Страница 226, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

50 Решите графически уравнение:

a) $|x - 2| - 4 = 0;$

б) $|x + 3| = 5;

в) $3 - |x + 1| = 0;$

г) $|x - 4| = 3.$

Для решения уравнений графическим методом представим каждое уравнение в виде $f(x) = g(x)$. Решениями уравнения будут абсциссы (координаты $x$) точек пересечения графиков функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$.

а) $|x-2| - 4 = 0$

Сначала преобразуем уравнение, чтобы разделить функции. Перенесем константу в правую часть: $|x-2| = 4$.
Теперь построим в одной системе координат графики двух функций: $y_1 = |x-2|$ и $y_2 = 4$.
1. График функции $y_1 = |x-2|$ представляет собой график модуля $y = |x|$, смещенный на 2 единицы вправо по оси абсцисс. Вершина графика (точка "излома") находится в точке $(2, 0)$.
2. График функции $y_2 = 4$ — это горизонтальная прямая, проходящая через значение 4 на оси ординат.
Решениями уравнения являются абсциссы точек пересечения этих двух графиков. Чтобы найти их, решим два уравнения, которые получаются при раскрытии модуля:
1) $x - 2 = 4 \implies x = 6$.
2) $-(x - 2) = 4 \implies -x + 2 = 4 \implies -x = 2 \implies x = -2$.
Графики пересекаются в точках с абсциссами -2 и 6.
Ответ: $x_1 = -2, x_2 = 6$.

б) $|x+3| = 5$

Уравнение уже представлено в удобном для графического решения виде. Построим графики функций $y_1 = |x+3|$ и $y_2 = 5$.
1. График функции $y_1 = |x+3|$ — это график $y = |x|$, смещенный на 3 единицы влево по оси абсцисс. Вершина графика находится в точке $(-3, 0)$.
2. График функции $y_2 = 5$ — это горизонтальная прямая, проходящая через точку $(0, 5)$.
Найдем абсциссы точек пересечения графиков, решив уравнения:
1) $x + 3 = 5 \implies x = 2$.
2) $-(x + 3) = 5 \implies -x - 3 = 5 \implies -x = 8 \implies x = -8$.
Графики пересекаются в точках с абсциссами -8 и 2.
Ответ: $x_1 = -8, x_2 = 2$.

в) $3 - |x+1| = 0$

Преобразуем уравнение: $|x+1| = 3$.
Построим графики функций $y_1 = |x+1|$ и $y_2 = 3$.
1. График функции $y_1 = |x+1|$ — это график $y = |x|$, смещенный на 1 единицу влево по оси абсцисс. Вершина находится в точке $(-1, 0)$.
2. График функции $y_2 = 3$ — это горизонтальная прямая, проходящая через точку $(0, 3)$.
Найдем абсциссы точек пересечения:
1) $x + 1 = 3 \implies x = 2$.
2) $-(x + 1) = 3 \implies -x - 1 = 3 \implies -x = 4 \implies x = -4$.
Графики пересекаются в точках с абсциссами -4 и 2.
Ответ: $x_1 = -4, x_2 = 2$.

г) $|x-4| = 3$

Уравнение уже в удобном виде. Построим графики функций $y_1 = |x-4|$ и $y_2 = 3$.
1. График функции $y_1 = |x-4|$ — это график $y = |x|$, смещенный на 4 единицы вправо по оси абсцисс. Вершина находится в точке $(4, 0)$.
2. График функции $y_2 = 3$ — это горизонтальная прямая, проходящая через точку $(0, 3)$.
Найдем абсциссы точек пересечения:
1) $x - 4 = 3 \implies x = 7$.
2) $-(x - 4) = 3 \implies -x + 4 = 3 \implies -x = -1 \implies x = 1$.
Графики пересекаются в точках с абсциссами 1 и 7.
Ответ: $x_1 = 1, x_2 = 7$.

51 Решите графически систему уравнений:

а) $\begin{cases} y = 2x^2 - 8x + 3, \\ y = -|x - 2| - 2; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y = \frac{8}{x + 2}, \\ y = |x + 4| - 4; \end{cases}$

в) $\begin{cases} y = 0,5x - 1, \\ y = -|x - 3| + 2; \end{cases}$

г) $\begin{cases} y = \sqrt{x - 1}, \\ y = |x| - 1. \end{cases}$

а) $\begin{cases} y = 2x^2 - 8x + 3 \\ y = -|x - 2| - 2 \end{cases}$

Для решения системы уравнений графически построим графики каждой функции в одной системе координат. Точки пересечения графиков будут являться решениями системы.

1. Построим график функции $y = 2x^2 - 8x + 3$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($2 > 0$).
Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-8}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$.
$y_0 = 2(2)^2 - 8(2) + 3 = 8 - 16 + 3 = -5$.
Вершина параболы находится в точке $(2, -5)$.
Найдем несколько дополнительных точек для построения графика:
При $x = 1$, $y = 2(1)^2 - 8(1) + 3 = -3$. Точка $(1, -3)$.
При $x = 3$, $y = 2(3)^2 - 8(3) + 3 = 18 - 24 + 3 = -3$. Точка $(3, -3)$.
При $x = 0$, $y = 3$. Точка $(0, 3)$.

2. Построим график функции $y = -|x - 2| - 2$. Это график модуля $y = |x|$, преобразованный следующим образом:
- сдвиг на 2 единицы вправо по оси Ox (график $y = |x - 2|$);
- отражение относительно оси Ox (график $y = -|x - 2|$);
- сдвиг на 2 единицы вниз по оси Oy.
Вершина графика (точка излома) находится в точке $(2, -2)$. Ветви направлены вниз.
Найдем несколько дополнительных точек:
При $x = 1$, $y = -|1 - 2| - 2 = -1 - 2 = -3$. Точка $(1, -3)$.
При $x = 3$, $y = -|3 - 2| - 2 = -1 - 2 = -3$. Точка $(3, -3)$.
При $x = 0$, $y = -|0 - 2| - 2 = -2 - 2 = -4$. Точка $(0, -4)$.

3. Построим оба графика в одной системе координат. Парабола с вершиной в $(2, -5)$ и график модуля с вершиной в $(2, -2)$ пересекаются в двух точках.
Из найденных нами координат видно, что точки пересечения — это $(1, -3)$ и $(3, -3)$.

Ответ: $(1, -3), (3, -3)$.

б) $\begin{cases} y = \frac{8}{x + 2} \\ y = |x + 4| - 4 \end{cases}$

1. Построим график функции $y = \frac{8}{x + 2}$. Это гипербола, полученная сдвигом графика $y = \frac{8}{x}$ на 2 единицы влево по оси Ox.
Вертикальная асимптота: $x = -2$.
Горизонтальная асимптота: $y = 0$.
Найдем несколько точек:
При $x = 0$, $y = \frac{8}{2} = 4$. Точка $(0, 4)$.
При $x = 2$, $y = \frac{8}{4} = 2$. Точка $(2, 2)$.
При $x = -4$, $y = \frac{8}{-2} = -4$. Точка $(-4, -4)$.
При $x = -6$, $y = \frac{8}{-4} = -2$. Точка $(-6, -2)$.

2. Построим график функции $y = |x + 4| - 4$. Это график модуля $y = |x|$, сдвинутый на 4 единицы влево по оси Ox и на 4 единицы вниз по оси Oy.
Вершина графика находится в точке $(-4, -4)$. Ветви направлены вверх.
Найдем несколько точек:
При $x = 0$, $y = |4| - 4 = 0$. Точка $(0, 0)$.
При $x = 2$, $y = |6| - 4 = 2$. Точка $(2, 2)$.
При $x = -6$, $y = |-2| - 4 = 2 - 4 = -2$. Точка $(-6, -2)$.
При $x = -8$, $y = |-4| - 4 = 0$. Точка $(-8, 0)$.

3. Построим оба графика. Гипербола с асимптотами $x = -2, y = 0$ и график модуля с вершиной в $(-4, -4)$ пересекаются в трех точках.
Из вычисленных координат видно, что это точки $(-6, -2)$, $(-4, -4)$ и $(2, 2)$.

Ответ: $(-6, -2), (-4, -4), (2, 2)$.

в) $\begin{cases} y = 0,5x - 1 \\ y = -|x - 3| + 2 \end{cases}$

1. Построим график функции $y = 0,5x - 1$. Это прямая линия.
Найдем две точки для построения:
При $x = 0$, $y = -1$. Точка $(0, -1)$.
При $x = 4$, $y = 0,5 \cdot 4 - 1 = 2 - 1 = 1$. Точка $(4, 1)$.

2. Построим график функции $y = -|x - 3| + 2$. Это график модуля $y = |x|$, сдвинутый на 3 единицы вправо, отраженный относительно оси Ox и сдвинутый на 2 единицы вверх.
Вершина графика находится в точке $(3, 2)$. Ветви направлены вниз.
Найдем несколько точек:
При $x = 1$, $y = -|1 - 3| + 2 = -2 + 2 = 0$. Точка $(1, 0)$.
При $x = 5$, $y = -|5 - 3| + 2 = -2 + 2 = 0$. Точка $(5, 0)$.
При $x = 4$, $y = -|4 - 3| + 2 = -1 + 2 = 1$. Точка $(4, 1)$.
При $x = 0$, $y = -|0 - 3| + 2 = -3 + 2 = -1$. Точка $(0, -1)$.

3. Построим оба графика. Прямая и график модуля пересекаются в двух точках.
Из вычисленных координат видно, что это точки $(0, -1)$ и $(4, 1)$.

Ответ: $(0, -1), (4, 1)$.

г) $\begin{cases} y = \sqrt{x - 1} \\ y = |x| - 1 \end{cases}$

1. Построим график функции $y = \sqrt{x - 1}$. Это график функции $y = \sqrt{x}$, сдвинутый на 1 единицу вправо по оси Ox.
Область определения: $x - 1 \ge 0$, то есть $x \ge 1$.
Начальная точка графика: $(1, 0)$.
Найдем несколько точек:
При $x = 2$, $y = \sqrt{2 - 1} = 1$. Точка $(2, 1)$.
При $x = 5$, $y = \sqrt{5 - 1} = 2$. Точка $(5, 2)$.

2. Построим график функции $y = |x| - 1$. Это график модуля $y = |x|$, сдвинутый на 1 единицу вниз по оси Oy.
Вершина графика находится в точке $(0, -1)$. Ветви направлены вверх.
Найдем несколько точек:
При $x = 1$, $y = |1| - 1 = 0$. Точка $(1, 0)$.
При $x = -1$, $y = |-1| - 1 = 0$. Точка $(-1, 0)$.
При $x = 2$, $y = |2| - 1 = 1$. Точка $(2, 1)$.

3. Построим оба графика. График корня, начинающийся в точке $(1,0)$, и график модуля с вершиной в $(0,-1)$ пересекаются в двух точках.
Из вычисленных координат видно, что это точки $(1, 0)$ и $(2, 1)$.

Ответ: $(1, 0), (2, 1)$.

52 Решите графически неравенство:

а) $|x - 1| - 2 \ge 0$;

б) $|x + 1| < 1$;

в) $4 - |x - 2| > 0$;

г) $|x - 4| \ge 2$.

а) $|x - 1| - 2 \ge 0$

Для графического решения преобразуем неравенство к виду $|x - 1| \ge 2$.

Построим в одной системе координат графики функций $y = |x - 1|$ и $y = 2$.

График функции $y = |x - 1|$ получается из графика $y = |x|$ сдвигом на 1 единицу вправо вдоль оси Ox. Это "галочка" с вершиной в точке $(1, 0)$.

График функции $y = 2$ — это прямая, параллельная оси Ox и проходящая через точку $(0, 2)$.

Найдем точки пересечения графиков, решив уравнение $|x - 1| = 2$.

1) $x - 1 = 2 \implies x = 3$.
2) $x - 1 = -2 \implies x = -1$.

Точки пересечения: $(-1, 2)$ и $(3, 2)$.

Решением неравенства $|x - 1| \ge 2$ являются те значения $x$, при которых график функции $y = |x - 1|$ находится не ниже (то есть выше или на том же уровне) графика $y = 2$. Глядя на график, видим, что это происходит при $x \le -1$ и при $x \ge 3$.

Ответ: $x \in (-\infty, -1] \cup [3, \infty)$.

б) $|x + 1| < 1$

Для графического решения рассмотрим два графика: $y = |x + 1|$ и $y = 1$. Нам нужно найти значения $x$, при которых график первой функции лежит строго ниже графика второй.

График функции $y = |x + 1|$ получается из графика $y = |x|$ сдвигом на 1 единицу влево вдоль оси Ox. Вершина "галочки" находится в точке $(-1, 0)$.

График функции $y = 1$ — это прямая, параллельная оси Ox, проходящая через точку $(0, 1)$.

Найдем точки пересечения графиков, решив уравнение $|x + 1| = 1$.

1) $x + 1 = 1 \implies x = 0$.
2) $x + 1 = -1 \implies x = -2$.

Точки пересечения: $(-2, 1)$ и $(0, 1)$.

График $y = |x + 1|$ находится ниже прямой $y = 1$ на интервале между точками пересечения, то есть при $-2 < x < 0$.

Ответ: $x \in (-2, 0)$.

в) $4 - |x - 2| > 0$

Преобразуем неравенство к виду $|x - 2| < 4$.

Построим графики функций $y = |x - 2|$ и $y = 4$. Решением будут те значения $x$, для которых график $y = |x - 2|$ находится строго ниже графика $y = 4$.

График функции $y = |x - 2|$ получается из графика $y = |x|$ сдвигом на 2 единицы вправо вдоль оси Ox. Вершина графика в точке $(2, 0)$.

График функции $y = 4$ — это прямая, параллельная оси Ox, проходящая через точку $(0, 4)$.

Найдем точки пересечения, решив уравнение $|x - 2| = 4$.

1) $x - 2 = 4 \implies x = 6$.
2) $x - 2 = -4 \implies x = -2$.

Точки пересечения: $(-2, 4)$ и $(6, 4)$.

График $y = |x - 2|$ лежит ниже прямой $y = 4$ на интервале между точками пересечения, то есть при $-2 < x < 6$.

Ответ: $x \in (-2, 6)$.

г) $|x - 4| \ge 2$

Для решения этого неравенства графически, построим графики функций $y = |x - 4|$ и $y = 2$.

График $y = |x - 4|$ — это график $y = |x|$, сдвинутый на 4 единицы вправо по оси Ox. Вершина находится в точке $(4, 0)$.

График $y = 2$ — это горизонтальная прямая на уровне 2.

Найдем точки пересечения графиков, решив уравнение $|x - 4| = 2$.

1) $x - 4 = 2 \implies x = 6$.
2) $x - 4 = -2 \implies x = 2$.

Точки пересечения: $(2, 2)$ и $(6, 2)$.

Неравенство $|x - 4| \ge 2$ выполняется там, где график $y = |x - 4|$ лежит не ниже прямой $y = 2$. Это происходит на двух участках: левее точки $x = 2$ и правее точки $x = 6$, включая сами точки.

Ответ: $x \in (-\infty, 2] \cup [6, \infty)$.

53 Постройте график функции:

а) $y = \sqrt{x^2}$;

б) $y = \sqrt{x^2 + 10x + 25}$;

в) $y = \sqrt{(x - 3)^2}$;

г) $y = -\sqrt{x^2 - 8x + 16}$.

а) Исходная функция: $y = \sqrt{x^2}$.

Для упрощения этой функции воспользуемся основным свойством арифметического квадратного корня: $\sqrt{a^2} = |a|$.

Применив это свойство к нашей функции, получаем: $y = |x|$.

График функции $y = |x|$ (модуль $x$) состоит из двух лучей, выходящих из начала координат:
- луч $y = x$ при $x \ge 0$ (биссектриса I координатной четверти);
- луч $y = -x$ при $x < 0$ (биссектриса II координатной четверти).
Вершина графика находится в точке $(0, 0)$.

Ответ: $y = |x|$.

б) Исходная функция: $y = \sqrt{x^2 + 10x + 25}$.

Выражение под корнем $x^2 + 10x + 25$ является полным квадратом. Свернем его по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$x^2 + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = (x + 5)^2$.

Таким образом, функция преобразуется к виду: $y = \sqrt{(x + 5)^2}$.

Снова используем тождество $\sqrt{a^2} = |a|$, где в качестве $a$ выступает выражение $x+5$:

$y = |x + 5|$.

График функции $y = |x + 5|$ можно получить из графика $y = |x|$ путем сдвига вдоль оси абсцисс (Ox) на 5 единиц влево. Вершина графика будет находиться в точке, где выражение под модулем равно нулю, то есть $x+5=0 \Rightarrow x=-5$. Координаты вершины: $(-5, 0)$.

Ответ: $y = |x + 5|$.

в) Исходная функция: $y = \sqrt{(x - 3)^2}$.

Применим тождество $\sqrt{a^2} = |a|$. В данном случае $a = x-3$.

Получаем функцию: $y = |x - 3|$.

График функции $y = |x - 3|$ получается из графика $y = |x|$ сдвигом вдоль оси абсцисс (Ox) на 3 единицы вправо. Вершина графика находится в точке, где $x-3=0 \Rightarrow x=3$. Координаты вершины: $(3, 0)$.

Ответ: $y = |x - 3|$.

г) Исходная функция: $y = -\sqrt{x^2 - 8x + 16}$.

Рассмотрим подкоренное выражение $x^2 - 8x + 16$. Это полный квадрат разности, который можно свернуть по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$x^2 - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = (x - 4)^2$.

Подставим свернутое выражение обратно в функцию:

$y = -\sqrt{(x - 4)^2}$.

Упростим, используя $\sqrt{(x - 4)^2} = |x - 4|$:

$y = -|x - 4|$.

График этой функции можно построить, выполнив преобразования графика $y = |x|$:
1. Сдвинуть график $y = |x|$ на 4 единицы вправо вдоль оси Ox, чтобы получить график $y = |x - 4|$.
2. Отразить полученный график $y = |x - 4|$ симметрично относительно оси Ox из-за знака "минус" перед модулем.
В результате получится график, представляющий собой перевернутую "галочку", ветви которой направлены вниз. Вершина графика находится в точке $(4, 0)$.

Ответ: $y = -|x - 4|$.

54 a) Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = 3x^2 - 2x + 5$. Найдите $f(0)$, $f(-3)$, $f(2x)$, $f(x + 2)$.

б) Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = -4x^2 + 3x - 1$. Найдите $f(1)$, $f(-2)$, $f(3x)$, $f(x - 1)$.

а) Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = 3x^2 - 2x + 5$. Для нахождения значений функции необходимо подставить соответствующий аргумент вместо $x$ в ее определение.

Найдем $f(0)$. Подставляем $x = 0$ в выражение для функции:

$f(0) = 3 \cdot (0)^2 - 2 \cdot 0 + 5 = 3 \cdot 0 - 0 + 5 = 0 - 0 + 5 = 5$.

Ответ: $f(0) = 5$.

Найдем $f(-3)$. Подставляем $x = -3$:

$f(-3) = 3 \cdot (-3)^2 - 2 \cdot (-3) + 5 = 3 \cdot 9 + 6 + 5 = 27 + 6 + 5 = 38$.

Ответ: $f(-3) = 38$.

Найдем $f(2x)$. Подставляем выражение $2x$ вместо $x$:

$f(2x) = 3(2x)^2 - 2(2x) + 5 = 3(4x^2) - 4x + 5 = 12x^2 - 4x + 5$.

Ответ: $f(2x) = 12x^2 - 4x + 5$.

Найдем $f(x+2)$. Подставляем выражение $(x+2)$ вместо $x$, раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

$f(x+2) = 3(x+2)^2 - 2(x+2) + 5 = 3(x^2 + 4x + 4) - 2(x+2) + 5 = 3x^2 + 12x + 12 - 2x - 4 + 5 = 3x^2 + (12x - 2x) + (12 - 4 + 5) = 3x^2 + 10x + 13$.

Ответ: $f(x+2) = 3x^2 + 10x + 13$.

б) Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = -4x^2 + 3x - 1$.

Найдем $f(1)$. Подставляем $x = 1$:

$f(1) = -4 \cdot (1)^2 + 3 \cdot 1 - 1 = -4 \cdot 1 + 3 - 1 = -4 + 3 - 1 = -2$.

Ответ: $f(1) = -2$.

Найдем $f(-2)$. Подставляем $x = -2$:

$f(-2) = -4 \cdot (-2)^2 + 3 \cdot (-2) - 1 = -4 \cdot 4 - 6 - 1 = -16 - 6 - 1 = -23$.

Ответ: $f(-2) = -23$.

Найдем $f(3x)$. Подставляем выражение $3x$ вместо $x$:

$f(3x) = -4(3x)^2 + 3(3x) - 1 = -4(9x^2) + 9x - 1 = -36x^2 + 9x - 1$.

Ответ: $f(3x) = -36x^2 + 9x - 1$.

Найдем $f(x-1)$. Подставляем выражение $(x-1)$ вместо $x$, раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

$f(x-1) = -4(x-1)^2 + 3(x-1) - 1 = -4(x^2 - 2x + 1) + 3(x-1) - 1 = -4x^2 + 8x - 4 + 3x - 3 - 1 = -4x^2 + (8x + 3x) + (-4 - 3 - 1) = -4x^2 + 11x - 8$.

Ответ: $f(x-1) = -4x^2 + 11x - 8$.

55. a) Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \sqrt{x - 1}$. Найдите $f(1), f(8), f(0.5x), f(x^2 + 1)$.

б) Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \sqrt{x + 4}$. Найдите $f(0), f(-2), f(4x), f(x^2 + 4x)$.

а) Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \sqrt{x - 1}$. Для нахождения значений функции необходимо подставить соответствующее значение или выражение для аргумента вместо $x$ в исходную формулу.

Найдём $f(1)$. Подставляем $x=1$:
$f(1) = \sqrt{1 - 1} = \sqrt{0} = 0$.

Найдём $f(8)$. Подставляем $x=8$:
$f(8) = \sqrt{8 - 1} = \sqrt{7}$.

Найдём $f(0,5x)$. Подставляем $0,5x$ вместо $x$:
$f(0,5x) = \sqrt{0,5x - 1}$.

Найдём $f(x^2 + 1)$. Подставляем $x^2 + 1$ вместо $x$:
$f(x^2 + 1) = \sqrt{(x^2 + 1) - 1} = \sqrt{x^2} = |x|$.

Ответ: $f(1) = 0$; $f(8) = \sqrt{7}$; $f(0,5x) = \sqrt{0,5x - 1}$; $f(x^2 + 1) = |x|$.

б) Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \sqrt{x + 4}$. Аналогично, подставляем аргументы в формулу функции.

Найдём $f(0)$. Подставляем $x=0$:
$f(0) = \sqrt{0 + 4} = \sqrt{4} = 2$.

Найдём $f(-2)$. Подставляем $x=-2$:
$f(-2) = \sqrt{-2 + 4} = \sqrt{2}$.

Найдём $f(4x)$. Подставляем $4x$ вместо $x$:
$f(4x) = \sqrt{4x + 4} = \sqrt{4(x + 1)} = 2\sqrt{x + 1}$.

Найдём $f(x^2 + 4x)$. Подставляем $x^2 + 4x$ вместо $x$:
$f(x^2 + 4x) = \sqrt{(x^2 + 4x) + 4} = \sqrt{x^2 + 4x + 4} = \sqrt{(x + 2)^2} = |x + 2|$.

Ответ: $f(0) = 2$; $f(-2) = \sqrt{2}$; $f(4x) = 2\sqrt{x + 1}$; $f(x^2 + 4x) = |x + 2|$.

56. a) Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = x^2 - 3x + 2$. При каком значении $x$ выполняется равенство $f(x + 2) = f(x - 1)$?

б) Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = x^2 - 5x + 6$. При каком значении $x$ выполняется равенство $f(x + 1) = f(x - 3)$?

а) Для нахождения значения $x$, при котором выполняется равенство $f(x + 2) = f(x - 1)$, где $f(x) = x^2 - 3x + 2$, необходимо подставить в функцию вместо $x$ выражения $(x + 2)$ и $(x - 1)$, а затем приравнять полученные результаты.

1. Найдем выражение для $f(x + 2)$:
$f(x + 2) = (x + 2)^2 - 3(x + 2) + 2$
Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ и распределительный закон:
$f(x + 2) = (x^2 + 4x + 4) - (3x + 6) + 2 = x^2 + 4x + 4 - 3x - 6 + 2$
Приведем подобные слагаемые:
$f(x + 2) = x^2 + x$.

2. Найдем выражение для $f(x - 1)$:
$f(x - 1) = (x - 1)^2 - 3(x - 1) + 2$
Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ и распределительный закон:
$f(x - 1) = (x^2 - 2x + 1) - (3x - 3) + 2 = x^2 - 2x + 1 - 3x + 3 + 2$
Приведем подобные слагаемые:
$f(x - 1) = x^2 - 5x + 6$.

3. Приравняем полученные выражения и решим уравнение:
$f(x + 2) = f(x - 1)$
$x^2 + x = x^2 - 5x + 6$
Перенесем члены с $x$ в левую часть, а свободные члены в правую. Члены $x^2$ взаимно уничтожаются:
$x + 5x = 6$
$6x = 6$
$x = 1$.

Ответ: $x = 1$.

б) Для нахождения значения $x$, при котором выполняется равенство $f(x + 1) = f(x - 3)$, где $f(x) = x^2 - 5x + 6$, поступим аналогичным образом.

1. Найдем выражение для $f(x + 1)$:
$f(x + 1) = (x + 1)^2 - 5(x + 1) + 6$
Раскроем скобки и упростим:
$f(x + 1) = (x^2 + 2x + 1) - (5x + 5) + 6 = x^2 + 2x + 1 - 5x - 5 + 6$
$f(x + 1) = x^2 - 3x + 2$.

2. Найдем выражение для $f(x - 3)$:
$f(x - 3) = (x - 3)^2 - 5(x - 3) + 6$
Раскроем скобки и упростим:
$f(x - 3) = (x^2 - 6x + 9) - (5x - 15) + 6 = x^2 - 6x + 9 - 5x + 15 + 6$
$f(x - 3) = x^2 - 11x + 30$.

3. Приравняем полученные выражения и решим уравнение:
$f(x + 1) = f(x - 3)$
$x^2 - 3x + 2 = x^2 - 11x + 30$
Члены $x^2$ взаимно уничтожаются:
$-3x + 2 = -11x + 30$
Перенесем члены с $x$ в левую часть, а свободные члены в правую:
$11x - 3x = 30 - 2$
$8x = 28$
$x = \frac{28}{8} = \frac{7}{2} = 3.5$.

Ответ: $x = 3.5$.

57 a) Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \sqrt{x - 1}$. При каком значении $x$ выполняется равенство $f(x^2 - 2x) = f(x + 4)$?

б) Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \sqrt{x + 4}$. При каком значении $x$ выполняется равенство $f(x^2 - 5x) = f(x - 5)$?

а) Дана функция $f(x) = \sqrt{x - 1}$. Нам нужно найти значения $x$, для которых выполняется равенство $f(x^2 - 2x) = f(x + 4)$.

Подставим аргументы в определение функции:

$f(x^2 - 2x) = \sqrt{(x^2 - 2x) - 1} = \sqrt{x^2 - 2x - 1}$

$f(x + 4) = \sqrt{(x + 4) - 1} = \sqrt{x + 3}$

Получаем уравнение: $\sqrt{x^2 - 2x - 1} = \sqrt{x + 3}$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения. Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} x^2 - 2x - 1 \ge 0 \\ x + 3 \ge 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство. Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 1 = 0$ через дискриминант: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8$. Корни: $x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$. Так как ветви параболы $y = x^2 - 2x - 1$ направлены вверх, неравенство $x^2 - 2x - 1 \ge 0$ выполняется при $x \le 1 - \sqrt{2}$ или $x \ge 1 + \sqrt{2}$.

Из второго неравенства получаем $x \ge -3$.

Объединим условия: $x \in [-3, 1 - \sqrt{2}] \cup [1 + \sqrt{2}, +\infty)$.

Теперь решим само уравнение, возведя обе части в квадрат:

$x^2 - 2x - 1 = x + 3$

$x^2 - 3x - 4 = 0$

По теореме Виета, корни этого уравнения: $x_1 = 4$ и $x_2 = -1$.

Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ:

Для $x = 4$: $1 + \sqrt{2} \approx 2.41$. Так как $4 > 1 + \sqrt{2}$, корень подходит.

Для $x = -1$: $1 - \sqrt{2} \approx -0.41$. Так как $-3 \le -1 \le 1 - \sqrt{2}$, корень подходит.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = -1, x = 4$.

б) Дана функция $f(x) = \sqrt{x + 4}$. Нам нужно найти значения $x$, для которых выполняется равенство $f(x^2 - 5x) = f(x - 5)$.

Подставим аргументы в определение функции:

$f(x^2 - 5x) = \sqrt{(x^2 - 5x) + 4} = \sqrt{x^2 - 5x + 4}$

$f(x - 5) = \sqrt{(x - 5) + 4} = \sqrt{x - 1}$

Получаем уравнение: $\sqrt{x^2 - 5x + 4} = \sqrt{x - 1}$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$\begin{cases} x^2 - 5x + 4 \ge 0 \\ x - 1 \ge 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство. Корни уравнения $x^2 - 5x + 4 = 0$ равны $x_1 = 1, x_2 = 4$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство $x^2 - 5x + 4 \ge 0$ выполняется при $x \le 1$ или $x \ge 4$.

Из второго неравенства получаем $x \ge 1$.

Объединим условия: $x$ может быть равен $1$ или $x \ge 4$. То есть, $x \in \{1\} \cup [4, +\infty)$.

Теперь решим само уравнение, возведя обе части в квадрат:

$x^2 - 5x + 4 = x - 1$

$x^2 - 6x + 5 = 0$

По теореме Виета, корни этого уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 5$.

Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ:

Для $x = 1$: корень $x=1$ принадлежит ОДЗ.

Для $x = 5$: так как $5 \ge 4$, корень подходит.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = 1, x = 5$.