Номер 45, страница 225, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Итоговое повторение - номер 45, страница 225.

Условие.

Постройте график функции:

45. а) $y = |x|;$

б) $y = |x + 1|;$

в) $y = |x| - 3;$

г) $y = |x - 3| + 1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) $y = |x|$

График функции $y = |x|$ строится на основе определения модуля. Модуль числа $x$ — это само число $x$, если $x$ неотрицательно, и число $-x$, если $x$ отрицательно. Таким образом, функцию можно записать в виде системы:

$y = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

При $x \ge 0$ график совпадает с прямой $y=x$. Это биссектриса первого координатного угла, проходящая через точки (0, 0), (1, 1), (2, 2) и так далее.

При $x < 0$ график совпадает с прямой $y=-x$. Это биссектриса второго координатного угла, проходящая через точки (0, 0), (-1, 1), (-2, 2) и так далее.

В результате график функции $y = |x|$ представляет собой два луча, выходящих из одной точки (0, 0), которая является вершиной графика. Этот график имеет V-образную форму.

Ответ: График функции $y=|x|$ — это объединение двух лучей: $y=x$ для $x \ge 0$ и $y=-x$ для $x < 0$. Вершина графика находится в точке (0, 0).

б) $y = |x + 1|$

Для построения графика функции $y = |x+1|$ воспользуемся преобразованием графика функции $y = |x|$. График функции вида $y = f(x+a)$ получается из графика $y=f(x)$ сдвигом (параллельным переносом) на $a$ единиц вдоль оси абсцисс (Ox). Если $a>0$, сдвиг выполняется влево, если $a<0$ — вправо.

В нашем случае $f(x)=|x|$ и $a=1$. Следовательно, чтобы получить график $y=|x+1|$, нужно сдвинуть график $y=|x|$ на 1 единицу влево.

Вершина графика $y=|x|$ находилась в точке (0, 0). После сдвига на 1 единицу влево, вершина графика $y=|x+1|$ окажется в точке (-1, 0).

Ответ: График функции $y=|x+1|$ получается путем сдвига графика функции $y=|x|$ на 1 единицу влево вдоль оси Ox. Вершина нового графика находится в точке (-1, 0).

в) $y = |x| - 3$

Для построения графика функции $y = |x| - 3$ также воспользуемся преобразованием графика $y = |x|$. График функции вида $y = f(x) + c$ получается из графика $y=f(x)$ сдвигом на $c$ единиц вдоль оси ординат (Oy). Если $c>0$, сдвиг выполняется вверх, если $c<0$ — вниз.

В данном случае $f(x)=|x|$ и $c=-3$. Это означает, что для получения графика $y=|x|-3$ нужно сдвинуть график $y=|x|$ на 3 единицы вниз.

Вершина графика, которая у $y=|x|$ была в точке (0, 0), сместится в точку (0, -3).

Найдем точки пересечения с осью Ox, приравняв $y$ к нулю: $|x|-3=0 \implies |x|=3$. Отсюда $x=3$ или $x=-3$. Точки пересечения с осью абсцисс: (3, 0) и (-3, 0).

Ответ: График функции $y=|x|-3$ получается путем сдвига графика функции $y=|x|$ на 3 единицы вниз вдоль оси Oy. Вершина нового графика находится в точке (0, -3).

г) $y = |x - 3| + 1$

График функции $y = |x - 3| + 1$ можно получить из графика функции $y = |x|$ с помощью двух последовательных преобразований: сдвига по горизонтали и сдвига по вертикали.

1. Сначала построим график функции $y = |x-3|$. Это график $y=|x|$, сдвинутый на 3 единицы вправо вдоль оси Ox. Вершина этого графика будет в точке (3, 0).

2. Затем сдвинем полученный график $y = |x-3|$ на 1 единицу вверх вдоль оси Oy. Это и будет искомый график $y = |x-3|+1$.

В результате этих двух сдвигов вершина графика из точки (0, 0) переместится в точку (3, 1). Ветви графика будут направлены вверх.

Ответ: График функции $y=|x-3|+1$ получается путем сдвига графика функции $y=|x|$ на 3 единицы вправо вдоль оси Ox и на 1 единицу вверх вдоль оси Oy. Вершина итогового графика находится в точке (3, 1).