Номер 124, страница 235, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Итоговое повторение - номер 124, страница 235.

Условие.

124 Найдите значение выражения:

а) $\frac{m^6(m^{-2})^5}{m^{-3}m^7}$ при $m = 0,5$;

б) $\frac{a^{-3}b^{-5}(a^2b)^{-1}}{(a^{-3})^2b^{-4}}$ при $a = 15, b = 5$;

в) $\frac{n^{-5}(n^{-1})^{-9}}{n^{-4}n^{10}}$ при $n = 10$;

г) $\frac{(cd^3)^{-2}c^{-8}}{(c^{-5})^2(d^{-3})^3}$ при $c = 6, d = 3$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) Сначала упростим выражение $\frac{m^6(m^{-2})^5}{m^{-3}m^7}$.
Для упрощения воспользуемся свойствами степеней: $(x^a)^b = x^{ab}$, $x^a x^b = x^{a+b}$ и $\frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}$.
Упростим числитель: $m^6(m^{-2})^5 = m^6 \cdot m^{-2 \cdot 5} = m^6 \cdot m^{-10} = m^{6 + (-10)} = m^{-4}$.
Упростим знаменатель: $m^{-3}m^7 = m^{-3+7} = m^4$.
Теперь разделим числитель на знаменатель: $\frac{m^{-4}}{m^4} = m^{-4-4} = m^{-8}$.
Подставим значение $m = 0,5$ в упрощенное выражение:
$m^{-8} = (0,5)^{-8} = (\frac{1}{2})^{-8} = (2^{-1})^{-8} = 2^{(-1) \cdot (-8)} = 2^8 = 256$.
Ответ: 256.

б) Упростим выражение $\frac{a^{-3}b^{-5}(a^2b)^{-1}}{(a^{-3})^2b^{-4}}$.
Применим свойства степеней: $(xy)^n = x^n y^n$, $(x^a)^b = x^{ab}$ и $x^a x^b = x^{a+b}$.
Упростим числитель: $a^{-3}b^{-5}(a^2b)^{-1} = a^{-3}b^{-5} \cdot (a^2)^{-1} \cdot b^{-1} = a^{-3}b^{-5}a^{-2}b^{-1} = a^{-3-2}b^{-5-1} = a^{-5}b^{-6}$.
Упростим знаменатель: $(a^{-3})^2b^{-4} = a^{-3 \cdot 2}b^{-4} = a^{-6}b^{-4}$.
Разделим числитель на знаменатель: $\frac{a^{-5}b^{-6}}{a^{-6}b^{-4}} = a^{-5-(-6)}b^{-6-(-4)} = a^{-5+6}b^{-6+4} = a^1b^{-2} = \frac{a}{b^2}$.
Подставим значения $a = 15$ и $b = 5$:
$\frac{a}{b^2} = \frac{15}{5^2} = \frac{15}{25} = \frac{3}{5} = 0,6$.
Ответ: 0,6.

в) Упростим выражение $\frac{n^{-5}(n^{-1})^{-9}}{n^{-4}n^{10}}$.
Упростим числитель, используя $(x^a)^b = x^{ab}$: $n^{-5}(n^{-1})^{-9} = n^{-5} \cdot n^{(-1) \cdot (-9)} = n^{-5}n^9 = n^{-5+9} = n^4$.
Упростим знаменатель, используя $x^a x^b = x^{a+b}$: $n^{-4}n^{10} = n^{-4+10} = n^6$.
Разделим числитель на знаменатель: $\frac{n^4}{n^6} = n^{4-6} = n^{-2} = \frac{1}{n^2}$.
Подставим значение $n = 10$:
$\frac{1}{n^2} = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100} = 0,01$.
Ответ: 0,01.

г) Упростим выражение $\frac{(cd^3)^{-2}c^{-8}}{(c^{-5})^2(d^{-3})^3}$.
Упростим числитель: $(cd^3)^{-2}c^{-8} = c^{-2}(d^3)^{-2}c^{-8} = c^{-2}d^{-6}c^{-8} = c^{-2-8}d^{-6} = c^{-10}d^{-6}$.
Упростим знаменатель: $(c^{-5})^2(d^{-3})^3 = c^{-5 \cdot 2}d^{-3 \cdot 3} = c^{-10}d^{-9}$.
Разделим числитель на знаменатель: $\frac{c^{-10}d^{-6}}{c^{-10}d^{-9}} = c^{-10-(-10)}d^{-6-(-9)} = c^{-10+10}d^{-6+9} = c^0d^3 = 1 \cdot d^3 = d^3$.
Как видим, выражение не зависит от переменной $c$.
Подставим значение $d = 3$:
$d^3 = 3^3 = 27$.
Ответ: 27.