Номер 49, страница 225, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Итоговое повторение - номер 49, страница 225.

Условие.

49 Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:

а) $y = |x|$ на отрезке $[-\sqrt{2}; 1];$

б) $y = -|x + 4|$ на отрезке $[-\sqrt{2}; 1];$

в) $y = -|x| + 5$ на отрезке $[-1; \sqrt{3}];$

г) $y = |x - 1| - 3$ на отрезке $[2; \sqrt{5}].$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) Найдем наибольшее и наименьшее значения функции $y = |x|$ на отрезке $[-\sqrt{2}; 1]$.

График функции $y = |x|$ представляет собой "галочку" с вершиной в точке $(0, 0)$. В точке $x=0$ функция достигает своего наименьшего значения. Эта точка принадлежит заданному отрезку $[-\sqrt{2}; 1]$, так как $-\sqrt{2} < 0 < 1$. Следовательно, наименьшее значение функции на отрезке равно $y(0) = |0| = 0$.

Наибольшее значение непрерывная функция на отрезке достигает либо в точке экстремума, либо на концах отрезка. Поскольку точка минимума уже найдена, найдем значения функции на концах отрезка:

$y(-\sqrt{2}) = |-\sqrt{2}| = \sqrt{2}$

$y(1) = |1| = 1$

Сравнивая значения на концах отрезка, получаем, что $\sqrt{2} > 1$. Значит, наибольшее значение функции на отрезке равно $\sqrt{2}$.

Ответ: $y_{наим} = 0$, $y_{наиб} = \sqrt{2}$.

б) Найдем наибольшее и наименьшее значения функции $y = -|x + 4|$ на отрезке $[-\sqrt{2}; 1]$.

График функции $y = -|x + 4|$ представляет собой перевернутую "галочку" с вершиной в точке $x = -4$. В этой точке функция достигает своего наибольшего значения, равного $y(-4) = -|-4+4| = 0$.

Точка $x = -4$ не принадлежит отрезку $[-\sqrt{2}; 1]$. На промежутке $(-\infty; -4)$ функция возрастает, а на промежутке $(-4; +\infty)$ функция убывает. Так как весь отрезок $[-\sqrt{2}; 1]$ находится правее точки $x=-4$, функция на этом отрезке монотонно убывает.

Для убывающей функции на отрезке наибольшее значение достигается в левой крайней точке, а наименьшее — в правой. Вычислим значения функции на концах отрезка:

Наибольшее значение: $y(-\sqrt{2}) = -|-\sqrt{2} + 4| = -(4 - \sqrt{2}) = \sqrt{2} - 4$.

Наименьшее значение: $y(1) = -|1 + 4| = -|5| = -5$.

Ответ: $y_{наим} = -5$, $y_{наиб} = \sqrt{2} - 4$.

в) Найдем наибольшее и наименьшее значения функции $y = -|x| + 5$ на отрезке $[-1; \sqrt{3}]$.

График функции $y = -|x| + 5$ представляет собой перевернутую "галочку" с вершиной в точке $x=0$. В этой точке функция достигает своего наибольшего значения. Точка $x=0$ принадлежит отрезку $[-1; \sqrt{3}]$. Следовательно, наибольшее значение функции на этом отрезке равно $y(0) = -|0| + 5 = 5$.

Наименьшее значение будет достигаться на одном из концов отрезка. Вычислим значения функции на концах:

$y(-1) = -|-1| + 5 = -1 + 5 = 4$

$y(\sqrt{3}) = -|\sqrt{3}| + 5 = 5 - \sqrt{3}$

Сравним полученные значения: $4$ и $5 - \sqrt{3}$. Так как $1 < \sqrt{3} < 2$, то $3 < 5 - \sqrt{3} < 4$. Следовательно, $5 - \sqrt{3}$ является наименьшим значением.

Ответ: $y_{наим} = 5 - \sqrt{3}$, $y_{наиб} = 5$.

г) Найдем наибольшее и наименьшее значения функции $y = |x - 1| - 3$ на отрезке $[2; \sqrt{5}]$.

График функции $y = |x - 1| - 3$ представляет собой "галочку" с вершиной в точке $x=1$. В этой точке функция достигает своего наименьшего значения, равного $y(1)=|1-1|-3=-3$.

Точка $x=1$ не принадлежит отрезку $[2; \sqrt{5}]$. На промежутке $(1; +\infty)$ функция возрастает. Так как весь отрезок $[2; \sqrt{5}]$ находится правее точки $x=1$, функция на этом отрезке монотонно возрастает.

Для возрастающей функции на отрезке наименьшее значение достигается в левой крайней точке, а наибольшее — в правой. Вычислим значения функции на концах отрезка:

Наименьшее значение: $y(2) = |2 - 1| - 3 = 1 - 3 = -2$.

Наибольшее значение: $y(\sqrt{5}) = |\sqrt{5} - 1| - 3$. Так как $\sqrt{5} \approx 2.236 > 1$, то $|\sqrt{5} - 1| = \sqrt{5} - 1$. Тогда $y(\sqrt{5}) = (\sqrt{5} - 1) - 3 = \sqrt{5} - 4$.

Ответ: $y_{наим} = -2$, $y_{наиб} = \sqrt{5} - 4$.