Номер 46, страница 225, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Итоговое повторение - номер 46, страница 225.

Условие.

46 а) $y = -|x|;$

б) $y = -|x + 4| - 2;$

в) $y = -|x - 2|;$

г) $y = 2 - |x|.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Для решения данных задач мы будем использовать метод геометрических преобразований графика функции $y = |x|$. График функции $y = |x|$ представляет собой две прямые, $y=x$ для $x \ge 0$ и $y=-x$ для $x < 0$, образующие "галочку" с вершиной в начале координат (0, 0) и ветвями, направленными вверх.

а) $y = -|x|$

Для построения графика этой функции нужно выполнить преобразование над графиком $y = |x|$.

1. Берём за основу график функции $y = |x|$.

2. Применяем преобразование вида $y = -f(x)$, которое соответствует симметричному отражению графика $f(x)$ относительно оси абсцисс (оси Ox). В данном случае мы отражаем график $y = |x|$ относительно оси Ox.

В результате вершина "галочки" остаётся в точке (0, 0), но её ветви теперь направлены вниз. График состоит из лучей $y = -x$ для $x \ge 0$ и $y = x$ для $x < 0$.

Ответ: График функции $y = -|x|$ — это график функции $y = |x|$, отражённый симметрично относительно оси абсцисс. Вершина графика находится в точке (0, 0), ветви направлены вниз.

б) $y = -|x + 4| - 2$

Для построения графика этой функции выполним последовательность преобразований над графиком $y = |x|$.

1. Начинаем с графика $y = |x|$ (вершина в (0, 0), ветви вверх).

2. Выполняем сдвиг по горизонтали: $y = |x + 4|$. Это преобразование вида $y = f(x+a)$, которое сдвигает график $f(x)$ на $a$ единиц влево. График $y = |x|$ сдвигается на 4 единицы влево. Вершина перемещается в точку (-4, 0).

3. Выполняем отражение: $y = -|x + 4|$. График, полученный на предыдущем шаге, отражается симметрично относительно оси Ox. Вершина остаётся в точке (-4, 0), но ветви теперь направлены вниз.

4. Выполняем сдвиг по вертикали: $y = -|x + 4| - 2$. Это преобразование вида $y = f(x) - b$, которое сдвигает график на $b$ единиц вниз. График $y = -|x + 4|$ сдвигается на 2 единицы вниз. Вершина перемещается из (-4, 0) в точку (-4, -2).

Ответ: График функции $y = -|x + 4| - 2$ получается из графика $y = |x|$ путём сдвига на 4 единицы влево, отражения относительно оси Ox и сдвига на 2 единицы вниз. Вершина итогового графика находится в точке (-4, -2), ветви направлены вниз.

в) $y = -|x - 2|$

Построим график этой функции, последовательно преобразуя график $y = |x|$.

1. Исходный график — $y = |x|$ (вершина в (0, 0), ветви вверх).

2. Выполняем сдвиг по горизонтали: $y = |x - 2|$. Это преобразование вида $y = f(x-a)$, которое сдвигает график $f(x)$ на $a$ единиц вправо. График $y = |x|$ сдвигается на 2 единицы вправо. Вершина перемещается в точку (2, 0).

3. Выполняем отражение: $y = -|x - 2|$. График $y = |x - 2|$ отражается симметрично относительно оси Ox. Вершина остаётся в точке (2, 0), а ветви теперь направлены вниз.

Ответ: График функции $y = -|x - 2|$ получается из графика $y = |x|$ путём сдвига на 2 единицы вправо и отражения относительно оси Ox. Вершина графика находится в точке (2, 0), ветви направлены вниз.

г) $y = 2 - |x|$

Для удобства анализа перепишем функцию в виде $y = -|x| + 2$. Построим её график с помощью преобразований.

1. Исходный график — $y = |x|$ (вершина в (0, 0), ветви вверх).

2. Выполняем отражение: $y = -|x|$. График $y = |x|$ отражается симметрично относительно оси Ox. Вершина остаётся в точке (0, 0), ветви направляются вниз.

3. Выполняем сдвиг по вертикали: $y = -|x| + 2$. Это преобразование вида $y = f(x) + b$, которое сдвигает график на $b$ единиц вверх. График $y = -|x|$ сдвигается на 2 единицы вверх. Вершина перемещается из (0, 0) в точку (0, 2).

Ответ: График функции $y = 2 - |x|$ получается из графика $y = |x|$ путём отражения относительно оси Ox и последующего сдвига на 2 единицы вверх. Вершина графика находится в точке (0, 2), ветви направлены вниз.