Страница 235, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

121 Из пункта А в пункт В, находящийся на расстоянии 20 км от А, выехал автобус, а через 7 мин вслед за ним выехал грузовой автомобиль, скорость которого на 20 км/ч больше скорости автобуса. Найдите скорости каждого участника движения, если грузовой автомобиль прибыл в пункт В на 3 мин раньше автобуса.

Пусть скорость автобуса равна $x$ км/ч. Согласно условию, скорость грузового автомобиля на 20 км/ч больше, следовательно, она равна $(x + 20)$ км/ч.

Расстояние, которое они должны проехать, составляет $S = 20$ км.

Время, затраченное автобусом на весь путь, можно найти по формуле $t = S/v$. Для автобуса это будет $t_{автобуса} = \frac{20}{x}$ часов.

Время, затраченное грузовым автомобилем, составит $t_{грузовика} = \frac{20}{x+20}$ часов.

Из условия известно, что грузовой автомобиль выехал на 7 минут позже автобуса, а прибыл на 3 минуты раньше. Это означает, что общее время, которое грузовик провел в пути, на $7 + 3 = 10$ минут меньше, чем время, которое провел в пути автобус.

Переведем эту разницу во времени из минут в часы, чтобы все единицы измерения были согласованы: $10 \text{ минут} = \frac{10}{60} \text{ часа} = \frac{1}{6}$ часа.

Теперь можно составить уравнение, отражающее разницу во времени движения: $t_{автобуса} - t_{грузовика} = \frac{1}{6}$

Подставим в уравнение выражения для времени: $\frac{20}{x} - \frac{20}{x+20} = \frac{1}{6}$

Для решения уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+20)$: $\frac{20(x+20) - 20x}{x(x+20)} = \frac{1}{6}$

Упростим числитель: $\frac{20x + 400 - 20x}{x^2 + 20x} = \frac{1}{6}$ $\frac{400}{x^2 + 20x} = \frac{1}{6}$

Воспользуемся свойством пропорции («крест-накрест»): $1 \cdot (x^2 + 20x) = 400 \cdot 6$ $x^2 + 20x = 2400$

Перенесем все в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $x^2 + 20x - 2400 = 0$

Решим это уравнение. Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$: $D = 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2400) = 400 + 9600 = 10000$

Найдем корни уравнения: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-20 + \sqrt{10000}}{2 \cdot 1} = \frac{-20 + 100}{2} = \frac{80}{2} = 40$ $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-20 - \sqrt{10000}}{2 \cdot 1} = \frac{-20 - 100}{2} = \frac{-120}{2} = -60$

Поскольку скорость не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -60$ не имеет физического смысла в данной задаче. Таким образом, скорость автобуса $x = 40$ км/ч.

Теперь найдем скорость грузового автомобиля: $v_{грузовика} = x + 20 = 40 + 20 = 60$ км/ч.

Ответ: скорость автобуса равна 40 км/ч, скорость грузового автомобиля — 60 км/ч.

Вычислите:

122 а) $2^{-3} \cdot 2^5 \cdot (2^{-2})^4;$

б) $\frac{3^3 \cdot 9^{-3}}{(3^4)^{-2}};$

в) $(5^{-1})^4 \cdot 5^9 \cdot 5^{-2};$

г) $\frac{(7^{-2})^3 \cdot 7^{-7}}{49^{-6}}.$

а) $2^{-3} \cdot 2^5 \cdot (2^{-2})^4$
Для решения данного примера воспользуемся свойствами степеней: при возведении степени в степень показатели перемножаются $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, а при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
1. Упростим выражение в скобках: $(2^{-2})^4 = 2^{-2 \cdot 4} = 2^{-8}$.
2. Теперь исходное выражение примет вид: $2^{-3} \cdot 2^5 \cdot 2^{-8}$.
3. Сложим показатели степеней: $2^{-3+5-8} = 2^{2-8} = 2^{-6}$.
4. Вычислим итоговое значение: $2^{-6} = \frac{1}{2^6} = \frac{1}{64}$.
Ответ: $\frac{1}{64}$.

б) $\frac{3^3 \cdot 9^{-3}}{(3^4)^{-2}}$
Для решения приведем все степени к одному основанию — 3. Также используем свойство деления степеней с одинаковым основанием: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.
1. Представим число 9 как степень числа 3: $9 = 3^2$. Тогда $9^{-3} = (3^2)^{-3} = 3^{2 \cdot (-3)} = 3^{-6}$.
2. Упростим числитель дроби: $3^3 \cdot 3^{-6} = 3^{3+(-6)} = 3^{-3}$.
3. Упростим знаменатель дроби: $(3^4)^{-2} = 3^{4 \cdot (-2)} = 3^{-8}$.
4. Теперь вся дробь имеет вид: $\frac{3^{-3}}{3^{-8}}$.
5. Выполним деление, вычитая из показателя числителя показатель знаменателя: $3^{-3 - (-8)} = 3^{-3+8} = 3^5$.
6. Вычислим результат: $3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243$.
Ответ: $243$.

в) $(5^{-1})^4 \cdot 5^9 \cdot 5^{-2}$
Решение аналогично пункту а).
1. Упростим первый множитель: $(5^{-1})^4 = 5^{-1 \cdot 4} = 5^{-4}$.
2. Выражение примет вид: $5^{-4} \cdot 5^9 \cdot 5^{-2}$.
3. Сложим показатели степеней с основанием 5: $5^{-4+9-2} = 5^{5-2} = 5^3$.
4. Вычислим результат: $5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$.
Ответ: $125$.

г) $\frac{(7^{-2})^3 \cdot 7^{-7}}{49^{-6}}$
Приведем все степени к основанию 7.
1. Упростим числитель: $(7^{-2})^3 \cdot 7^{-7} = 7^{-2 \cdot 3} \cdot 7^{-7} = 7^{-6} \cdot 7^{-7} = 7^{-6+(-7)} = 7^{-13}$.
2. Упростим знаменатель, представив 49 как $7^2$: $49^{-6} = (7^2)^{-6} = 7^{2 \cdot (-6)} = 7^{-12}$.
3. Теперь дробь выглядит так: $\frac{7^{-13}}{7^{-12}}$.
4. Выполним деление степеней: $7^{-13 - (-12)} = 7^{-13+12} = 7^{-1}$.
5. Вычислим результат: $7^{-1} = \frac{1}{7}$.
Ответ: $\frac{1}{7}$.

123 а) $\frac{5^{-4} \cdot 15^6}{(3^{-5})^{-2}}$;

б) $\frac{4^3 \cdot 14^{-3}}{7^{-5} \cdot 2^7}$;

в) $\frac{3^5 \cdot 6^{-6}}{(2^3)^{-4}}$;

г) $\frac{8^{-3} \cdot 10^5}{5^6 \cdot 2^{-2}}$.

а) Для решения примера $\frac{5^{-4} \cdot 15^6}{(3^{-5})^{-2}}$ воспользуемся свойствами степеней. Сначала упростим знаменатель, используя правило $(a^m)^n = a^{mn}$: $(3^{-5})^{-2} = 3^{(-5) \cdot (-2)} = 3^{10}$. Затем представим число $15$ в числителе как произведение простых множителей $3 \cdot 5$ и применим правило $(ab)^n = a^n b^n$: $15^6 = (3 \cdot 5)^6 = 3^6 \cdot 5^6$. Исходное выражение примет вид: $\frac{5^{-4} \cdot 3^6 \cdot 5^6}{3^{10}}$. Теперь сгруппируем степени с одинаковыми основаниями, используя правило $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ для числителя: $5^{-4} \cdot 5^6 = 5^{-4+6} = 5^2$. Выражение станет $\frac{5^2 \cdot 3^6}{3^{10}}$. Применим правило деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$: $\frac{3^6}{3^{10}} = 3^{6-10} = 3^{-4}$. В результате получаем $5^2 \cdot 3^{-4} = \frac{5^2}{3^4} = \frac{25}{81}$. Ответ: $\frac{25}{81}$.

б) Рассмотрим выражение $\frac{4^3 \cdot 14^{-3}}{7^{-5} \cdot 2^7}$. Для упрощения представим основания $4$ и $14$ в виде произведения простых множителей: $4 = 2^2$ и $14 = 2 \cdot 7$. Тогда $4^3 = (2^2)^3 = 2^6$ и $14^{-3} = (2 \cdot 7)^{-3} = 2^{-3} \cdot 7^{-3}$. Подставим эти значения в исходное выражение: $\frac{2^6 \cdot 2^{-3} \cdot 7^{-3}}{7^{-5} \cdot 2^7}$. Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями. В числителе $2^6 \cdot 2^{-3} = 2^{6-3} = 2^3$. Получаем $\frac{2^3 \cdot 7^{-3}}{7^{-5} \cdot 2^7}$. Теперь разделим степени с одинаковыми основаниями: $\frac{2^3}{2^7} = 2^{3-7} = 2^{-4}$ и $\frac{7^{-3}}{7^{-5}} = 7^{-3 - (-5)} = 7^{-3+5} = 7^2$. Итоговый результат: $2^{-4} \cdot 7^2 = \frac{7^2}{2^4} = \frac{49}{16}$. Ответ: $\frac{49}{16}$.

в) Упростим выражение $\frac{3^5 \cdot 6^{-6}}{(2^3)^{-4}}$. В знаменателе используем свойство $(a^m)^n = a^{mn}$: $(2^3)^{-4} = 2^{3 \cdot (-4)} = 2^{-12}$. В числителе представим $6$ как $2 \cdot 3$, тогда $6^{-6} = (2 \cdot 3)^{-6} = 2^{-6} \cdot 3^{-6}$. Выражение примет вид: $\frac{3^5 \cdot 2^{-6} \cdot 3^{-6}}{2^{-12}}$. В числителе перемножим степени с основанием $3$: $3^5 \cdot 3^{-6} = 3^{5-6} = 3^{-1}$. Получим $\frac{3^{-1} \cdot 2^{-6}}{2^{-12}}$. Теперь разделим степени с основанием $2$: $\frac{2^{-6}}{2^{-12}} = 2^{-6 - (-12)} = 2^{-6+12} = 2^6$. В результате имеем $3^{-1} \cdot 2^6 = \frac{1}{3} \cdot 64 = \frac{64}{3}$. Ответ: $\frac{64}{3}$.

г) Решим пример $\frac{8^{-3} \cdot 10^5}{5^6 \cdot 2^{-2}}$. Представим основания $8$ и $10$ через простые множители: $8 = 2^3$ и $10 = 2 \cdot 5$. Тогда $8^{-3} = (2^3)^{-3} = 2^{-9}$ и $10^5 = (2 \cdot 5)^5 = 2^5 \cdot 5^5$. Подставим в исходное выражение: $\frac{2^{-9} \cdot 2^5 \cdot 5^5}{5^6 \cdot 2^{-2}}$. Упростим числитель, перемножив степени с основанием $2$: $2^{-9} \cdot 2^5 = 2^{-9+5} = 2^{-4}$. Выражение станет $\frac{2^{-4} \cdot 5^5}{5^6 \cdot 2^{-2}}$. Теперь сгруппируем и разделим степени с одинаковыми основаниями: $\frac{2^{-4}}{2^{-2}} = 2^{-4 - (-2)} = 2^{-4+2} = 2^{-2}$ и $\frac{5^5}{5^6} = 5^{5-6} = 5^{-1}$. Итоговый результат равен произведению $2^{-2} \cdot 5^{-1} = \frac{1}{2^2} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{4 \cdot 5} = \frac{1}{20}$. Ответ: $\frac{1}{20}$.

124 Найдите значение выражения:

а) $\frac{m^6(m^{-2})^5}{m^{-3}m^7}$ при $m = 0,5$;

б) $\frac{a^{-3}b^{-5}(a^2b)^{-1}}{(a^{-3})^2b^{-4}}$ при $a = 15, b = 5$;

в) $\frac{n^{-5}(n^{-1})^{-9}}{n^{-4}n^{10}}$ при $n = 10$;

г) $\frac{(cd^3)^{-2}c^{-8}}{(c^{-5})^2(d^{-3})^3}$ при $c = 6, d = 3$.

а) Сначала упростим выражение $\frac{m^6(m^{-2})^5}{m^{-3}m^7}$.
Для упрощения воспользуемся свойствами степеней: $(x^a)^b = x^{ab}$, $x^a x^b = x^{a+b}$ и $\frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}$.
Упростим числитель: $m^6(m^{-2})^5 = m^6 \cdot m^{-2 \cdot 5} = m^6 \cdot m^{-10} = m^{6 + (-10)} = m^{-4}$.
Упростим знаменатель: $m^{-3}m^7 = m^{-3+7} = m^4$.
Теперь разделим числитель на знаменатель: $\frac{m^{-4}}{m^4} = m^{-4-4} = m^{-8}$.
Подставим значение $m = 0,5$ в упрощенное выражение:
$m^{-8} = (0,5)^{-8} = (\frac{1}{2})^{-8} = (2^{-1})^{-8} = 2^{(-1) \cdot (-8)} = 2^8 = 256$.
Ответ: 256.

б) Упростим выражение $\frac{a^{-3}b^{-5}(a^2b)^{-1}}{(a^{-3})^2b^{-4}}$.
Применим свойства степеней: $(xy)^n = x^n y^n$, $(x^a)^b = x^{ab}$ и $x^a x^b = x^{a+b}$.
Упростим числитель: $a^{-3}b^{-5}(a^2b)^{-1} = a^{-3}b^{-5} \cdot (a^2)^{-1} \cdot b^{-1} = a^{-3}b^{-5}a^{-2}b^{-1} = a^{-3-2}b^{-5-1} = a^{-5}b^{-6}$.
Упростим знаменатель: $(a^{-3})^2b^{-4} = a^{-3 \cdot 2}b^{-4} = a^{-6}b^{-4}$.
Разделим числитель на знаменатель: $\frac{a^{-5}b^{-6}}{a^{-6}b^{-4}} = a^{-5-(-6)}b^{-6-(-4)} = a^{-5+6}b^{-6+4} = a^1b^{-2} = \frac{a}{b^2}$.
Подставим значения $a = 15$ и $b = 5$:
$\frac{a}{b^2} = \frac{15}{5^2} = \frac{15}{25} = \frac{3}{5} = 0,6$.
Ответ: 0,6.

в) Упростим выражение $\frac{n^{-5}(n^{-1})^{-9}}{n^{-4}n^{10}}$.
Упростим числитель, используя $(x^a)^b = x^{ab}$: $n^{-5}(n^{-1})^{-9} = n^{-5} \cdot n^{(-1) \cdot (-9)} = n^{-5}n^9 = n^{-5+9} = n^4$.
Упростим знаменатель, используя $x^a x^b = x^{a+b}$: $n^{-4}n^{10} = n^{-4+10} = n^6$.
Разделим числитель на знаменатель: $\frac{n^4}{n^6} = n^{4-6} = n^{-2} = \frac{1}{n^2}$.
Подставим значение $n = 10$:
$\frac{1}{n^2} = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100} = 0,01$.
Ответ: 0,01.

г) Упростим выражение $\frac{(cd^3)^{-2}c^{-8}}{(c^{-5})^2(d^{-3})^3}$.
Упростим числитель: $(cd^3)^{-2}c^{-8} = c^{-2}(d^3)^{-2}c^{-8} = c^{-2}d^{-6}c^{-8} = c^{-2-8}d^{-6} = c^{-10}d^{-6}$.
Упростим знаменатель: $(c^{-5})^2(d^{-3})^3 = c^{-5 \cdot 2}d^{-3 \cdot 3} = c^{-10}d^{-9}$.
Разделим числитель на знаменатель: $\frac{c^{-10}d^{-6}}{c^{-10}d^{-9}} = c^{-10-(-10)}d^{-6-(-9)} = c^{-10+10}d^{-6+9} = c^0d^3 = 1 \cdot d^3 = d^3$.
Как видим, выражение не зависит от переменной $c$.
Подставим значение $d = 3$:
$d^3 = 3^3 = 27$.
Ответ: 27.

125 Упростите выражение:

а) $\left(\frac{x}{x^2 - 2x + 1} - \frac{x + 2}{x^2 + x - 2}\right) \cdot \frac{1}{(2x - 2)^{-2}}$;

б) $\left(\frac{y + 2}{y^2 - y - 6} - \frac{y}{y^2 - 6y + 9}\right)^{-1} : (3y - 9)^2$.

Упростим выражение $\left(\frac{x}{x^2 - 2x + 1} - \frac{x + 2}{x^2 + x - 2}\right) \cdot \frac{1}{(2x - 2)^{-2}}$ по шагам.

1. Разложим на множители знаменатели дробей в скобках.
Первый знаменатель $x^2 - 2x + 1$ является полным квадратом разности: $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$.
Второй знаменатель $x^2 + x - 2$ разложим, найдя корни квадратного трехчлена $x^2 + x - 2 = 0$. По теореме Виета, корни равны $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$. Следовательно, $x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2)$.

2. Подставим разложенные знаменатели в выражение в скобках и выполним вычитание.
$\frac{x}{(x - 1)^2} - \frac{x + 2}{(x - 1)(x + 2)}$
Сократим вторую дробь на $(x + 2)$:
$\frac{x}{(x - 1)^2} - \frac{1}{x - 1}$
Приведем дроби к общему знаменателю $(x - 1)^2$:
$\frac{x}{(x - 1)^2} - \frac{1 \cdot (x - 1)}{(x - 1)(x - 1)} = \frac{x - (x - 1)}{(x - 1)^2} = \frac{x - x + 1}{(x - 1)^2} = \frac{1}{(x - 1)^2}$.

3. Упростим второй множитель $\frac{1}{(2x - 2)^{-2}}$.
Используя свойство степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получим: $\frac{1}{(2x - 2)^{-2}} = (2x - 2)^2$.
Вынесем общий множитель 2 за скобки: $(2(x - 1))^2 = 2^2 \cdot (x - 1)^2 = 4(x - 1)^2$.

4. Перемножим результаты шагов 2 и 3.
$\frac{1}{(x - 1)^2} \cdot 4(x - 1)^2$
Сократим выражение на $(x - 1)^2$:
$1 \cdot 4 = 4$.

Ответ: $4$

Упростим выражение $\left(\frac{y + 2}{y^2 - y - 6} - \frac{y}{y^2 - 6y + 9}\right)^{-1} : (3y - 9)^2$ по шагам.

1. Разложим на множители знаменатели в скобках.
Первый знаменатель $y^2 - y - 6$. Найдем корни уравнения $y^2 - y - 6 = 0$. По теореме Виета, $y_1 = 3$, $y_2 = -2$. Значит, $y^2 - y - 6 = (y - 3)(y + 2)$.
Второй знаменатель $y^2 - 6y + 9$ является полным квадратом разности: $y^2 - 6y + 9 = (y - 3)^2$.

2. Подставим разложенные знаменатели в выражение в скобках.
$\frac{y + 2}{(y - 3)(y + 2)} - \frac{y}{(y - 3)^2}$
Сократим первую дробь на $(y + 2)$:
$\frac{1}{y - 3} - \frac{y}{(y - 3)^2}$
Приведем дроби к общему знаменателю $(y - 3)^2$:
$\frac{1 \cdot (y - 3)}{(y - 3)(y - 3)} - \frac{y}{(y - 3)^2} = \frac{y - 3 - y}{(y - 3)^2} = \frac{-3}{(y - 3)^2}$.

3. Возведем полученную дробь в степень -1.
По свойству $(\frac{a}{b})^{-1} = \frac{b}{a}$, имеем:
$\left(\frac{-3}{(y - 3)^2}\right)^{-1} = \frac{(y - 3)^2}{-3} = -\frac{(y - 3)^2}{3}$.

4. Упростим делитель $(3y - 9)^2$.
Вынесем общий множитель 3 за скобки: $(3(y - 3))^2 = 3^2(y - 3)^2 = 9(y - 3)^2$.

5. Выполним деление.
$-\frac{(y - 3)^2}{3} : (9(y - 3)^2) = -\frac{(y - 3)^2}{3} \cdot \frac{1}{9(y - 3)^2}$
Сократим выражение на $(y - 3)^2$:
$-\frac{1}{3 \cdot 9} = -\frac{1}{27}$.

Ответ: $-\frac{1}{27}$

Решите иррациональное уравнение:

126 a) $ \sqrt{x+4} = 3; $

б) $ \sqrt{\frac{x+7}{x+2}} = 3; $

в) $ \sqrt{3x-1} = 2\sqrt{2}; $

г) $ \sqrt{\frac{2x-8}{6-x}} = 2. $

а) $\sqrt{x + 4} = 3$

Область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения определяется условием неотрицательности подкоренного выражения:

$x + 4 \ge 0$

$x \ge -4$

Для решения уравнения возведем обе его части в квадрат:

$(\sqrt{x + 4})^2 = 3^2$

$x + 4 = 9$

Теперь найдем $x$:

$x = 9 - 4$

$x = 5$

Найденный корень $x=5$ удовлетворяет условию ОДЗ ($5 \ge -4$), следовательно, является решением уравнения.

Проверка: $\sqrt{5 + 4} = \sqrt{9} = 3$. Верно.

Ответ: $5$

б) $\sqrt{\frac{x + 7}{x + 2}} = 3$

Определим ОДЗ. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатель не должен равняться нулю:

$\begin{cases} \frac{x + 7}{x + 2} \ge 0 \\ x + 2 \neq 0 \end{cases}$

Решая неравенство методом интервалов, находим, что ОДЗ: $x \in (-\infty, -7] \cup (-2, +\infty)$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{\frac{x + 7}{x + 2}})^2 = 3^2$

$\frac{x + 7}{x + 2} = 9$

Умножим обе части на $(x + 2)$, при условии, что $x \neq -2$:

$x + 7 = 9(x + 2)$

$x + 7 = 9x + 18$

$9x - x = 7 - 18$

$8x = -11$

$x = -\frac{11}{8}$

Значение $x = -11/8 = -1.375$ входит в ОДЗ, так как $-1.375 \in (-2, +\infty)$.

Проверка: $\sqrt{\frac{-11/8 + 7}{-11/8 + 2}} = \sqrt{\frac{45/8}{5/8}} = \sqrt{9} = 3$. Верно.

Ответ: $-\frac{11}{8}$

в) $\sqrt{3x - 1} = 2\sqrt{2}$

Найдем ОДЗ из условия неотрицательности подкоренного выражения:

$3x - 1 \ge 0$

$3x \ge 1$

$x \ge \frac{1}{3}$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{3x - 1})^2 = (2\sqrt{2})^2$

$3x - 1 = 4 \cdot 2$

$3x - 1 = 8$

$3x = 9$

$x = 3$

Корень $x=3$ удовлетворяет условию ОДЗ ($3 \ge 1/3$), значит, является решением.

Проверка: $\sqrt{3 \cdot 3 - 1} = \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$. Верно.

Ответ: $3$

г) $\sqrt{\frac{2x - 8}{6 - x}} = 2$

Определим ОДЗ:

$\begin{cases} \frac{2x - 8}{6 - x} \ge 0 \\ 6 - x \neq 0 \end{cases}$

Решая неравенство методом интервалов, получаем ОДЗ: $x \in [4, 6)$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{\frac{2x - 8}{6 - x}})^2 = 2^2$

$\frac{2x - 8}{6 - x} = 4$

Умножим обе части на $(6 - x)$, при условии, что $x \neq 6$:

$2x - 8 = 4(6 - x)$

$2x - 8 = 24 - 4x$

$2x + 4x = 24 + 8$

$6x = 32$

$x = \frac{32}{6} = \frac{16}{3}$

Значение $x = 16/3 \approx 5.33$ входит в ОДЗ, так как $4 \le 16/3 < 6$.

Проверка: $\sqrt{\frac{2 \cdot (16/3) - 8}{6 - 16/3}} = \sqrt{\frac{32/3 - 24/3}{18/3 - 16/3}} = \sqrt{\frac{8/3}{2/3}} = \sqrt{4} = 2$. Верно.

Ответ: $\frac{16}{3}$

127 a) $\sqrt{x^2 - 5x} = 6;$

б) $\sqrt{x^2 - 5x + 5} = 1;$

в) $\sqrt{x^2 + 6x} = 4;$

г) $\sqrt{x^2 + 5x + 2} = 4.$

а)

Дано иррациональное уравнение $\sqrt{x^2 - 5x} = 6$.

Для его решения необходимо избавиться от знака корня. Поскольку правая часть уравнения ($6$) является неотрицательным числом, мы можем возвести обе части уравнения в квадрат. Это преобразование будет равносильным при условии, что подкоренное выражение неотрицательно.

$(\sqrt{x^2 - 5x})^2 = 6^2$

$x^2 - 5x = 36$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 5x - 36 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{169} = 13$.

Найдем корни по формулам $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{5 + 13}{2} = \frac{18}{2} = 9$

$x_2 = \frac{5 - 13}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

Необходимо выполнить проверку, подставив найденные корни в исходное уравнение.

Проверка для $x = 9$:

$\sqrt{9^2 - 5 \cdot 9} = \sqrt{81 - 45} = \sqrt{36} = 6$. Равенство верно.

Проверка для $x = -4$:

$\sqrt{(-4)^2 - 5 \cdot (-4)} = \sqrt{16 + 20} = \sqrt{36} = 6$. Равенство верно.

Оба корня удовлетворяют исходному уравнению.

Ответ: $-4; 9$.

б)

Дано уравнение $\sqrt{x^2 - 5x + 5} = 1$.

Возведем обе части уравнения в квадрат, так как правая часть ($1$) является положительным числом.

$(\sqrt{x^2 - 5x + 5})^2 = 1^2$

$x^2 - 5x + 5 = 1$

Перенесем $1$ в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$x^2 - 5x + 4 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна $5$, а их произведение равно $4$. Отсюда корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.
Либо решим через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$

$\sqrt{D} = 3$.

$x_1 = \frac{5 + 3}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$x_2 = \frac{5 - 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Проверка. Поскольку при решении подкоренное выражение $x^2 - 5x + 5$ стало равно $1$, что является неотрицательным числом, оба найденных корня являются решениями исходного уравнения.

Проверка для $x=4$: $\sqrt{4^2 - 5 \cdot 4 + 5} = \sqrt{16 - 20 + 5} = \sqrt{1} = 1$. Верно.

Проверка для $x=1$: $\sqrt{1^2 - 5 \cdot 1 + 5} = \sqrt{1 - 5 + 5} = \sqrt{1} = 1$. Верно.

Ответ: $1; 4$.

в)

Дано уравнение $\sqrt{x^2 + 6x} = 4$.

Возводим обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x^2 + 6x})^2 = 4^2$

$x^2 + 6x = 16$

Запишем уравнение в стандартном виде:

$x^2 + 6x - 16 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-6$, а произведение $-16$. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -8$.
Либо решим через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100$

$\sqrt{D} = 10$.

$x_1 = \frac{-6 + 10}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$x_2 = \frac{-6 - 10}{2} = \frac{-16}{2} = -8$

Проверим найденные корни.

Проверка для $x = 2$:

$\sqrt{2^2 + 6 \cdot 2} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4$. Верно.

Проверка для $x = -8$:

$\sqrt{(-8)^2 + 6 \cdot (-8)} = \sqrt{64 - 48} = \sqrt{16} = 4$. Верно.

Оба корня подходят.

Ответ: $-8; 2$.

г)

Дано уравнение $\sqrt{x^2 + 5x + 2} = 4$.

Возводим обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x^2 + 5x + 2})^2 = 4^2$

$x^2 + 5x + 2 = 16$

Приведем уравнение к стандартному виду:

$x^2 + 5x - 14 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-5$, а произведение $-14$. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -7$.
Либо решим через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81$

$\sqrt{D} = 9$.

$x_1 = \frac{-5 + 9}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$x_2 = \frac{-5 - 9}{2} = \frac{-14}{2} = -7$

Проверка. Подставим корни в исходное уравнение.

Проверка для $x = 2$:

$\sqrt{2^2 + 5 \cdot 2 + 2} = \sqrt{4 + 10 + 2} = \sqrt{16} = 4$. Верно.

Проверка для $x = -7$:

$\sqrt{(-7)^2 + 5 \cdot (-7) + 2} = \sqrt{49 - 35 + 2} = \sqrt{16} = 4$. Верно.

Оба корня являются решениями.

Ответ: $-7; 2$.

128 a) $\sqrt{x} = 2 - x$;

б) $\sqrt{7 - x} = x - 1$;

в) $\sqrt{x + 2} = x$;

г) $\sqrt{12 - x} = x$.

а) $\sqrt{x} = 2 - x$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.
Арифметический квадратный корень также должен быть неотрицательным, поэтому правая часть уравнения должна быть неотрицательной: $2 - x \ge 0$, откуда $x \le 2$.
Таким образом, ОДЗ: $0 \le x \le 2$.

2. Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:
$(\sqrt{x})^2 = (2 - x)^2$
$x = 4 - 4x + x^2$

3. Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:
$x^2 - 4x - x + 4 = 0$
$x^2 - 5x + 4 = 0$

4. Решим квадратное уравнение. По теореме Виета:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = 5$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 4$
Корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = 4$.

5. Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($0 \le x \le 2$).
Корень $x_1 = 1$ удовлетворяет условию $0 \le 1 \le 2$.
Корень $x_2 = 4$ не удовлетворяет условию, так как $4 > 2$. Это посторонний корень.
Выполним проверку для $x=1$ подстановкой в исходное уравнение:
$\sqrt{1} = 2 - 1$
$1 = 1$. Верно.

Ответ: $1$

б) $\sqrt{7 - x} = x - 1$

1. Найдем ОДЗ.
Подкоренное выражение: $7 - x \ge 0 \implies x \le 7$.
Правая часть уравнения: $x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1$.
ОДЗ: $1 \le x \le 7$.

2. Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{7 - x})^2 = (x - 1)^2$
$7 - x = x^2 - 2x + 1$

3. Приведем к стандартному виду:
$x^2 - 2x + x + 1 - 7 = 0$
$x^2 - x - 6 = 0$

4. Решим квадратное уравнение. По теореме Виета:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = 1$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -6$
Корни уравнения: $x_1 = 3$, $x_2 = -2$.

5. Проверим корни на соответствие ОДЗ ($1 \le x \le 7$).
Корень $x_1 = 3$ удовлетворяет условию $1 \le 3 \le 7$.
Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет условию, так как $-2 < 1$. Это посторонний корень.
Проверка для $x=3$:
$\sqrt{7 - 3} = 3 - 1$
$\sqrt{4} = 2$
$2 = 2$. Верно.

Ответ: $3$

в) $\sqrt{x + 2} = x$

1. Найдем ОДЗ.
Подкоренное выражение: $x + 2 \ge 0 \implies x \ge -2$.
Правая часть уравнения: $x \ge 0$.
ОДЗ: $x \ge 0$.

2. Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{x + 2})^2 = x^2$
$x + 2 = x^2$

3. Приведем к стандартному виду:
$x^2 - x - 2 = 0$

4. Решим квадратное уравнение. По теореме Виета:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = 1$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -2$
Корни уравнения: $x_1 = 2$, $x_2 = -1$.

5. Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 0$).
Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет условию $2 \ge 0$.
Корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет условию, так как $-1 < 0$. Это посторонний корень.
Проверка для $x=2$:
$\sqrt{2 + 2} = 2$
$\sqrt{4} = 2$
$2 = 2$. Верно.

Ответ: $2$

г) $\sqrt{12 - x} = x$

1. Найдем ОДЗ.
Подкоренное выражение: $12 - x \ge 0 \implies x \le 12$.
Правая часть уравнения: $x \ge 0$.
ОДЗ: $0 \le x \le 12$.

2. Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{12 - x})^2 = x^2$
$12 - x = x^2$

3. Приведем к стандартному виду:
$x^2 + x - 12 = 0$

4. Решим квадратное уравнение. По теореме Виета:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -1$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -12$
Корни уравнения: $x_1 = 3$, $x_2 = -4$.

5. Проверим корни на соответствие ОДЗ ($0 \le x \le 12$).
Корень $x_1 = 3$ удовлетворяет условию $0 \le 3 \le 12$.
Корень $x_2 = -4$ не удовлетворяет условию, так как $-4 < 0$. Это посторонний корень.
Проверка для $x=3$:
$\sqrt{12 - 3} = 3$
$\sqrt{9} = 3$
$3 = 3$. Верно.

Ответ: $3$

129 a) $2\sqrt{x-1} - \sqrt{x+4} = 1;$

б) $\sqrt{x+3} - \sqrt{2x-1} = \sqrt{3x-2};$

в) $\sqrt{x+6} - 2\sqrt{x-2} = 1;$

г) $\sqrt{x+1} - \sqrt{x-2} = \sqrt{2x-5}.$

а) $2\sqrt{x-1} - \sqrt{x+4} = 1$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под корнями должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} x - 1 \ge 0 \\ x + 4 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 1 \\ x \ge -4 \end{cases}$

Пересечением этих условий является $x \ge 1$.

2. Перенесем один из корней в правую часть уравнения, чтобы избавиться от него возведением в квадрат:

$2\sqrt{x-1} = 1 + \sqrt{x+4}$

3. Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(2\sqrt{x-1})^2 = (1 + \sqrt{x+4})^2$

$4(x-1) = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{x+4} + (\sqrt{x+4})^2$

$4x - 4 = 1 + 2\sqrt{x+4} + x + 4$

4. Упростим уравнение и уединим оставшийся радикал:

$4x - 4 = x + 5 + 2\sqrt{x+4}$

$3x - 9 = 2\sqrt{x+4}$

5. Прежде чем снова возводить в квадрат, заметим, что левая часть должна быть неотрицательной, так как правая часть (арифметический корень) неотрицательна: $3x - 9 \ge 0$, что дает $3x \ge 9$, или $x \ge 3$. Объединяя это с ОДЗ ($x \ge 1$), получаем новое условие: $x \ge 3$.

6. Возведем обе части нового уравнения в квадрат:

$(3x - 9)^2 = (2\sqrt{x+4})^2$

$9x^2 - 54x + 81 = 4(x+4)$

$9x^2 - 54x + 81 = 4x + 16$

7. Решим получившееся квадратное уравнение:

$9x^2 - 58x + 65 = 0$

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-58)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 65 = 3364 - 2340 = 1024 = 32^2$.

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{58 + 32}{2 \cdot 9} = \frac{90}{18} = 5$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{58 - 32}{2 \cdot 9} = \frac{26}{18} = \frac{13}{9}$

8. Проверим корни на соответствие условию $x \ge 3$.

Корень $x_1 = 5$ удовлетворяет условию ($5 \ge 3$).

Корень $x_2 = \frac{13}{9} = 1\frac{4}{9}$ не удовлетворяет условию ($1\frac{4}{9} < 3$), следовательно, это посторонний корень.

9. Выполним проверку для $x=5$ в исходном уравнении:

$2\sqrt{5-1} - \sqrt{5+4} = 2\sqrt{4} - \sqrt{9} = 2 \cdot 2 - 3 = 4 - 3 = 1$.

$1=1$. Решение верно.

Ответ: 5.

б) $\sqrt{x+3} - \sqrt{2x-1} = \sqrt{3x-2}$

1. Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} x + 3 \ge 0 \\ 2x - 1 \ge 0 \\ 3x - 2 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -3 \\ x \ge 1/2 \\ x \ge 2/3 \end{cases}$

Пересечением этих условий является $x \ge 2/3$.

2. Также левая часть уравнения должна быть неотрицательной, так как она равна арифметическому корню: $\sqrt{x+3} - \sqrt{2x-1} \ge 0 \implies \sqrt{x+3} \ge \sqrt{2x-1}$. Возведя в квадрат обе части неравенства, получаем $x+3 \ge 2x-1 \implies 4 \ge x$. Таким образом, ОДЗ уточняется до $2/3 \le x \le 4$.

3. Возведем обе части исходного уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x+3} - \sqrt{2x-1})^2 = (\sqrt{3x-2})^2$

$(x+3) - 2\sqrt{(x+3)(2x-1)} + (2x-1) = 3x-2$

4. Упростим уравнение:

$3x + 2 - 2\sqrt{2x^2 + 6x - x - 3} = 3x - 2$

$3x + 2 - 2\sqrt{2x^2 + 5x - 3} = 3x - 2$

$-2\sqrt{2x^2 + 5x - 3} = -4$

$\sqrt{2x^2 + 5x - 3} = 2$

5. Снова возведем обе части в квадрат:

$2x^2 + 5x - 3 = 4$

$2x^2 + 5x - 7 = 0$

6. Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 25 + 56 = 81 = 9^2$.

$x_1 = \frac{-5 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$

$x_2 = \frac{-5 - 9}{2 \cdot 2} = \frac{-14}{4} = -3.5$

7. Проверим корни на соответствие ОДЗ ($2/3 \le x \le 4$).

Корень $x_1=1$ удовлетворяет ОДЗ.

Корень $x_2=-3.5$ не удовлетворяет ОДЗ.

8. Проверка для $x=1$ в исходном уравнении: $\sqrt{1+3} - \sqrt{2 \cdot 1 - 1} = \sqrt{4} - \sqrt{1} = 2-1=1$. Правая часть: $\sqrt{3 \cdot 1 - 2} = \sqrt{1}=1$. $1=1$. Решение верно.

Ответ: 1.

в) $\sqrt{x+6} - 2\sqrt{x-2} = 1$

1. Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} x + 6 \ge 0 \\ x - 2 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -6 \\ x \ge 2 \end{cases}$

Пересечением является $x \ge 2$.

2. Перенесем член с корнем в правую часть:

$\sqrt{x+6} = 1 + 2\sqrt{x-2}$

3. Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{x+6})^2 = (1 + 2\sqrt{x-2})^2$

$x+6 = 1 + 4\sqrt{x-2} + 4(x-2)$

$x+6 = 1 + 4\sqrt{x-2} + 4x - 8$

4. Упростим и уединим радикал:

$x+6 = 4x - 7 + 4\sqrt{x-2}$

$13 - 3x = 4\sqrt{x-2}$

5. Левая часть должна быть неотрицательной: $13 - 3x \ge 0 \implies 13 \ge 3x \implies x \le 13/3$. С учетом ОДЗ ($x \ge 2$), получаем $2 \le x \le 13/3$.

6. Возведем обе части в квадрат:

$(13 - 3x)^2 = (4\sqrt{x-2})^2$

$169 - 78x + 9x^2 = 16(x-2)$

$9x^2 - 78x + 169 = 16x - 32$

7. Решим квадратное уравнение:

$9x^2 - 94x + 201 = 0$

Дискриминант $D = (-94)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 201 = 8836 - 7236 = 1600 = 40^2$.

$x_1 = \frac{94 + 40}{18} = \frac{134}{18} = \frac{67}{9}$

$x_2 = \frac{94 - 40}{18} = \frac{54}{18} = 3$

8. Проверим корни на соответствие условию $2 \le x \le 13/3$. $13/3 \approx 4.33$.

Корень $x_1 = 67/9 \approx 7.44$ не удовлетворяет условию, так как $7.44 > 4.33$.

Корень $x_2=3$ удовлетворяет условию ($2 \le 3 \le 13/3$).

9. Проверка для $x=3$: $\sqrt{3+6} - 2\sqrt{3-2} = \sqrt{9} - 2\sqrt{1} = 3 - 2 = 1$. $1=1$. Решение верно.

Ответ: 3.

г) $\sqrt{x+1} - \sqrt{x-2} = \sqrt{2x-5}$

1. Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} x + 1 \ge 0 \\ x - 2 \ge 0 \\ 2x - 5 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -1 \\ x \ge 2 \\ x \ge 2.5 \end{cases}$

Пересечением является $x \ge 2.5$.

2. Левая часть $\sqrt{x+1} - \sqrt{x-2}$ должна быть неотрицательной. $\sqrt{x+1} \ge \sqrt{x-2} \implies x+1 \ge x-2 \implies 1 \ge -2$. Это верно для всех $x$ из ОДЗ.

3. Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x+1} - \sqrt{x-2})^2 = (\sqrt{2x-5})^2$

$(x+1) - 2\sqrt{(x+1)(x-2)} + (x-2) = 2x-5$

4. Упростим выражение:

$2x - 1 - 2\sqrt{x^2 - x - 2} = 2x - 5$

$-1 - 2\sqrt{x^2 - x - 2} = -5$

$-2\sqrt{x^2 - x - 2} = -4$

$\sqrt{x^2 - x - 2} = 2$

5. Снова возведем в квадрат:

$x^2 - x - 2 = 4$

$x^2 - x - 6 = 0$

6. Решим квадратное уравнение по теореме Виета: $x_1+x_2=1$, $x_1x_2=-6$. Корни $x_1=3$ и $x_2=-2$.

7. Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 2.5$).

Корень $x_1=3$ удовлетворяет ОДЗ.

Корень $x_2=-2$ не удовлетворяет ОДЗ.

8. Проверка для $x=3$: $\sqrt{3+1} - \sqrt{3-2} = \sqrt{4} - \sqrt{1} = 2 - 1 = 1$. Правая часть: $\sqrt{2 \cdot 3 - 5} = \sqrt{1} = 1$. $1=1$. Решение верно.

Ответ: 3.