Номер 47, страница 225, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 47, страница 225.

Условие.

47 Постройте график функции $y = |x - 4| - 5$. Найдите:

а) наименьшее значение функции;

б) промежутки монотонности функции;

в) нули функции;

г) значения аргумента, при которых $y > 0, y < 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Для построения графика функции $y = |x - 4| - 5$ можно использовать метод преобразования графиков. Исходный график $y = |x|$ (V-образная линия с вершиной в начале координат) сдвигается на 4 единицы вправо по оси абсцисс, а затем на 5 единиц вниз по оси ординат. В результате вершина графика окажется в точке $(4, -5)$.

Также можно раскрыть модуль, чтобы представить функцию в кусочно-линейном виде:

$y = \begin{cases} (x - 4) - 5, & \text{если } x - 4 \ge 0 \\ -(x - 4) - 5, & \text{если } x - 4 < 0 \end{cases} \implies y = \begin{cases} x - 9, & \text{если } x \ge 4 \\ -x - 1, & \text{если } x < 4 \end{cases}$

График состоит из двух лучей, исходящих из точки $(4, -5)$.

а) наименьшее значение функции

Выражение $|x - 4|$ является неотрицательным для любого значения $x$, то есть $|x - 4| \ge 0$. Минимальное значение этого выражения равно 0 и достигается при $x = 4$. Таким образом, наименьшее значение функции $y$ равно $0 - 5 = -5$.

Ответ: -5.

б) промежутки монотонности функции

Исходя из кусочно-линейного представления функции:

1. На промежутке $(-\infty, 4)$ функция имеет вид $y = -x - 1$. Угловой коэффициент прямой равен -1, что означает, что функция на этом промежутке убывает.

2. На промежутке $(4, +\infty)$ функция имеет вид $y = x - 9$. Угловой коэффициент прямой равен 1, что означает, что функция на этом промежутке возрастает.

В точке $x=4$ функция достигает своего минимума, меняя убывание на возрастание.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, 4]$ и возрастает на промежутке $[4, +\infty)$.

в) нули функции

Нули функции — это значения $x$, при которых $y = 0$. Необходимо решить уравнение:

$|x - 4| - 5 = 0$

$|x - 4| = 5$

Данное уравнение эквивалентно двум линейным уравнениям:

$x - 4 = 5$ или $x - 4 = -5$

$x = 9$ или $x = -1$

Ответ: -1; 9.

г) значения аргумента, при которых $y > 0, y < 0$

Для нахождения промежутков, где $y > 0$, решим неравенство:

$|x - 4| - 5 > 0 \implies |x - 4| > 5$

Это неравенство распадается на два:

$x - 4 > 5$ или $x - 4 < -5$

$x > 9$ или $x < -1$

Следовательно, $y > 0$ при $x \in (-\infty, -1) \cup (9, +\infty)$.

Для нахождения промежутков, где $y < 0$, решим неравенство:

$|x - 4| - 5 < 0 \implies |x - 4| < 5$

Это равносильно двойному неравенству:

$-5 < x - 4 < 5$

Прибавив 4 ко всем частям, получаем:

$-1 < x < 9$

Следовательно, $y < 0$ при $x \in (-1, 9)$.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\infty, -1) \cup (9, +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-1, 9)$.