Номер 40, страница 224, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 40, страница 224.

Условие.

40 Постройте график функции $y = \sqrt{x + 4} - 1$. По графику определите:

а) точки пересечения с осями координат;

б) значения аргумента, при которых $y < 0$, $y > 0$;

в) промежуток, которому принадлежит переменная $x$, если $y_{\text{наим}} = 1$, $y_{\text{наиб}} = 3$;

г) значения функции, если $0 \le x \le 5$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Для построения графика функции $y = \sqrt{x+4} - 1$ выполним следующие шаги.Данный график можно получить из графика базовой функции $y = \sqrt{x}$ путем двух преобразований:

1. Сдвиг графика $y = \sqrt{x}$ на 4 единицы влево по оси абсцисс (Ox), чтобы получить график $y = \sqrt{x+4}$.
2. Сдвиг графика $y = \sqrt{x+4}$ на 1 единицу вниз по оси ординат (Oy), чтобы получить искомый график $y = \sqrt{x+4} - 1$.

1. Область определения функции. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x + 4 \ge 0 \implies x \ge -4$. Таким образом, область определения функции $D(y) = [-4; +\infty)$.

2. Ключевые точки для построения. Найдем координаты нескольких точек, принадлежащих графику:

• Начальная точка (вершина): при $x = -4$, $y = \sqrt{-4+4} - 1 = \sqrt{0} - 1 = -1$. Точка $(-4, -1)$.
• Точка пересечения с осью Ox ($y=0$): $0 = \sqrt{x+4} - 1 \implies \sqrt{x+4} = 1 \implies x+4 = 1 \implies x = -3$. Точка $(-3, 0)$.
• Точка пересечения с осью Oy ($x=0$): $y = \sqrt{0+4} - 1 = \sqrt{4} - 1 = 2 - 1 = 1$. Точка $(0, 1)$.
• Дополнительная точка: при $x = 5$, $y = \sqrt{5+4} - 1 = \sqrt{9} - 1 = 3 - 1 = 2$. Точка $(5, 2)$.
• Еще одна точка: при $x = 12$, $y = \sqrt{12+4} - 1 = \sqrt{16} - 1 = 4 - 1 = 3$. Точка $(12, 3)$.

Нанесем эти точки на координатную плоскость и соединим их плавной линией.

Используя построенный график и аналитические вычисления, ответим на вопросы.

а) точки пересечения с осями координат;

Пересечение с осью ординат (Oy) происходит при $x=0$.
$y(0) = \sqrt{0+4} - 1 = \sqrt{4} - 1 = 2 - 1 = 1$.
Точка пересечения с осью Oy: $(0, 1)$.

Пересечение с осью абсцисс (Ox) происходит при $y=0$.
$0 = \sqrt{x+4} - 1 \implies \sqrt{x+4} = 1$.
Возводим обе части в квадрат: $x+4 = 1 \implies x = -3$.
Точка пересечения с осью Ox: $(-3, 0)$.

Ответ: с осью Oy: $(0, 1)$; с осью Ox: $(-3, 0)$.

б) значения аргумента, при которых $y < 0, y > 0$;

Из графика видно, что $y < 0$ (график ниже оси Ox) на интервале от начальной точки $x=-4$ до точки пересечения с осью Ox, $x=-3$. В точке $x=-4$ функция определена ($y=-1$), а в $x=-3$ функция равна нулю, поэтому эта точка не включается в интервал.
$y < 0$ при $x \in [-4, -3)$.

Значения $y > 0$ (график выше оси Ox) для всех $x$, которые больше абсциссы точки пересечения с осью Ox.
$y > 0$ при $x \in (-3, +\infty)$.

Ответ: $y < 0$ при $x \in [-4; -3)$; $y > 0$ при $x \in (-3; +\infty)$.

в) промежуток, которому принадлежит переменная $x$, если $y_{наим} = 1, y_{наиб} = 3$;

Требуется найти значения $x$, для которых $1 \le y \le 3$.
Найдем $x$ для $y=1$:
$1 = \sqrt{x+4} - 1 \implies 2 = \sqrt{x+4} \implies 4 = x+4 \implies x = 0$.
Найдем $x$ для $y=3$:
$3 = \sqrt{x+4} - 1 \implies 4 = \sqrt{x+4} \implies 16 = x+4 \implies x = 12$.
Поскольку функция монотонно возрастает, искомый промежуток для $x$ находится между найденными значениями.

Ответ: $x \in [0; 12]$.

г) значения функции, если $0 \le x \le 5$.

Нужно найти область значений функции на отрезке $x \in [0, 5]$. Так как функция возрастающая, наименьшее значение будет при $x=0$, а наибольшее — при $x=5$.
$y(0) = \sqrt{0+4} - 1 = 1$.
$y(5) = \sqrt{5+4} - 1 = \sqrt{9} - 1 = 2$.
Таким образом, когда $x$ изменяется от 0 до 5, $y$ изменяется от 1 до 2.

Ответ: $y \in [1; 2]$.