часа.

Общее время, которое туристы были в пути на лодке, составляет $t_{лодки} = \frac{54}{12 + x} + \frac{1}{2}$ часа.

Время, за которое плот проплыл 21 км, составляет $t_{плота} = \frac{21}{x}$ часа.

Согласно условию задачи, время движения лодки равно времени движения плота ($t_{лодки} = t_{плота}$). Составим и решим уравнение:

$\frac{54}{12 + x} + \frac{1}{2} = \frac{21}{x}$

Для решения этого уравнения, перенесем все члены в одну сторону и приведем их к общему знаменателю $2x(12+x)$. Область допустимых значений: $x > 0$.

$\frac{54 \cdot 2x + 1 \cdot x(12+x) - 21 \cdot 2(12+x)}{2x(12+x)} = 0$

$108x + 12x + x^2 - 42(12+x) = 0$

$120x + x^2 - 504 - 42x = 0$

Приведем подобные члены, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 78x - 504 = 0$

Решим уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 78^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-504) = 6084 + 2016 = 8100$

$\sqrt{D} = \sqrt{8100} = 90$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-78 + 90}{2 \cdot 1} = \frac{12}{2} = 6$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-78 - 90}{2 \cdot 1} = \frac{-168}{2} = -84$

Так как скорость течения реки не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -84$ не является решением задачи. Следовательно, скорость течения реки составляет 6 км/ч.

Ответ: 6 км/ч.

116 Катер проплывает 8 км против течения реки и ещё 30 км по течению за то же время, за которое он может проплыть по озеру 36 км. Найдите скорость катера в стоячей воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч.

Решение

Пусть собственная скорость катера, то есть его скорость в стоячей воде (озере), равна $x$ км/ч. Согласно условию, скорость течения реки равна 2 км/ч.

Тогда скорость катера при движении по течению реки составляет $(x + 2)$ км/ч, а скорость катера против течения реки — $(x - 2)$ км/ч. Важно отметить, что для того, чтобы катер мог двигаться против течения, его собственная скорость должна быть больше скорости течения, следовательно, $x > 2$.

Время, которое катер затратил на путь в 8 км против течения, вычисляется как $t_1 = \frac{8}{x - 2}$ часа. Время, затраченное на 30 км по течению, равно $t_2 = \frac{30}{x + 2}$ часа. Общее время движения по реке составляет сумму этих времён: $T_{река} = t_1 + t_2 = \frac{8}{x - 2} + \frac{30}{x + 2}$ ч.

Время, за которое катер может проплыть 36 км по озеру, где течение отсутствует, равно $T_{озеро} = \frac{36}{x}$ ч.

По условию задачи, время движения по реке равно времени движения по озеру, поэтому мы можем составить и решить уравнение:

$\frac{8}{x - 2} + \frac{30}{x + 2} = \frac{36}{x}$

Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $(x-2)(x+2)$:

$\frac{8(x + 2) + 30(x - 2)}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{36}{x}$

$\frac{8x + 16 + 30x - 60}{x^2 - 4} = \frac{36}{x}$

$\frac{38x - 44}{x^2 - 4} = \frac{36}{x}$

Воспользуемся свойством пропорции (умножим уравнение "крест-накрест"), так как при $x > 2$ знаменатели не равны нулю:

$x(38x - 44) = 36(x^2 - 4)$

Раскроем скобки:

$38x^2 - 44x = 36x^2 - 144$

Перенесем все члены уравнения в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$38x^2 - 36x^2 - 44x + 144 = 0$

$2x^2 - 44x + 144 = 0$

Для удобства разделим все члены уравнения на 2:

$x^2 - 22x + 72 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-22)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 72 = 484 - 288 = 196$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. $\sqrt{D} = \sqrt{196} = 14$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{22 - 14}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{22 + 14}{2} = \frac{36}{2} = 18$

Оба найденных значения, $x_1 = 4$ и $x_2 = 18$, удовлетворяют условию $x > 2$. Следовательно, оба являются решениями задачи. Проверим их:

• При $x=4$ км/ч: время по реке $\frac{8}{4-2} + \frac{30}{4+2} = \frac{8}{2} + \frac{30}{6} = 4+5 = 9$ ч. Время по озеру $\frac{36}{4} = 9$ ч. Времена равны.
• При $x=18$ км/ч: время по реке $\frac{8}{18-2} + \frac{30}{18+2} = \frac{8}{16} + \frac{30}{20} = 0.5+1.5 = 2$ ч. Время по озеру $\frac{36}{18} = 2$ ч. Времена равны.

Ответ: собственная скорость катера может быть равна 4 км/ч или 18 км/ч.

117 Велосипедист проехал от города до поворота на турбазу $24 \text{ км}$ с одной скоростью, а после поворота снизил скорость на $3 \text{ км/ч}$ и проехал до турбазы ещё $6 \text{ км}$. Найдите скорость велосипедиста от города до поворота, если на весь путь он затратил $2 \text{ ч } 40 \text{ мин}$.

Пусть $v$ км/ч — скорость велосипедиста от города до поворота. Тогда его скорость после поворота на турбазу составила $(v-3)$ км/ч.

Время, затраченное на первый участок пути (от города до поворота), равно $t_1 = \frac{S_1}{v_1} = \frac{24}{v}$ часов.

Время, затраченное на второй участок пути (от поворота до турбазы), равно $t_2 = \frac{S_2}{v_2} = \frac{6}{v-3}$ часов.

Общее время, затраченное на весь путь, составляет 2 ч 40 мин. Переведем это время в часы:$2$ ч $40$ мин = $2 + \frac{40}{60}$ ч = $2 + \frac{2}{3}$ ч = $\frac{8}{3}$ ч.

Общее время равно сумме времен на каждом участке: $t_1 + t_2$. Составим уравнение:$\frac{24}{v} + \frac{6}{v-3} = \frac{8}{3}$

Для решения уравнения сначала разделим все его части на 2, чтобы упростить коэффициенты:$\frac{12}{v} + \frac{3}{v-3} = \frac{4}{3}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $v(v-3)$:$\frac{12(v-3) + 3v}{v(v-3)} = \frac{4}{3}$

$\frac{12v - 36 + 3v}{v^2 - 3v} = \frac{4}{3}$

$\frac{15v - 36}{v^2 - 3v} = \frac{4}{3}$

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):$3(15v - 36) = 4(v^2 - 3v)$

$45v - 108 = 4v^2 - 12v$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:$4v^2 - 12v - 45v + 108 = 0$

$4v^2 - 57v + 108 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:$D = b^2 - 4ac = (-57)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 108 = 3249 - 1728 = 1521$

Найдем корни уравнения:$v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{57 \pm \sqrt{1521}}{2 \cdot 4} = \frac{57 \pm 39}{8}$

$v_1 = \frac{57 + 39}{8} = \frac{96}{8} = 12$

$v_2 = \frac{57 - 39}{8} = \frac{18}{8} = 2.25$

По условию задачи, на втором участке велосипедист снизил скорость на 3 км/ч. Это означает, что его начальная скорость $v$ должна быть больше 3 км/ч (иначе скорость на втором участке $(v-3)$ будет отрицательной или нулевой, что физически невозможно).

Корень $v_2 = 2.25$ не удовлетворяет условию $v > 3$, поэтому он является посторонним.

Корень $v_1 = 12$ удовлетворяет условию $v > 3$. Следовательно, скорость велосипедиста от города до поворота равна 12 км/ч.

Ответ: 12 км/ч.

118 Автогонщик на ралли из-за поломки автомобиля потерял 4 мин, а затем на оставшихся 120 км пути наверстал потерянное время, увеличив скорость на 20 км/ч. Найдите первоначальную скорость автогонщика.

Пусть первоначальная скорость автогонщика равна $v$ км/ч. Тогда после увеличения скорость стала $(v + 20)$ км/ч.

Гонщику предстояло проехать 120 км. Время, которое он планировал затратить на этот участок, двигаясь с первоначальной скоростью, составляет $t_1 = \frac{120}{v}$ часов.

Фактическое время, затраченное на этот же участок с увеличенной скоростью, равно $t_2 = \frac{120}{v + 20}$ часов.

По условию, гонщик наверстал 4 минуты, потерянные из-за поломки. Это означает, что разница между плановым временем $t_1$ и фактическим временем $t_2$ составляет 4 минуты.

Для составления уравнения необходимо перевести минуты в часы: $4 \text{ мин} = \frac{4}{60} \text{ ч} = \frac{1}{15} \text{ ч}$.

Теперь можно составить уравнение: $t_1 - t_2 = \frac{1}{15}$ $\frac{120}{v} - \frac{120}{v + 20} = \frac{1}{15}$

Чтобы решить уравнение, приведем дроби в левой части к общему знаменателю $v(v + 20)$: $\frac{120(v + 20) - 120v}{v(v + 20)} = \frac{1}{15}$

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение: $\frac{120v + 2400 - 120v}{v^2 + 20v} = \frac{1}{15}$ $\frac{2400}{v^2 + 20v} = \frac{1}{15}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение): $v^2 + 20v = 2400 \cdot 15$ $v^2 + 20v = 36000$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$: $v^2 + 20v - 36000 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $D = 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36000) = 400 + 144000 = 144400$

Найдем корни уравнения: $\sqrt{D} = \sqrt{144400} = 380$ $v_1 = \frac{-20 + 380}{2} = \frac{360}{2} = 180$ $v_2 = \frac{-20 - 380}{2} = \frac{-400}{2} = -200$

Скорость не может быть отрицательной, поэтому корень $v_2 = -200$ не является решением задачи. Следовательно, первоначальная скорость автогонщика равна 180 км/ч.

Ответ: 180 км/ч.

119 В состязании по скалолазанию на трассе длиной 10 м соревнуются два спортсмена; скорость одного из них на 0,2 м/с больше скорости другого. Найдите скорости движения спортсменов, если один из них финишировал на 2,5 с быстрее другого.

Пусть $v$ (м/с) - скорость более медленного спортсмена. Тогда скорость более быстрого спортсмена равна $(v + 0.2)$ м/с.

Длина трассы составляет $S = 10$ м. Время, которое требуется каждому спортсмену для прохождения трассы, можно выразить с помощью формулы $t = S/v$.

Время первого (медленного) спортсмена: $t_1 = \frac{10}{v}$ с.

Время второго (быстрого) спортсмена: $t_2 = \frac{10}{v + 0.2}$ с.

По условию задачи, один из спортсменов финишировал на 2,5 с быстрее другого. Это означает, что разница во времени их финиша составляет 2,5 с. Так как второй спортсмен быстрее, его время на прохождение трассы меньше, поэтому:

$t_1 - t_2 = 2.5$

Подставим выражения для $t_1$ и $t_2$ в это уравнение:

$\frac{10}{v} - \frac{10}{v + 0.2} = 2.5$

Для решения этого уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $v(v + 0.2)$:

$\frac{10(v + 0.2) - 10v}{v(v + 0.2)} = 2.5$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{10v + 2 - 10v}{v^2 + 0.2v} = 2.5$

$\frac{2}{v^2 + 0.2v} = 2.5$

Теперь избавимся от знаменателя, умножив обе части на $(v^2 + 0.2v)$, при условии, что $v \neq 0$ и $v \neq -0.2$, что выполняется, так как скорость не может быть нулевой или отрицательной в данном контексте.

$2 = 2.5(v^2 + 0.2v)$

$2 = 2.5v^2 + 0.5v$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$2.5v^2 + 0.5v - 2 = 0$

Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим все уравнение на 2:

$5v^2 + v - 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-4) = 1 + 80 = 81$

Найдем корни уравнения:

$v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{81}}{2 \cdot 5} = \frac{-1 + 9}{10} = \frac{8}{10} = 0.8$

$v_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{81}}{2 \cdot 5} = \frac{-1 - 9}{10} = \frac{-10}{10} = -1$

Поскольку скорость не может быть отрицательной, корень $v = -1$ не является решением задачи. Следовательно, скорость медленного спортсмена равна 0,8 м/с.

Теперь найдем скорость быстрого спортсмена:

$v + 0.2 = 0.8 + 0.2 = 1.0$ м/с.

Ответ: скорость одного спортсмена 0,8 м/с, скорость другого спортсмена 1 м/с.

120 Из города $N$ в город $M$, находящийся на расстоянии $60$ км от $N$, выехал автобус, а через $20$ мин вслед за ним выехал легковой автомобиль, скорость которого на $40$ км/ч больше скорости автобуса. Найдите скорости легкового автомобиля и автобуса, если автобус прибыл в город $M$ на $12$ мин позже автомобиля.

Пусть скорость автобуса равна $v_а$ км/ч. Тогда, согласно условию, скорость легкового автомобиля, которая на 40 км/ч больше, будет равна $(v_а + 40)$ км/ч.

Расстояние между городами N и M составляет $S = 60$ км.

Время, которое автобус затратил на весь путь, можно выразить формулой $t_а = \frac{S}{v_а} = \frac{60}{v_а}$ часов.

Время, которое легковой автомобиль затратил на весь путь, составляет $t_л = \frac{S}{v_а + 40} = \frac{60}{v_а + 40}$ часов.

Из условия известно, что легковой автомобиль выехал на 20 минут позже автобуса, а прибыл в город M на 12 минут раньше автобуса. Это означает, что общее время, которое автомобиль провел в пути, меньше времени, которое провел в пути автобус, на сумму этих двух интервалов времени:

Разница во времени в пути = 20 мин + 12 мин = 32 мин.

Для составления уравнения необходимо перевести минуты в часы, так как скорость дана в км/ч:$32 \text{ мин} = \frac{32}{60} \text{ часа} = \frac{8}{15} \text{ часа}$.

Теперь составим уравнение, исходя из того, что разница во времени в пути автобуса и автомобиля равна $\frac{8}{15}$ часа:$t_а - t_л = \frac{8}{15}$$\frac{60}{v_а} - \frac{60}{v_а + 40} = \frac{8}{15}$

Решим полученное уравнение. Для упрощения разделим обе части уравнения на 4:$\frac{15}{v_а} - \frac{15}{v_а + 40} = \frac{2}{15}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $v_а(v_а + 40)$:$\frac{15(v_а + 40) - 15v_а}{v_а(v_а + 40)} = \frac{2}{15}$$\frac{15v_а + 600 - 15v_а}{v_а^2 + 40v_а} = \frac{2}{15}$$\frac{600}{v_а^2 + 40v_а} = \frac{2}{15}$

Применим правило пропорции:$2(v_а^2 + 40v_а) = 600 \cdot 15$$2v_а^2 + 80v_а = 9000$

Разделим обе части уравнения на 2:$v_а^2 + 40v_а - 4500 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:$D = 40^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4500) = 1600 + 18000 = 19600$$\sqrt{D} = \sqrt{19600} = 140$

Найдем корни уравнения:$v_{а1} = \frac{-40 + 140}{2} = \frac{100}{2} = 50$$v_{а2} = \frac{-40 - 140}{2} = \frac{-180}{2} = -90$

Поскольку скорость не может быть отрицательной величиной, корень $v_{а2} = -90$ не подходит по смыслу задачи.Следовательно, скорость автобуса равна 50 км/ч.

Теперь найдем скорость легкового автомобиля:$v_л = v_а + 40 = 50 + 40 = 90$ км/ч.

Ответ: скорость автобуса — 50 км/ч, скорость легкового автомобиля — 90 км/ч.