Номер 48, страница 225, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Итоговое повторение - номер 48, страница 225.

Условие.

48 Постройте график функции $y = -|x + 3| + 4$. Найдите:

а) наибольшее значение функции;

б) промежутки монотонности функции;

в) нули функции;

г) значения аргумента, при которых $y > 0, y < 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Для построения графика функции $ y = -|x + 3| + 4 $ можно использовать метод преобразований графика функции $y = |x|$ или раскрыть модуль.

1. Метод преобразований:

1. Берем за основу график функции $y = |x|$ (V-образная линия с вершиной в точке $(0, 0)$).
2. Сдвигаем его на 3 единицы влево по оси Ox, получаем график $y = |x + 3|$. Вершина теперь в точке $(-3, 0)$.
3. Отражаем полученный график симметрично относительно оси Ox. Получаем график $y = -|x + 3|$. Это перевернутая V-образная линия с вершиной в $(-3, 0)$.
4. Сдвигаем последний график на 4 единицы вверх по оси Oy. Получаем искомый график $y = -|x + 3| + 4$. Вершина графика находится в точке $(-3, 4)$.

2. Раскрытие модуля:

Функция $y = -|x + 3| + 4$ может быть записана как кусочно-линейная функция:

$y = \begin{cases} -(x+3)+4, & \text{если } x+3 \ge 0 \\ -(-(x+3))+4, & \text{если } x+3 < 0 \end{cases}$

Упрощая, получаем:

$y = \begin{cases} -x+1, & \text{если } x \ge -3 \\ x+7, & \text{если } x < -3 \end{cases}$

График состоит из двух лучей, исходящих из точки с абсциссой $x = -3$. Найдем ординату этой точки (вершины): $y = -(-3) + 1 = 4$. Вершина: $(-3, 4)$.

Для построения найдем точки пересечения с осями:

• С осью Oy ($x=0$): $y = -|0+3|+4 = -3+4=1$. Точка $(0, 1)$.
• С осью Ox ($y=0$): $-|x+3|+4=0 \Rightarrow |x+3|=4$. Отсюда $x+3=4$ (т.е. $x=1$) или $x+3=-4$ (т.е. $x=-7$). Точки $(1, 0)$ и $(-7, 0)$.

На основе этих данных строим график.

---

Теперь ответим на вопросы задачи, используя полученные данные.

а) наибольшее значение функции;

Поскольку график представляет собой перевернутую V-образную линию ("гору"), его вершина является точкой максимума. Координаты вершины - $(-3, 4)$. Наибольшее значение функции равно ординате вершины.

Ответ: $y_{наиб} = 4$.

б) промежутки монотонности функции;

Монотонность функции — это промежутки, на которых она только возрастает или только убывает. Глядя на график или на кусочно-линейное представление, видим, что до вершины (при $x < -3$) функция возрастает, а после вершины (при $x > -3$) — убывает.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, -3]$; функция убывает на промежутке $[-3, +\infty)$.

в) нули функции;

Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых $y = 0$. Мы уже нашли их, когда искали точки пересечения с осью Ox.

Решим уравнение $-|x+3|+4=0$:

$|x+3|=4$

Это уравнение распадается на два:

$x+3=4 \quad \Rightarrow \quad x=1$

$x+3=-4 \quad \Rightarrow \quad x=-7$

Ответ: $x = -7, x = 1$.

г) значения аргумента, при которых $y > 0, y < 0$.

Для нахождения этих промежутков решим соответствующие неравенства.

$y > 0 \implies -|x+3|+4 > 0 \implies 4 > |x+3|$. Это двойное неравенство: $-4 < x+3 < 4$. Вычитая 3 из всех частей, получаем: $-7 < x < 1$.

$y < 0 \implies -|x+3|+4 < 0 \implies 4 < |x+3|$. Это неравенство равносильно совокупности двух неравенств: $x+3 > 4$ или $x+3 < -4$. Решая их, получаем: $x > 1$ или $x < -7$.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (-7, 1)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty, -7) \cup (1, +\infty)$.