Номер 120, страница 234, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 120, страница 234.

Условие.

120 Из города $N$ в город $M$, находящийся на расстоянии $60$ км от $N$, выехал автобус, а через $20$ мин вслед за ним выехал легковой автомобиль, скорость которого на $40$ км/ч больше скорости автобуса. Найдите скорости легкового автомобиля и автобуса, если автобус прибыл в город $M$ на $12$ мин позже автомобиля.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Пусть скорость автобуса равна $v_а$ км/ч. Тогда, согласно условию, скорость легкового автомобиля, которая на 40 км/ч больше, будет равна $(v_а + 40)$ км/ч.

Расстояние между городами N и M составляет $S = 60$ км.

Время, которое автобус затратил на весь путь, можно выразить формулой $t_а = \frac{S}{v_а} = \frac{60}{v_а}$ часов.

Время, которое легковой автомобиль затратил на весь путь, составляет $t_л = \frac{S}{v_а + 40} = \frac{60}{v_а + 40}$ часов.

Из условия известно, что легковой автомобиль выехал на 20 минут позже автобуса, а прибыл в город M на 12 минут раньше автобуса. Это означает, что общее время, которое автомобиль провел в пути, меньше времени, которое провел в пути автобус, на сумму этих двух интервалов времени:

Разница во времени в пути = 20 мин + 12 мин = 32 мин.

Для составления уравнения необходимо перевести минуты в часы, так как скорость дана в км/ч:$32 \text{ мин} = \frac{32}{60} \text{ часа} = \frac{8}{15} \text{ часа}$.

Теперь составим уравнение, исходя из того, что разница во времени в пути автобуса и автомобиля равна $\frac{8}{15}$ часа:$t_а - t_л = \frac{8}{15}$$\frac{60}{v_а} - \frac{60}{v_а + 40} = \frac{8}{15}$

Решим полученное уравнение. Для упрощения разделим обе части уравнения на 4:$\frac{15}{v_а} - \frac{15}{v_а + 40} = \frac{2}{15}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $v_а(v_а + 40)$:$\frac{15(v_а + 40) - 15v_а}{v_а(v_а + 40)} = \frac{2}{15}$$\frac{15v_а + 600 - 15v_а}{v_а^2 + 40v_а} = \frac{2}{15}$$\frac{600}{v_а^2 + 40v_а} = \frac{2}{15}$

Применим правило пропорции:$2(v_а^2 + 40v_а) = 600 \cdot 15$$2v_а^2 + 80v_а = 9000$

Разделим обе части уравнения на 2:$v_а^2 + 40v_а - 4500 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:$D = 40^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4500) = 1600 + 18000 = 19600$$\sqrt{D} = \sqrt{19600} = 140$

Найдем корни уравнения:$v_{а1} = \frac{-40 + 140}{2} = \frac{100}{2} = 50$$v_{а2} = \frac{-40 - 140}{2} = \frac{-180}{2} = -90$

Поскольку скорость не может быть отрицательной величиной, корень $v_{а2} = -90$ не подходит по смыслу задачи.Следовательно, скорость автобуса равна 50 км/ч.

Теперь найдем скорость легкового автомобиля:$v_л = v_а + 40 = 50 + 40 = 90$ км/ч.

Ответ: скорость автобуса — 50 км/ч, скорость легкового автомобиля — 90 км/ч.