Номер 114, страница 234, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Авторы: Мордкович А. Г., Александрова Л. А., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е., Семенов П. В.
Тип: Учебник
Издательство: Мнемозина
Год издания: 2019 - 2025
Часть: 2
Цвет обложки:
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 8 классе
Итоговое повторение. Часть 2 - номер 114, страница 234.
№114 (с. 234)
Условие. №114 (с. 234)
скриншот условия

114 Решите уравнение методом введения новой переменной:
a) $ \frac{3}{x^2 - 2x - 2} - x^2 + 2x = 0; $
б) $ \frac{x}{x^2 - 2} + \frac{6(x^2 - 2)}{x} = 7; $
в) $ 1 - \frac{15}{(x^2 - 4x)^2} = \frac{2}{x^2 - 4x}; $
г) $ \frac{x - 3}{x^2 + 10x + 27} + \frac{x^2 + 10x + 27}{x - 3} = -2. $
Решение 1. №114 (с. 234)




Решение 2. №114 (с. 234)

Решение 3. №114 (с. 234)

Решение 4. №114 (с. 234)


Решение 6. №114 (с. 234)
a) $ \frac{3}{x^2 - 2x - 2} - x^2 + 2x = 0 $
Преобразуем уравнение, вынеся знак минус за скобки у второго и третьего слагаемых:
$ \frac{3}{x^2 - 2x - 2} - (x^2 - 2x) = 0 $
Очевидно, что повторяющимся выражением является $x^2 - 2x$. Введем новую переменную. Пусть $t = x^2 - 2x$.
Тогда уравнение примет вид:
$ \frac{3}{t - 2} - t = 0 $
Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения: $t - 2 \neq 0$, то есть $t \neq 2$.
Решим полученное уравнение относительно $t$:
$ \frac{3}{t - 2} = t $
$ 3 = t(t - 2) $
$ 3 = t^2 - 2t $
$ t^2 - 2t - 3 = 0 $
Это квадратное уравнение. Найдем его корни по теореме Виета: $t_1 + t_2 = 2$ и $t_1 \cdot t_2 = -3$. Корни: $t_1 = 3$ и $t_2 = -1$.
Оба корня удовлетворяют условию $t \neq 2$.
Теперь выполним обратную замену.
1. Если $t = 3$:
$ x^2 - 2x = 3 $
$ x^2 - 2x - 3 = 0 $
По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 2$ и $x_1 \cdot x_2 = -3$. Корни: $x_1 = 3$, $x_2 = -1$.
2. Если $t = -1$:
$ x^2 - 2x = -1 $
$ x^2 - 2x + 1 = 0 $
$ (x - 1)^2 = 0 $
Корень: $x_3 = 1$.
Проверим ОДЗ исходного уравнения: знаменатель $x^2 - 2x - 2 \neq 0$. Так как мы нашли, что $x^2 - 2x$ принимает значения $3$ и $-1$, то знаменатель равен $3-2=1 \neq 0$ и $-1-2=-3 \neq 0$. Все найденные корни являются решениями.
Ответ: $-1; 1; 3$.
б) $ \frac{x}{x^2 - 2} + \frac{6(x^2 - 2)}{x} = 7 $
Заметим, что второе слагаемое является обратным к первому, умноженным на 6. Введем замену.
Пусть $ t = \frac{x}{x^2 - 2} $. Тогда $ \frac{x^2 - 2}{x} = \frac{1}{t} $.
Уравнение примет вид:
$ t + \frac{6}{t} = 7 $
ОДЗ: $t \neq 0$. Домножим обе части на $t$:
$ t^2 + 6 = 7t $
$ t^2 - 7t + 6 = 0 $
По теореме Виета: $t_1 + t_2 = 7$ и $t_1 \cdot t_2 = 6$. Корни: $t_1 = 1$, $t_2 = 6$.
Оба корня удовлетворяют условию $t \neq 0$.
Выполним обратную замену.
1. Если $t = 1$:
$ \frac{x}{x^2 - 2} = 1 $
$ x = x^2 - 2 $
$ x^2 - x - 2 = 0 $
По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 1$ и $x_1 \cdot x_2 = -2$. Корни: $x_1 = 2$, $x_2 = -1$.
2. Если $t = 6$:
$ \frac{x}{x^2 - 2} = 6 $
$ x = 6(x^2 - 2) $
$ 6x^2 - x - 12 = 0 $
Найдем дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-12) = 1 + 288 = 289 = 17^2$.
$ x = \frac{1 \pm 17}{12} $.
$ x_3 = \frac{1 + 17}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2} $.
$ x_4 = \frac{1 - 17}{12} = \frac{-16}{12} = -\frac{4}{3} $.
ОДЗ исходного уравнения: $x \neq 0$ и $x^2 - 2 \neq 0$ (т.е. $x \neq \pm \sqrt{2}$). Все четыре корня удовлетворяют этим условиям.
Ответ: $-\frac{4}{3}; -1; \frac{3}{2}; 2$.
в) $ 1 - \frac{15}{(x^2 - 4x)^2} = \frac{2}{x^2 - 4x} $
В данном уравнении повторяется выражение $x^2 - 4x$. Введем новую переменную.
Пусть $t = x^2 - 4x$.
Тогда уравнение можно переписать в виде:
$ 1 - \frac{15}{t^2} = \frac{2}{t} $
ОДЗ для этого уравнения: $t \neq 0$. Перенесем все слагаемые в одну часть и домножим на $t^2$:
$ t^2 - 15 = 2t $
$ t^2 - 2t - 15 = 0 $
По теореме Виета: $t_1 + t_2 = 2$ и $t_1 \cdot t_2 = -15$. Корни: $t_1 = 5$, $t_2 = -3$.
Оба корня удовлетворяют условию $t \neq 0$.
Выполним обратную замену.
1. Если $t = 5$:
$ x^2 - 4x = 5 $
$ x^2 - 4x - 5 = 0 $
По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 4$ и $x_1 \cdot x_2 = -5$. Корни: $x_1 = 5$, $x_2 = -1$.
2. Если $t = -3$:
$ x^2 - 4x = -3 $
$ x^2 - 4x + 3 = 0 $
По теореме Виета: $x_3 + x_4 = 4$ и $x_3 \cdot x_4 = 3$. Корни: $x_3 = 3$, $x_4 = 1$.
ОДЗ исходного уравнения: $x^2 - 4x \neq 0$, что равносильно $t \neq 0$. Это условие мы учли. $x(x-4) \neq 0$, то есть $x \neq 0$ и $x \neq 4$. Все найденные корни удовлетворяют этому условию.
Ответ: $-1; 1; 3; 5$.
г) $ \frac{x - 3}{x^2 + 10x + 27} + \frac{x^2 + 10x + 27}{x - 3} = -2 $
В уравнении присутствуют два взаимно обратных выражения. Сделаем замену.
Пусть $ t = \frac{x - 3}{x^2 + 10x + 27} $. Тогда $ \frac{x^2 + 10x + 27}{x - 3} = \frac{1}{t} $.
Уравнение примет вид:
$ t + \frac{1}{t} = -2 $
ОДЗ: $t \neq 0$. Домножим обе части на $t$:
$ t^2 + 1 = -2t $
$ t^2 + 2t + 1 = 0 $
$ (t + 1)^2 = 0 $
Отсюда $t = -1$. Это значение удовлетворяет условию $t \neq 0$.
Выполним обратную замену:
$ \frac{x - 3}{x^2 + 10x + 27} = -1 $
ОДЗ исходного уравнения: $x-3 \neq 0$ (т.е. $x \neq 3$) и $x^2+10x+27 \neq 0$. Дискриминант квадратного трехчлена $x^2+10x+27$ равен $D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 27 = 100 - 108 = -8 < 0$, следовательно, этот трехчлен не обращается в ноль ни при каких $x$.
Решим уравнение:
$ x - 3 = -(x^2 + 10x + 27) $
$ x - 3 = -x^2 - 10x - 27 $
$ x^2 + x + 10x - 3 + 27 = 0 $
$ x^2 + 11x + 24 = 0 $
По теореме Виета: $x_1 + x_2 = -11$ и $x_1 \cdot x_2 = 24$. Корни: $x_1 = -3$, $x_2 = -8$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 3$).
Ответ: $-8; -3$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 114 расположенного на странице 234 для 2-й части к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №114 (с. 234), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Александрова (Лилия Александровна), Мишустина (Татьяна Николаевна), Тульчинская (Елена Ефимовна), Семенов (Павел Владимирович), 2-й части учебного пособия издательства Мнемозина.