Номер 119, страница 234, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Итоговое повторение - номер 119, страница 234.

Условие.

119 В состязании по скалолазанию на трассе длиной 10 м соревнуются два спортсмена; скорость одного из них на 0,2 м/с больше скорости другого. Найдите скорости движения спортсменов, если один из них финишировал на 2,5 с быстрее другого.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Пусть $v$ (м/с) - скорость более медленного спортсмена. Тогда скорость более быстрого спортсмена равна $(v + 0.2)$ м/с.

Длина трассы составляет $S = 10$ м. Время, которое требуется каждому спортсмену для прохождения трассы, можно выразить с помощью формулы $t = S/v$.

Время первого (медленного) спортсмена: $t_1 = \frac{10}{v}$ с.

Время второго (быстрого) спортсмена: $t_2 = \frac{10}{v + 0.2}$ с.

По условию задачи, один из спортсменов финишировал на 2,5 с быстрее другого. Это означает, что разница во времени их финиша составляет 2,5 с. Так как второй спортсмен быстрее, его время на прохождение трассы меньше, поэтому:

$t_1 - t_2 = 2.5$

Подставим выражения для $t_1$ и $t_2$ в это уравнение:

$\frac{10}{v} - \frac{10}{v + 0.2} = 2.5$

Для решения этого уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $v(v + 0.2)$:

$\frac{10(v + 0.2) - 10v}{v(v + 0.2)} = 2.5$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{10v + 2 - 10v}{v^2 + 0.2v} = 2.5$

$\frac{2}{v^2 + 0.2v} = 2.5$

Теперь избавимся от знаменателя, умножив обе части на $(v^2 + 0.2v)$, при условии, что $v \neq 0$ и $v \neq -0.2$, что выполняется, так как скорость не может быть нулевой или отрицательной в данном контексте.

$2 = 2.5(v^2 + 0.2v)$

$2 = 2.5v^2 + 0.5v$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$2.5v^2 + 0.5v - 2 = 0$

Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим все уравнение на 2:

$5v^2 + v - 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-4) = 1 + 80 = 81$

Найдем корни уравнения:

$v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{81}}{2 \cdot 5} = \frac{-1 + 9}{10} = \frac{8}{10} = 0.8$

$v_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{81}}{2 \cdot 5} = \frac{-1 - 9}{10} = \frac{-10}{10} = -1$

Поскольку скорость не может быть отрицательной, корень $v = -1$ не является решением задачи. Следовательно, скорость медленного спортсмена равна 0,8 м/с.

Теперь найдем скорость быстрого спортсмена:

$v + 0.2 = 0.8 + 0.2 = 1.0$ м/с.

Ответ: скорость одного спортсмена 0,8 м/с, скорость другого спортсмена 1 м/с.