Номер 52, страница 226, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Итоговое повторение - номер 52, страница 226.

Условие.

52 Решите графически неравенство:

а) $|x - 1| - 2 \ge 0$;

б) $|x + 1| < 1$;

в) $4 - |x - 2| > 0$;

г) $|x - 4| \ge 2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) $|x - 1| - 2 \ge 0$

Для графического решения преобразуем неравенство к виду $|x - 1| \ge 2$.

Построим в одной системе координат графики функций $y = |x - 1|$ и $y = 2$.

График функции $y = |x - 1|$ получается из графика $y = |x|$ сдвигом на 1 единицу вправо вдоль оси Ox. Это "галочка" с вершиной в точке $(1, 0)$.

График функции $y = 2$ — это прямая, параллельная оси Ox и проходящая через точку $(0, 2)$.

Найдем точки пересечения графиков, решив уравнение $|x - 1| = 2$.

1) $x - 1 = 2 \implies x = 3$.
2) $x - 1 = -2 \implies x = -1$.

Точки пересечения: $(-1, 2)$ и $(3, 2)$.

Решением неравенства $|x - 1| \ge 2$ являются те значения $x$, при которых график функции $y = |x - 1|$ находится не ниже (то есть выше или на том же уровне) графика $y = 2$. Глядя на график, видим, что это происходит при $x \le -1$ и при $x \ge 3$.

Ответ: $x \in (-\infty, -1] \cup [3, \infty)$.

б) $|x + 1| < 1$

Для графического решения рассмотрим два графика: $y = |x + 1|$ и $y = 1$. Нам нужно найти значения $x$, при которых график первой функции лежит строго ниже графика второй.

График функции $y = |x + 1|$ получается из графика $y = |x|$ сдвигом на 1 единицу влево вдоль оси Ox. Вершина "галочки" находится в точке $(-1, 0)$.

График функции $y = 1$ — это прямая, параллельная оси Ox, проходящая через точку $(0, 1)$.

Найдем точки пересечения графиков, решив уравнение $|x + 1| = 1$.

1) $x + 1 = 1 \implies x = 0$.
2) $x + 1 = -1 \implies x = -2$.

Точки пересечения: $(-2, 1)$ и $(0, 1)$.

График $y = |x + 1|$ находится ниже прямой $y = 1$ на интервале между точками пересечения, то есть при $-2 < x < 0$.

Ответ: $x \in (-2, 0)$.

в) $4 - |x - 2| > 0$

Преобразуем неравенство к виду $|x - 2| < 4$.

Построим графики функций $y = |x - 2|$ и $y = 4$. Решением будут те значения $x$, для которых график $y = |x - 2|$ находится строго ниже графика $y = 4$.

График функции $y = |x - 2|$ получается из графика $y = |x|$ сдвигом на 2 единицы вправо вдоль оси Ox. Вершина графика в точке $(2, 0)$.

График функции $y = 4$ — это прямая, параллельная оси Ox, проходящая через точку $(0, 4)$.

Найдем точки пересечения, решив уравнение $|x - 2| = 4$.

1) $x - 2 = 4 \implies x = 6$.
2) $x - 2 = -4 \implies x = -2$.

Точки пересечения: $(-2, 4)$ и $(6, 4)$.

График $y = |x - 2|$ лежит ниже прямой $y = 4$ на интервале между точками пересечения, то есть при $-2 < x < 6$.

Ответ: $x \in (-2, 6)$.

г) $|x - 4| \ge 2$

Для решения этого неравенства графически, построим графики функций $y = |x - 4|$ и $y = 2$.

График $y = |x - 4|$ — это график $y = |x|$, сдвинутый на 4 единицы вправо по оси Ox. Вершина находится в точке $(4, 0)$.

График $y = 2$ — это горизонтальная прямая на уровне 2.

Найдем точки пересечения графиков, решив уравнение $|x - 4| = 2$.

1) $x - 4 = 2 \implies x = 6$.
2) $x - 4 = -2 \implies x = 2$.

Точки пересечения: $(2, 2)$ и $(6, 2)$.

Неравенство $|x - 4| \ge 2$ выполняется там, где график $y = |x - 4|$ лежит не ниже прямой $y = 2$. Это происходит на двух участках: левее точки $x = 2$ и правее точки $x = 6$, включая сами точки.

Ответ: $x \in (-\infty, 2] \cup [6, \infty)$.