Номер 126, страница 235, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 126, страница 235.

Условие.

Решите иррациональное уравнение:

126 a) $ \sqrt{x+4} = 3; $

б) $ \sqrt{\frac{x+7}{x+2}} = 3; $

в) $ \sqrt{3x-1} = 2\sqrt{2}; $

г) $ \sqrt{\frac{2x-8}{6-x}} = 2. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) $\sqrt{x + 4} = 3$

Область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения определяется условием неотрицательности подкоренного выражения:

$x + 4 \ge 0$

$x \ge -4$

Для решения уравнения возведем обе его части в квадрат:

$(\sqrt{x + 4})^2 = 3^2$

$x + 4 = 9$

Теперь найдем $x$:

$x = 9 - 4$

$x = 5$

Найденный корень $x=5$ удовлетворяет условию ОДЗ ($5 \ge -4$), следовательно, является решением уравнения.

Проверка: $\sqrt{5 + 4} = \sqrt{9} = 3$. Верно.

Ответ: $5$

б) $\sqrt{\frac{x + 7}{x + 2}} = 3$

Определим ОДЗ. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатель не должен равняться нулю:

$\begin{cases} \frac{x + 7}{x + 2} \ge 0 \\ x + 2 \neq 0 \end{cases}$

Решая неравенство методом интервалов, находим, что ОДЗ: $x \in (-\infty, -7] \cup (-2, +\infty)$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{\frac{x + 7}{x + 2}})^2 = 3^2$

$\frac{x + 7}{x + 2} = 9$

Умножим обе части на $(x + 2)$, при условии, что $x \neq -2$:

$x + 7 = 9(x + 2)$

$x + 7 = 9x + 18$

$9x - x = 7 - 18$

$8x = -11$

$x = -\frac{11}{8}$

Значение $x = -11/8 = -1.375$ входит в ОДЗ, так как $-1.375 \in (-2, +\infty)$.

Проверка: $\sqrt{\frac{-11/8 + 7}{-11/8 + 2}} = \sqrt{\frac{45/8}{5/8}} = \sqrt{9} = 3$. Верно.

Ответ: $-\frac{11}{8}$

в) $\sqrt{3x - 1} = 2\sqrt{2}$

Найдем ОДЗ из условия неотрицательности подкоренного выражения:

$3x - 1 \ge 0$

$3x \ge 1$

$x \ge \frac{1}{3}$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{3x - 1})^2 = (2\sqrt{2})^2$

$3x - 1 = 4 \cdot 2$

$3x - 1 = 8$

$3x = 9$

$x = 3$

Корень $x=3$ удовлетворяет условию ОДЗ ($3 \ge 1/3$), значит, является решением.

Проверка: $\sqrt{3 \cdot 3 - 1} = \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$. Верно.

Ответ: $3$

г) $\sqrt{\frac{2x - 8}{6 - x}} = 2$

Определим ОДЗ:

$\begin{cases} \frac{2x - 8}{6 - x} \ge 0 \\ 6 - x \neq 0 \end{cases}$

Решая неравенство методом интервалов, получаем ОДЗ: $x \in [4, 6)$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{\frac{2x - 8}{6 - x}})^2 = 2^2$

$\frac{2x - 8}{6 - x} = 4$

Умножим обе части на $(6 - x)$, при условии, что $x \neq 6$:

$2x - 8 = 4(6 - x)$

$2x - 8 = 24 - 4x$

$2x + 4x = 24 + 8$

$6x = 32$

$x = \frac{32}{6} = \frac{16}{3}$

Значение $x = 16/3 \approx 5.33$ входит в ОДЗ, так как $4 \le 16/3 < 6$.

Проверка: $\sqrt{\frac{2 \cdot (16/3) - 8}{6 - 16/3}} = \sqrt{\frac{32/3 - 24/3}{18/3 - 16/3}} = \sqrt{\frac{8/3}{2/3}} = \sqrt{4} = 2$. Верно.

Ответ: $\frac{16}{3}$