Номер 51, страница 226, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 51, страница 226.

Условие.

51 Решите графически систему уравнений:

а) $\begin{cases} y = 2x^2 - 8x + 3, \\ y = -|x - 2| - 2; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y = \frac{8}{x + 2}, \\ y = |x + 4| - 4; \end{cases}$

в) $\begin{cases} y = 0,5x - 1, \\ y = -|x - 3| + 2; \end{cases}$

г) $\begin{cases} y = \sqrt{x - 1}, \\ y = |x| - 1. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) $\begin{cases} y = 2x^2 - 8x + 3 \\ y = -|x - 2| - 2 \end{cases}$

Для решения системы уравнений графически построим графики каждой функции в одной системе координат. Точки пересечения графиков будут являться решениями системы.

1. Построим график функции $y = 2x^2 - 8x + 3$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($2 > 0$).
Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-8}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$.
$y_0 = 2(2)^2 - 8(2) + 3 = 8 - 16 + 3 = -5$.
Вершина параболы находится в точке $(2, -5)$.
Найдем несколько дополнительных точек для построения графика:
При $x = 1$, $y = 2(1)^2 - 8(1) + 3 = -3$. Точка $(1, -3)$.
При $x = 3$, $y = 2(3)^2 - 8(3) + 3 = 18 - 24 + 3 = -3$. Точка $(3, -3)$.
При $x = 0$, $y = 3$. Точка $(0, 3)$.

2. Построим график функции $y = -|x - 2| - 2$. Это график модуля $y = |x|$, преобразованный следующим образом:
- сдвиг на 2 единицы вправо по оси Ox (график $y = |x - 2|$);
- отражение относительно оси Ox (график $y = -|x - 2|$);
- сдвиг на 2 единицы вниз по оси Oy.
Вершина графика (точка излома) находится в точке $(2, -2)$. Ветви направлены вниз.
Найдем несколько дополнительных точек:
При $x = 1$, $y = -|1 - 2| - 2 = -1 - 2 = -3$. Точка $(1, -3)$.
При $x = 3$, $y = -|3 - 2| - 2 = -1 - 2 = -3$. Точка $(3, -3)$.
При $x = 0$, $y = -|0 - 2| - 2 = -2 - 2 = -4$. Точка $(0, -4)$.

3. Построим оба графика в одной системе координат. Парабола с вершиной в $(2, -5)$ и график модуля с вершиной в $(2, -2)$ пересекаются в двух точках.
Из найденных нами координат видно, что точки пересечения — это $(1, -3)$ и $(3, -3)$.

Ответ: $(1, -3), (3, -3)$.

б) $\begin{cases} y = \frac{8}{x + 2} \\ y = |x + 4| - 4 \end{cases}$

1. Построим график функции $y = \frac{8}{x + 2}$. Это гипербола, полученная сдвигом графика $y = \frac{8}{x}$ на 2 единицы влево по оси Ox.
Вертикальная асимптота: $x = -2$.
Горизонтальная асимптота: $y = 0$.
Найдем несколько точек:
При $x = 0$, $y = \frac{8}{2} = 4$. Точка $(0, 4)$.
При $x = 2$, $y = \frac{8}{4} = 2$. Точка $(2, 2)$.
При $x = -4$, $y = \frac{8}{-2} = -4$. Точка $(-4, -4)$.
При $x = -6$, $y = \frac{8}{-4} = -2$. Точка $(-6, -2)$.

2. Построим график функции $y = |x + 4| - 4$. Это график модуля $y = |x|$, сдвинутый на 4 единицы влево по оси Ox и на 4 единицы вниз по оси Oy.
Вершина графика находится в точке $(-4, -4)$. Ветви направлены вверх.
Найдем несколько точек:
При $x = 0$, $y = |4| - 4 = 0$. Точка $(0, 0)$.
При $x = 2$, $y = |6| - 4 = 2$. Точка $(2, 2)$.
При $x = -6$, $y = |-2| - 4 = 2 - 4 = -2$. Точка $(-6, -2)$.
При $x = -8$, $y = |-4| - 4 = 0$. Точка $(-8, 0)$.

3. Построим оба графика. Гипербола с асимптотами $x = -2, y = 0$ и график модуля с вершиной в $(-4, -4)$ пересекаются в трех точках.
Из вычисленных координат видно, что это точки $(-6, -2)$, $(-4, -4)$ и $(2, 2)$.

Ответ: $(-6, -2), (-4, -4), (2, 2)$.

в) $\begin{cases} y = 0,5x - 1 \\ y = -|x - 3| + 2 \end{cases}$

1. Построим график функции $y = 0,5x - 1$. Это прямая линия.
Найдем две точки для построения:
При $x = 0$, $y = -1$. Точка $(0, -1)$.
При $x = 4$, $y = 0,5 \cdot 4 - 1 = 2 - 1 = 1$. Точка $(4, 1)$.

2. Построим график функции $y = -|x - 3| + 2$. Это график модуля $y = |x|$, сдвинутый на 3 единицы вправо, отраженный относительно оси Ox и сдвинутый на 2 единицы вверх.
Вершина графика находится в точке $(3, 2)$. Ветви направлены вниз.
Найдем несколько точек:
При $x = 1$, $y = -|1 - 3| + 2 = -2 + 2 = 0$. Точка $(1, 0)$.
При $x = 5$, $y = -|5 - 3| + 2 = -2 + 2 = 0$. Точка $(5, 0)$.
При $x = 4$, $y = -|4 - 3| + 2 = -1 + 2 = 1$. Точка $(4, 1)$.
При $x = 0$, $y = -|0 - 3| + 2 = -3 + 2 = -1$. Точка $(0, -1)$.

3. Построим оба графика. Прямая и график модуля пересекаются в двух точках.
Из вычисленных координат видно, что это точки $(0, -1)$ и $(4, 1)$.

Ответ: $(0, -1), (4, 1)$.

г) $\begin{cases} y = \sqrt{x - 1} \\ y = |x| - 1 \end{cases}$

1. Построим график функции $y = \sqrt{x - 1}$. Это график функции $y = \sqrt{x}$, сдвинутый на 1 единицу вправо по оси Ox.
Область определения: $x - 1 \ge 0$, то есть $x \ge 1$.
Начальная точка графика: $(1, 0)$.
Найдем несколько точек:
При $x = 2$, $y = \sqrt{2 - 1} = 1$. Точка $(2, 1)$.
При $x = 5$, $y = \sqrt{5 - 1} = 2$. Точка $(5, 2)$.

2. Построим график функции $y = |x| - 1$. Это график модуля $y = |x|$, сдвинутый на 1 единицу вниз по оси Oy.
Вершина графика находится в точке $(0, -1)$. Ветви направлены вверх.
Найдем несколько точек:
При $x = 1$, $y = |1| - 1 = 0$. Точка $(1, 0)$.
При $x = -1$, $y = |-1| - 1 = 0$. Точка $(-1, 0)$.
При $x = 2$, $y = |2| - 1 = 1$. Точка $(2, 1)$.

3. Построим оба графика. График корня, начинающийся в точке $(1,0)$, и график модуля с вершиной в $(0,-1)$ пересекаются в двух точках.
Из вычисленных координат видно, что это точки $(1, 0)$ и $(2, 1)$.

Ответ: $(1, 0), (2, 1)$.