Номер 42, страница 225, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 42, страница 225.

Условие.

42 Решите графически уравнение:

а) $\sqrt{x-3} = 1;$

б) $-\sqrt{x+1} = 4-2x;$

в) $3-\sqrt{x+2} = 0;$

г) $\sqrt{x+3} = \frac{1}{3}x+1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) Чтобы решить уравнение $\sqrt{x - 3} = 1$ графически, построим в одной системе координат графики функций $y = \sqrt{x - 3}$ и $y = 1$.
График функции $y = \sqrt{x - 3}$ — это ветвь параболы, которая является графиком стандартной функции $y = \sqrt{x}$, сдвинутым на 3 единицы вправо вдоль оси Ox. Область определения этой функции: $x - 3 \ge 0$, то есть $x \ge 3$.
График функции $y = 1$ — это прямая линия, параллельная оси Ox и проходящая через точку (0, 1).
Найдем точку пересечения этих двух графиков. Абсцисса этой точки будет решением уравнения. Построив графики, мы увидим, что они пересекаются в одной точке. Координаты этой точки (4, 1).
Проверим это аналитически: подставим $x=4$ в исходное уравнение.
$\sqrt{4 - 3} = \sqrt{1} = 1$.
$1 = 1$.
Равенство верное, значит, абсцисса точки пересечения найдена правильно.
Ответ: $x = 4$.

б) Чтобы решить уравнение $-\sqrt{x + 1} = 4 - 2x$ графически, построим в одной системе координат графики функций $y = -\sqrt{x + 1}$ и $y = 4 - 2x$.
График функции $y = -\sqrt{x + 1}$ — это график функции $y = \sqrt{x}$, сдвинутый на 1 единицу влево вдоль оси Ox, а затем отраженный симметрично относительно оси Ox. Область определения: $x + 1 \ge 0$, то есть $x \ge -1$.
График функции $y = 4 - 2x$ — это прямая линия. Для её построения найдём две точки: если $x=0$, то $y=4$ (точка (0, 4)); если $x=2$, то $y=0$ (точка (2, 0)).
Построив графики, мы находим их точку пересечения. Визуально можно определить, что абсцисса точки пересечения равна 3.
Проверим, подставив $x = 3$ в обе части исходного уравнения:
Левая часть: $-\sqrt{3 + 1} = -\sqrt{4} = -2$.
Правая часть: $4 - 2 \cdot 3 = 4 - 6 = -2$.
$-2 = -2$.
Равенство верное, значит, $x=3$ является решением уравнения.
Ответ: $x = 3$.

в) Чтобы решить уравнение $3 - \sqrt{x + 2} = 0$ графически, преобразуем его к виду $\sqrt{x + 2} = 3$. Теперь построим в одной системе координат графики функций $y = \sqrt{x + 2}$ и $y = 3$.
График функции $y = \sqrt{x + 2}$ — это график функции $y = \sqrt{x}$, сдвинутый на 2 единицы влево вдоль оси Ox. Область определения: $x + 2 \ge 0$, то есть $x \ge -2$.
График функции $y = 3$ — это прямая линия, параллельная оси Ox и проходящая через точку (0, 3).
Найдем точку пересечения этих двух графиков. Построив их, мы видим, что они пересекаются в одной точке. Абсцисса этой точки (7, 3) и является решением.
Проверим это аналитически: подставим $x=7$ в преобразованное уравнение.
$\sqrt{7 + 2} = \sqrt{9} = 3$.
$3 = 3$.
Равенство верное.
Ответ: $x = 7$.

г) Чтобы решить уравнение $\sqrt{x + 3} = \frac{1}{3}x + 1$ графически, построим в одной системе координат графики функций $y = \sqrt{x + 3}$ и $y = \frac{1}{3}x + 1$.
График функции $y = \sqrt{x + 3}$ — это график функции $y = \sqrt{x}$, сдвинутый на 3 единицы влево вдоль оси Ox. Область определения: $x + 3 \ge 0$, то есть $x \ge -3$.
График функции $y = \frac{1}{3}x + 1$ — это прямая линия. Для её построения найдём две точки: если $x=-3$, то $y = \frac{1}{3}(-3) + 1 = 0$ (точка (-3, 0)); если $x=6$, то $y = \frac{1}{3}(6) + 1 = 3$ (точка (6, 3)).
Построив графики, мы увидим, что они пересекаются в двух точках.
Проверим, являются ли найденные точки (-3, 0) и (6, 3) точками пересечения, подставив их абсциссы в уравнение функции $y = \sqrt{x + 3}$:
Для $x = -3$: $y = \sqrt{-3 + 3} = \sqrt{0} = 0$. Точка (-3, 0) принадлежит обоим графикам.
Для $x = 6$: $y = \sqrt{6 + 3} = \sqrt{9} = 3$. Точка (6, 3) принадлежит обоим графикам.
Следовательно, абсциссы этих точек являются решениями уравнения.
Ответ: $x_1 = -3, x_2 = 6$.