Номер 122, страница 235, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 122, страница 235.

Условие.

Вычислите:

122 а) $2^{-3} \cdot 2^5 \cdot (2^{-2})^4;$

б) $\frac{3^3 \cdot 9^{-3}}{(3^4)^{-2}};$

в) $(5^{-1})^4 \cdot 5^9 \cdot 5^{-2};$

г) $\frac{(7^{-2})^3 \cdot 7^{-7}}{49^{-6}}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) $2^{-3} \cdot 2^5 \cdot (2^{-2})^4$
Для решения данного примера воспользуемся свойствами степеней: при возведении степени в степень показатели перемножаются $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, а при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
1. Упростим выражение в скобках: $(2^{-2})^4 = 2^{-2 \cdot 4} = 2^{-8}$.
2. Теперь исходное выражение примет вид: $2^{-3} \cdot 2^5 \cdot 2^{-8}$.
3. Сложим показатели степеней: $2^{-3+5-8} = 2^{2-8} = 2^{-6}$.
4. Вычислим итоговое значение: $2^{-6} = \frac{1}{2^6} = \frac{1}{64}$.
Ответ: $\frac{1}{64}$.

б) $\frac{3^3 \cdot 9^{-3}}{(3^4)^{-2}}$
Для решения приведем все степени к одному основанию — 3. Также используем свойство деления степеней с одинаковым основанием: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.
1. Представим число 9 как степень числа 3: $9 = 3^2$. Тогда $9^{-3} = (3^2)^{-3} = 3^{2 \cdot (-3)} = 3^{-6}$.
2. Упростим числитель дроби: $3^3 \cdot 3^{-6} = 3^{3+(-6)} = 3^{-3}$.
3. Упростим знаменатель дроби: $(3^4)^{-2} = 3^{4 \cdot (-2)} = 3^{-8}$.
4. Теперь вся дробь имеет вид: $\frac{3^{-3}}{3^{-8}}$.
5. Выполним деление, вычитая из показателя числителя показатель знаменателя: $3^{-3 - (-8)} = 3^{-3+8} = 3^5$.
6. Вычислим результат: $3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243$.
Ответ: $243$.

в) $(5^{-1})^4 \cdot 5^9 \cdot 5^{-2}$
Решение аналогично пункту а).
1. Упростим первый множитель: $(5^{-1})^4 = 5^{-1 \cdot 4} = 5^{-4}$.
2. Выражение примет вид: $5^{-4} \cdot 5^9 \cdot 5^{-2}$.
3. Сложим показатели степеней с основанием 5: $5^{-4+9-2} = 5^{5-2} = 5^3$.
4. Вычислим результат: $5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$.
Ответ: $125$.

г) $\frac{(7^{-2})^3 \cdot 7^{-7}}{49^{-6}}$
Приведем все степени к основанию 7.
1. Упростим числитель: $(7^{-2})^3 \cdot 7^{-7} = 7^{-2 \cdot 3} \cdot 7^{-7} = 7^{-6} \cdot 7^{-7} = 7^{-6+(-7)} = 7^{-13}$.
2. Упростим знаменатель, представив 49 как $7^2$: $49^{-6} = (7^2)^{-6} = 7^{2 \cdot (-6)} = 7^{-12}$.
3. Теперь дробь выглядит так: $\frac{7^{-13}}{7^{-12}}$.
4. Выполним деление степеней: $7^{-13 - (-12)} = 7^{-13+12} = 7^{-1}$.
5. Вычислим результат: $7^{-1} = \frac{1}{7}$.
Ответ: $\frac{1}{7}$.