Номер 121, страница 235, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 121, страница 235.

Условие.

121 Из пункта А в пункт В, находящийся на расстоянии 20 км от А, выехал автобус, а через 7 мин вслед за ним выехал грузовой автомобиль, скорость которого на 20 км/ч больше скорости автобуса. Найдите скорости каждого участника движения, если грузовой автомобиль прибыл в пункт В на 3 мин раньше автобуса.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Пусть скорость автобуса равна $x$ км/ч. Согласно условию, скорость грузового автомобиля на 20 км/ч больше, следовательно, она равна $(x + 20)$ км/ч.

Расстояние, которое они должны проехать, составляет $S = 20$ км.

Время, затраченное автобусом на весь путь, можно найти по формуле $t = S/v$. Для автобуса это будет $t_{автобуса} = \frac{20}{x}$ часов.

Время, затраченное грузовым автомобилем, составит $t_{грузовика} = \frac{20}{x+20}$ часов.

Из условия известно, что грузовой автомобиль выехал на 7 минут позже автобуса, а прибыл на 3 минуты раньше. Это означает, что общее время, которое грузовик провел в пути, на $7 + 3 = 10$ минут меньше, чем время, которое провел в пути автобус.

Переведем эту разницу во времени из минут в часы, чтобы все единицы измерения были согласованы: $10 \text{ минут} = \frac{10}{60} \text{ часа} = \frac{1}{6}$ часа.

Теперь можно составить уравнение, отражающее разницу во времени движения: $t_{автобуса} - t_{грузовика} = \frac{1}{6}$

Подставим в уравнение выражения для времени: $\frac{20}{x} - \frac{20}{x+20} = \frac{1}{6}$

Для решения уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+20)$: $\frac{20(x+20) - 20x}{x(x+20)} = \frac{1}{6}$

Упростим числитель: $\frac{20x + 400 - 20x}{x^2 + 20x} = \frac{1}{6}$ $\frac{400}{x^2 + 20x} = \frac{1}{6}$

Воспользуемся свойством пропорции («крест-накрест»): $1 \cdot (x^2 + 20x) = 400 \cdot 6$ $x^2 + 20x = 2400$

Перенесем все в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $x^2 + 20x - 2400 = 0$

Решим это уравнение. Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$: $D = 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2400) = 400 + 9600 = 10000$

Найдем корни уравнения: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-20 + \sqrt{10000}}{2 \cdot 1} = \frac{-20 + 100}{2} = \frac{80}{2} = 40$ $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-20 - \sqrt{10000}}{2 \cdot 1} = \frac{-20 - 100}{2} = \frac{-120}{2} = -60$

Поскольку скорость не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -60$ не имеет физического смысла в данной задаче. Таким образом, скорость автобуса $x = 40$ км/ч.

Теперь найдем скорость грузового автомобиля: $v_{грузовика} = x + 20 = 40 + 20 = 60$ км/ч.

Ответ: скорость автобуса равна 40 км/ч, скорость грузового автомобиля — 60 км/ч.