Номер 112, страница 233, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Итоговое повторение - номер 112, страница 233.

Условие.

112 a) $\frac{6}{x^2 - 4x + 3} - \frac{13 - 7x}{1 - x} = \frac{3}{x - 3}$;

б) $\frac{8}{x^2 - 6x + 8} + \frac{1 - 3x}{2 - x} = \frac{4}{x - 4}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Исходное уравнение: $ \frac{6}{x^2 - 4x + 3} - \frac{13 - 7x}{1 - x} = \frac{3}{x - 3} $.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:

$ x^2 - 4x + 3 \ne 0 $

$ 1 - x \ne 0 \implies x \ne 1 $

$ x - 3 \ne 0 \implies x \ne 3 $

Разложим квадратный трехчлен $ x^2 - 4x + 3 $ на множители. Корнями уравнения $ x^2 - 4x + 3 = 0 $ являются $ x_1 = 1 $ и $ x_2 = 3 $ (по теореме Виета).
Следовательно, $ x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3) $.

Таким образом, ОДЗ: $ x \ne 1 $ и $ x \ne 3 $.

Теперь преобразуем уравнение. Заметим, что $ 1 - x = -(x - 1) $. Подставим это в уравнение:

$ \frac{6}{(x - 1)(x - 3)} - \frac{13 - 7x}{-(x - 1)} = \frac{3}{x - 3} $

$ \frac{6}{(x - 1)(x - 3)} + \frac{13 - 7x}{x - 1} = \frac{3}{x - 3} $

Приведем все дроби к общему знаменателю $ (x - 1)(x - 3) $. Для этого умножим вторую дробь на $ (x - 3) $ и третью на $ (x - 1) $:

$ \frac{6}{(x - 1)(x - 3)} + \frac{(13 - 7x)(x - 3)}{(x - 1)(x - 3)} = \frac{3(x - 1)}{(x - 1)(x - 3)} $

Так как $ x \ne 1 $ и $ x \ne 3 $, мы можем умножить обе части уравнения на общий знаменатель $ (x - 1)(x - 3) $, чтобы избавиться от дробей:

$ 6 + (13 - 7x)(x - 3) = 3(x - 1) $

Раскроем скобки и упростим:

$ 6 + 13x - 39 - 7x^2 + 21x = 3x - 3 $

$ -7x^2 + 34x - 33 = 3x - 3 $

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$ -7x^2 + 34x - 3x - 33 + 3 = 0 $

$ -7x^2 + 31x - 30 = 0 $

Умножим обе части на -1 для удобства:

$ 7x^2 - 31x + 30 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $ D = b^2 - 4ac $:

$ D = (-31)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 30 = 961 - 840 = 121 = 11^2 $

Найдем корни уравнения:

$ x_1 = \frac{-(-31) + \sqrt{121}}{2 \cdot 7} = \frac{31 + 11}{14} = \frac{42}{14} = 3 $

$ x_2 = \frac{-(-31) - \sqrt{121}}{2 \cdot 7} = \frac{31 - 11}{14} = \frac{20}{14} = \frac{10}{7} $

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($ x \ne 1, x \ne 3 $).

Корень $ x_1 = 3 $ не удовлетворяет ОДЗ, так как при этом значении знаменатель обращается в ноль. Это посторонний корень.

Корень $ x_2 = \frac{10}{7} $ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $ \frac{10}{7} $.

б)

Исходное уравнение: $ \frac{8}{x^2 - 6x + 8} + \frac{1 - 3x}{2 - x} = \frac{4}{x - 4} $.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ), исключив значения $x$, при которых знаменатели обращаются в ноль:

$ x^2 - 6x + 8 \ne 0 $

$ 2 - x \ne 0 \implies x \ne 2 $

$ x - 4 \ne 0 \implies x \ne 4 $

Разложим на множители знаменатель $ x^2 - 6x + 8 $. Корнями уравнения $ x^2 - 6x + 8 = 0 $ являются $ x_1 = 2 $ и $ x_2 = 4 $ (по теореме Виета).
Значит, $ x^2 - 6x + 8 = (x - 2)(x - 4) $.

Таким образом, ОДЗ: $ x \ne 2 $ и $ x \ne 4 $.

Преобразуем уравнение, используя тождество $ 2 - x = -(x - 2) $:

$ \frac{8}{(x - 2)(x - 4)} + \frac{1 - 3x}{-(x - 2)} = \frac{4}{x - 4} $

$ \frac{8}{(x - 2)(x - 4)} - \frac{1 - 3x}{x - 2} = \frac{4}{x - 4} $

Приведем дроби к общему знаменателю $ (x - 2)(x - 4) $:

$ \frac{8}{(x - 2)(x - 4)} - \frac{(1 - 3x)(x - 4)}{(x - 2)(x - 4)} = \frac{4(x - 2)}{(x - 2)(x - 4)} $

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $ (x - 2)(x - 4) $, так как он не равен нулю в ОДЗ:

$ 8 - (1 - 3x)(x - 4) = 4(x - 2) $

Раскроем скобки:

$ 8 - (x - 4 - 3x^2 + 12x) = 4x - 8 $

$ 8 - (-3x^2 + 13x - 4) = 4x - 8 $

$ 8 + 3x^2 - 13x + 4 = 4x - 8 $

$ 3x^2 - 13x + 12 = 4x - 8 $

Перенесем все члены в левую часть:

$ 3x^2 - 13x - 4x + 12 + 8 = 0 $

$ 3x^2 - 17x + 20 = 0 $

Решим это квадратное уравнение. Вычислим дискриминант $ D = b^2 - 4ac $:

$ D = (-17)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 20 = 289 - 240 = 49 = 7^2 $

Найдем корни:

$ x_1 = \frac{-(-17) + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{17 + 7}{6} = \frac{24}{6} = 4 $

$ x_2 = \frac{-(-17) - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{17 - 7}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} $

Сравним найденные корни с ОДЗ ($ x \ne 2, x \ne 4 $).

Корень $ x_1 = 4 $ не удовлетворяет ОДЗ и является посторонним.

Корень $ x_2 = \frac{5}{3} $ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $ \frac{5}{3} $.