Номер 114, страница 234, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Алгебра, 8 класс Учебник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Александрова Лилия Александровна, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, Семенов Павел Владимирович, издательство Мнемозина, Москва, 2019, часть 2

Авторы: Мордкович А. Г., Александрова Л. А., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е., Семенов П. В.

Тип: Учебник

Издательство: Мнемозина

Год издания: 2019 - 2025

Часть: 2

Цвет обложки:

Допущено Министерством просвещения Российской Федерации

Популярные ГДЗ в 8 классе

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 114, страница 234.

№114 (с. 234)
Условие. №114 (с. 234)
скриншот условия
Алгебра, 8 класс Учебник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Александрова Лилия Александровна, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, Семенов Павел Владимирович, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 234, номер 114, Условие

114 Решите уравнение методом введения новой переменной:

a) $ \frac{3}{x^2 - 2x - 2} - x^2 + 2x = 0; $

б) $ \frac{x}{x^2 - 2} + \frac{6(x^2 - 2)}{x} = 7; $

в) $ 1 - \frac{15}{(x^2 - 4x)^2} = \frac{2}{x^2 - 4x}; $

г) $ \frac{x - 3}{x^2 + 10x + 27} + \frac{x^2 + 10x + 27}{x - 3} = -2. $

Решение 1. №114 (с. 234)
Алгебра, 8 класс Учебник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Александрова Лилия Александровна, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, Семенов Павел Владимирович, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 234, номер 114, Решение 1 Алгебра, 8 класс Учебник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Александрова Лилия Александровна, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, Семенов Павел Владимирович, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 234, номер 114, Решение 1 (продолжение 2) Алгебра, 8 класс Учебник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Александрова Лилия Александровна, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, Семенов Павел Владимирович, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 234, номер 114, Решение 1 (продолжение 3) Алгебра, 8 класс Учебник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Александрова Лилия Александровна, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, Семенов Павел Владимирович, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 234, номер 114, Решение 1 (продолжение 4)
Решение 2. №114 (с. 234)
Алгебра, 8 класс Учебник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Александрова Лилия Александровна, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, Семенов Павел Владимирович, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 234, номер 114, Решение 2
Решение 3. №114 (с. 234)
Алгебра, 8 класс Учебник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Александрова Лилия Александровна, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, Семенов Павел Владимирович, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 234, номер 114, Решение 3
Решение 4. №114 (с. 234)
Алгебра, 8 класс Учебник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Александрова Лилия Александровна, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, Семенов Павел Владимирович, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 234, номер 114, Решение 4 Алгебра, 8 класс Учебник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Александрова Лилия Александровна, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, Семенов Павел Владимирович, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 234, номер 114, Решение 4 (продолжение 2)
Решение 6. №114 (с. 234)

a) $ \frac{3}{x^2 - 2x - 2} - x^2 + 2x = 0 $

Преобразуем уравнение, вынеся знак минус за скобки у второго и третьего слагаемых:

$ \frac{3}{x^2 - 2x - 2} - (x^2 - 2x) = 0 $

Очевидно, что повторяющимся выражением является $x^2 - 2x$. Введем новую переменную. Пусть $t = x^2 - 2x$.

Тогда уравнение примет вид:

$ \frac{3}{t - 2} - t = 0 $

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения: $t - 2 \neq 0$, то есть $t \neq 2$.

Решим полученное уравнение относительно $t$:

$ \frac{3}{t - 2} = t $

$ 3 = t(t - 2) $

$ 3 = t^2 - 2t $

$ t^2 - 2t - 3 = 0 $

Это квадратное уравнение. Найдем его корни по теореме Виета: $t_1 + t_2 = 2$ и $t_1 \cdot t_2 = -3$. Корни: $t_1 = 3$ и $t_2 = -1$.

Оба корня удовлетворяют условию $t \neq 2$.

Теперь выполним обратную замену.

1. Если $t = 3$:

$ x^2 - 2x = 3 $

$ x^2 - 2x - 3 = 0 $

По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 2$ и $x_1 \cdot x_2 = -3$. Корни: $x_1 = 3$, $x_2 = -1$.

2. Если $t = -1$:

$ x^2 - 2x = -1 $

$ x^2 - 2x + 1 = 0 $

$ (x - 1)^2 = 0 $

Корень: $x_3 = 1$.

Проверим ОДЗ исходного уравнения: знаменатель $x^2 - 2x - 2 \neq 0$. Так как мы нашли, что $x^2 - 2x$ принимает значения $3$ и $-1$, то знаменатель равен $3-2=1 \neq 0$ и $-1-2=-3 \neq 0$. Все найденные корни являются решениями.

Ответ: $-1; 1; 3$.

б) $ \frac{x}{x^2 - 2} + \frac{6(x^2 - 2)}{x} = 7 $

Заметим, что второе слагаемое является обратным к первому, умноженным на 6. Введем замену.

Пусть $ t = \frac{x}{x^2 - 2} $. Тогда $ \frac{x^2 - 2}{x} = \frac{1}{t} $.

Уравнение примет вид:

$ t + \frac{6}{t} = 7 $

ОДЗ: $t \neq 0$. Домножим обе части на $t$:

$ t^2 + 6 = 7t $

$ t^2 - 7t + 6 = 0 $

По теореме Виета: $t_1 + t_2 = 7$ и $t_1 \cdot t_2 = 6$. Корни: $t_1 = 1$, $t_2 = 6$.

Оба корня удовлетворяют условию $t \neq 0$.

Выполним обратную замену.

1. Если $t = 1$:

$ \frac{x}{x^2 - 2} = 1 $

$ x = x^2 - 2 $

$ x^2 - x - 2 = 0 $

По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 1$ и $x_1 \cdot x_2 = -2$. Корни: $x_1 = 2$, $x_2 = -1$.

2. Если $t = 6$:

$ \frac{x}{x^2 - 2} = 6 $

$ x = 6(x^2 - 2) $

$ 6x^2 - x - 12 = 0 $

Найдем дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-12) = 1 + 288 = 289 = 17^2$.

$ x = \frac{1 \pm 17}{12} $.

$ x_3 = \frac{1 + 17}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2} $.

$ x_4 = \frac{1 - 17}{12} = \frac{-16}{12} = -\frac{4}{3} $.

ОДЗ исходного уравнения: $x \neq 0$ и $x^2 - 2 \neq 0$ (т.е. $x \neq \pm \sqrt{2}$). Все четыре корня удовлетворяют этим условиям.

Ответ: $-\frac{4}{3}; -1; \frac{3}{2}; 2$.

в) $ 1 - \frac{15}{(x^2 - 4x)^2} = \frac{2}{x^2 - 4x} $

В данном уравнении повторяется выражение $x^2 - 4x$. Введем новую переменную.

Пусть $t = x^2 - 4x$.

Тогда уравнение можно переписать в виде:

$ 1 - \frac{15}{t^2} = \frac{2}{t} $

ОДЗ для этого уравнения: $t \neq 0$. Перенесем все слагаемые в одну часть и домножим на $t^2$:

$ t^2 - 15 = 2t $

$ t^2 - 2t - 15 = 0 $

По теореме Виета: $t_1 + t_2 = 2$ и $t_1 \cdot t_2 = -15$. Корни: $t_1 = 5$, $t_2 = -3$.

Оба корня удовлетворяют условию $t \neq 0$.

Выполним обратную замену.

1. Если $t = 5$:

$ x^2 - 4x = 5 $

$ x^2 - 4x - 5 = 0 $

По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 4$ и $x_1 \cdot x_2 = -5$. Корни: $x_1 = 5$, $x_2 = -1$.

2. Если $t = -3$:

$ x^2 - 4x = -3 $

$ x^2 - 4x + 3 = 0 $

По теореме Виета: $x_3 + x_4 = 4$ и $x_3 \cdot x_4 = 3$. Корни: $x_3 = 3$, $x_4 = 1$.

ОДЗ исходного уравнения: $x^2 - 4x \neq 0$, что равносильно $t \neq 0$. Это условие мы учли. $x(x-4) \neq 0$, то есть $x \neq 0$ и $x \neq 4$. Все найденные корни удовлетворяют этому условию.

Ответ: $-1; 1; 3; 5$.

г) $ \frac{x - 3}{x^2 + 10x + 27} + \frac{x^2 + 10x + 27}{x - 3} = -2 $

В уравнении присутствуют два взаимно обратных выражения. Сделаем замену.

Пусть $ t = \frac{x - 3}{x^2 + 10x + 27} $. Тогда $ \frac{x^2 + 10x + 27}{x - 3} = \frac{1}{t} $.

Уравнение примет вид:

$ t + \frac{1}{t} = -2 $

ОДЗ: $t \neq 0$. Домножим обе части на $t$:

$ t^2 + 1 = -2t $

$ t^2 + 2t + 1 = 0 $

$ (t + 1)^2 = 0 $

Отсюда $t = -1$. Это значение удовлетворяет условию $t \neq 0$.

Выполним обратную замену:

$ \frac{x - 3}{x^2 + 10x + 27} = -1 $

ОДЗ исходного уравнения: $x-3 \neq 0$ (т.е. $x \neq 3$) и $x^2+10x+27 \neq 0$. Дискриминант квадратного трехчлена $x^2+10x+27$ равен $D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 27 = 100 - 108 = -8 < 0$, следовательно, этот трехчлен не обращается в ноль ни при каких $x$.

Решим уравнение:

$ x - 3 = -(x^2 + 10x + 27) $

$ x - 3 = -x^2 - 10x - 27 $

$ x^2 + x + 10x - 3 + 27 = 0 $

$ x^2 + 11x + 24 = 0 $

По теореме Виета: $x_1 + x_2 = -11$ и $x_1 \cdot x_2 = 24$. Корни: $x_1 = -3$, $x_2 = -8$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 3$).

Ответ: $-8; -3$.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 114 расположенного на странице 234 для 2-й части к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №114 (с. 234), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Александрова (Лилия Александровна), Мишустина (Татьяна Николаевна), Тульчинская (Елена Ефимовна), Семенов (Павел Владимирович), 2-й части учебного пособия издательства Мнемозина.