Номер 41, страница 224, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 41, страница 224.

Условие.

41 Постройте график функции $y = -\sqrt{x - 1} + 2$. По графику найдите:

а) область определения и множество значений функции;

б) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [5; 10];

в) корни уравнения $y(x) = 1$;

г) решение неравенства $y(x) < 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Для построения графика функции $y = -\sqrt{x - 1} + 2$, определим его вид и ключевые точки. Этот график является результатом преобразований базовой функции $y = \sqrt{x}$:

1. Сдвиг графика $y=\sqrt{x}$ на 1 единицу вправо по оси Ox, получаем $y = \sqrt{x-1}$.
2. Отражение графика $y = \sqrt{x-1}$ относительно оси Ox, получаем $y = -\sqrt{x-1}$.
3. Сдвиг графика $y = -\sqrt{x-1}$ на 2 единицы вверх по оси Oy, получаем $y = -\sqrt{x - 1} + 2$.

Таким образом, график представляет собой ветвь параболы с вершиной (начальной точкой) в точке $(1; 2)$, направленную вниз и вправо.

Найдем несколько точек для более точного построения:

• При $x=1$, $y = -\sqrt{1-1} + 2 = 2$. Точка $(1; 2)$.
• При $x=2$, $y = -\sqrt{2-1} + 2 = -1 + 2 = 1$. Точка $(2; 1)$.
• При $x=5$, $y = -\sqrt{5-1} + 2 = -2 + 2 = 0$. Точка $(5; 0)$.
• При $x=10$, $y = -\sqrt{10-1} + 2 = -3 + 2 = -1$. Точка $(10; -1)$.

Используя эти точки и зная форму графика, можно его построить и по нему ответить на вопросы.

а) область определения и множество значений функции;

Область определения функции — это все допустимые значения аргумента $x$. Для функции с квадратным корнем подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x - 1 \geq 0$, что дает $x \geq 1$. На графике это видно как область, где график существует, начиная с $x=1$ и простираясь вправо.

Множество значений функции — это все значения, которые может принимать $y$. Вершина графика находится в точке $(1; 2)$, и ветви направлены вниз. Следовательно, максимальное значение функции равно 2, а сама функция может принимать любые значения, не превышающие 2.

Ответ: Область определения: $D(y) = [1; +\infty)$. Множество значений: $E(y) = (-\infty; 2]$.

б) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [5; 10];

Функция $y = -\sqrt{x - 1} + 2$ является монотонно убывающей на всей своей области определения. Это означает, что для любого отрезка большему значению $x$ соответствует меньшее значение $y$. Следовательно, на отрезке $[5; 10]$ наибольшее значение будет в точке $x=5$, а наименьшее — в точке $x=10$.

Вычисляем эти значения:

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(5) = -\sqrt{5 - 1} + 2 = -\sqrt{4} + 2 = -2 + 2 = 0$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(10) = -\sqrt{10 - 1} + 2 = -\sqrt{9} + 2 = -3 + 2 = -1$.

Ответ: Наибольшее значение функции на отрезке $[5; 10]$ равно $0$, а наименьшее равно $-1$.

в) корни уравнения y(x) = 1;

Найти корень уравнения $y(x) = 1$ — значит найти такое значение $x$, при котором $y=1$. На графике это соответствует точке пересечения графика функции с горизонтальной прямой $y=1$. Из точек, вычисленных для построения, мы видим, что это происходит при $x=2$.

Проверим решением уравнения:

$-\sqrt{x - 1} + 2 = 1$

$2 - 1 = \sqrt{x - 1}$

$\sqrt{x - 1} = 1$

Возведем обе части в квадрат: $x - 1 = 1^2$, откуда $x = 2$.

Ответ: $x=2$.

г) решение неравенства y(x) < 0.

Решить неравенство $y(x) < 0$ — значит найти все значения $x$, при которых график функции лежит ниже оси абсцисс (оси Ox). Для этого сначала найдем точку пересечения графика с осью Ox, решив уравнение $y(x) = 0$.

$-\sqrt{x - 1} + 2 = 0$

$\sqrt{x - 1} = 2$

Возведем обе части в квадрат: $x - 1 = 4$, откуда $x = 5$.

График пересекает ось Ox в точке $(5; 0)$. Поскольку функция монотонно убывает, для всех $x$, больших 5, значения $y$ будут меньше 0. Это также видно из графика, который после точки $(5; 0)$ уходит в отрицательную область оси Oy.

Ответ: $x \in (5; +\infty)$.