Номер 114, страница 234, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 114, страница 234.

Условие.

114 Решите уравнение методом введения новой переменной:

a) $ \frac{3}{x^2 - 2x - 2} - x^2 + 2x = 0; $

б) $ \frac{x}{x^2 - 2} + \frac{6(x^2 - 2)}{x} = 7; $

в) $ 1 - \frac{15}{(x^2 - 4x)^2} = \frac{2}{x^2 - 4x}; $

г) $ \frac{x - 3}{x^2 + 10x + 27} + \frac{x^2 + 10x + 27}{x - 3} = -2. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

a) $ \frac{3}{x^2 - 2x - 2} - x^2 + 2x = 0 $

Преобразуем уравнение, вынеся знак минус за скобки у второго и третьего слагаемых:

$ \frac{3}{x^2 - 2x - 2} - (x^2 - 2x) = 0 $

Очевидно, что повторяющимся выражением является $x^2 - 2x$. Введем новую переменную. Пусть $t = x^2 - 2x$.

Тогда уравнение примет вид:

$ \frac{3}{t - 2} - t = 0 $

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения: $t - 2 \neq 0$, то есть $t \neq 2$.

Решим полученное уравнение относительно $t$:

$ \frac{3}{t - 2} = t $

$ 3 = t(t - 2) $

$ 3 = t^2 - 2t $

$ t^2 - 2t - 3 = 0 $

Это квадратное уравнение. Найдем его корни по теореме Виета: $t_1 + t_2 = 2$ и $t_1 \cdot t_2 = -3$. Корни: $t_1 = 3$ и $t_2 = -1$.

Оба корня удовлетворяют условию $t \neq 2$.

Теперь выполним обратную замену.

1. Если $t = 3$:

$ x^2 - 2x = 3 $

$ x^2 - 2x - 3 = 0 $

По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 2$ и $x_1 \cdot x_2 = -3$. Корни: $x_1 = 3$, $x_2 = -1$.

2. Если $t = -1$:

$ x^2 - 2x = -1 $

$ x^2 - 2x + 1 = 0 $

$ (x - 1)^2 = 0 $

Корень: $x_3 = 1$.

Проверим ОДЗ исходного уравнения: знаменатель $x^2 - 2x - 2 \neq 0$. Так как мы нашли, что $x^2 - 2x$ принимает значения $3$ и $-1$, то знаменатель равен $3-2=1 \neq 0$ и $-1-2=-3 \neq 0$. Все найденные корни являются решениями.

Ответ: $-1; 1; 3$.

б) $ \frac{x}{x^2 - 2} + \frac{6(x^2 - 2)}{x} = 7 $

Заметим, что второе слагаемое является обратным к первому, умноженным на 6. Введем замену.

Пусть $ t = \frac{x}{x^2 - 2} $. Тогда $ \frac{x^2 - 2}{x} = \frac{1}{t} $.

Уравнение примет вид:

$ t + \frac{6}{t} = 7 $

ОДЗ: $t \neq 0$. Домножим обе части на $t$:

$ t^2 + 6 = 7t $

$ t^2 - 7t + 6 = 0 $

По теореме Виета: $t_1 + t_2 = 7$ и $t_1 \cdot t_2 = 6$. Корни: $t_1 = 1$, $t_2 = 6$.

Оба корня удовлетворяют условию $t \neq 0$.

Выполним обратную замену.

1. Если $t = 1$:

$ \frac{x}{x^2 - 2} = 1 $

$ x = x^2 - 2 $

$ x^2 - x - 2 = 0 $

По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 1$ и $x_1 \cdot x_2 = -2$. Корни: $x_1 = 2$, $x_2 = -1$.

2. Если $t = 6$:

$ \frac{x}{x^2 - 2} = 6 $

$ x = 6(x^2 - 2) $

$ 6x^2 - x - 12 = 0 $

Найдем дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-12) = 1 + 288 = 289 = 17^2$.

$ x = \frac{1 \pm 17}{12} $.

$ x_3 = \frac{1 + 17}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2} $.

$ x_4 = \frac{1 - 17}{12} = \frac{-16}{12} = -\frac{4}{3} $.

ОДЗ исходного уравнения: $x \neq 0$ и $x^2 - 2 \neq 0$ (т.е. $x \neq \pm \sqrt{2}$). Все четыре корня удовлетворяют этим условиям.

Ответ: $-\frac{4}{3}; -1; \frac{3}{2}; 2$.

в) $ 1 - \frac{15}{(x^2 - 4x)^2} = \frac{2}{x^2 - 4x} $

В данном уравнении повторяется выражение $x^2 - 4x$. Введем новую переменную.

Пусть $t = x^2 - 4x$.

Тогда уравнение можно переписать в виде:

$ 1 - \frac{15}{t^2} = \frac{2}{t} $

ОДЗ для этого уравнения: $t \neq 0$. Перенесем все слагаемые в одну часть и домножим на $t^2$:

$ t^2 - 15 = 2t $

$ t^2 - 2t - 15 = 0 $

По теореме Виета: $t_1 + t_2 = 2$ и $t_1 \cdot t_2 = -15$. Корни: $t_1 = 5$, $t_2 = -3$.

Оба корня удовлетворяют условию $t \neq 0$.

Выполним обратную замену.

1. Если $t = 5$:

$ x^2 - 4x = 5 $

$ x^2 - 4x - 5 = 0 $

По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 4$ и $x_1 \cdot x_2 = -5$. Корни: $x_1 = 5$, $x_2 = -1$.

2. Если $t = -3$:

$ x^2 - 4x = -3 $

$ x^2 - 4x + 3 = 0 $

По теореме Виета: $x_3 + x_4 = 4$ и $x_3 \cdot x_4 = 3$. Корни: $x_3 = 3$, $x_4 = 1$.

ОДЗ исходного уравнения: $x^2 - 4x \neq 0$, что равносильно $t \neq 0$. Это условие мы учли. $x(x-4) \neq 0$, то есть $x \neq 0$ и $x \neq 4$. Все найденные корни удовлетворяют этому условию.

Ответ: $-1; 1; 3; 5$.

г) $ \frac{x - 3}{x^2 + 10x + 27} + \frac{x^2 + 10x + 27}{x - 3} = -2 $

В уравнении присутствуют два взаимно обратных выражения. Сделаем замену.

Пусть $ t = \frac{x - 3}{x^2 + 10x + 27} $. Тогда $ \frac{x^2 + 10x + 27}{x - 3} = \frac{1}{t} $.

Уравнение примет вид:

$ t + \frac{1}{t} = -2 $

ОДЗ: $t \neq 0$. Домножим обе части на $t$:

$ t^2 + 1 = -2t $

$ t^2 + 2t + 1 = 0 $

$ (t + 1)^2 = 0 $

Отсюда $t = -1$. Это значение удовлетворяет условию $t \neq 0$.

Выполним обратную замену:

$ \frac{x - 3}{x^2 + 10x + 27} = -1 $

ОДЗ исходного уравнения: $x-3 \neq 0$ (т.е. $x \neq 3$) и $x^2+10x+27 \neq 0$. Дискриминант квадратного трехчлена $x^2+10x+27$ равен $D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 27 = 100 - 108 = -8 < 0$, следовательно, этот трехчлен не обращается в ноль ни при каких $x$.

Решим уравнение:

$ x - 3 = -(x^2 + 10x + 27) $

$ x - 3 = -x^2 - 10x - 27 $

$ x^2 + x + 10x - 3 + 27 = 0 $

$ x^2 + 11x + 24 = 0 $

По теореме Виета: $x_1 + x_2 = -11$ и $x_1 \cdot x_2 = 24$. Корни: $x_1 = -3$, $x_2 = -8$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 3$).

Ответ: $-8; -3$.