Номер 59, страница 227, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Итоговое повторение - номер 59, страница 227.

Условие.

59. a) Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = x^2 - 8x - 9$. При каких значениях $x$ выполняется неравенство $f(x + 1) < f(x - 2)$?

б) Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = x^2 - 6x + 8$. При каких значениях $x$ выполняется неравенство $f(x - 4) \ge f(x + 2)$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) Дана функция $f(x) = x^2 - 8x - 9$. Нам нужно решить неравенство $f(x+1) < f(x-2)$.
Для этого сначала найдем выражения для $f(x+1)$ и $f(x-2)$, подставив вместо $x$ в исходную функцию $(x+1)$ и $(x-2)$ соответственно.
$f(x+1) = (x+1)^2 - 8(x+1) - 9 = (x^2 + 2x + 1) - (8x + 8) - 9 = x^2 + 2x + 1 - 8x - 8 - 9 = x^2 - 6x - 16$.
$f(x-2) = (x-2)^2 - 8(x-2) - 9 = (x^2 - 4x + 4) - (8x - 16) - 9 = x^2 - 4x + 4 - 8x + 16 - 9 = x^2 - 12x + 11$.
Теперь подставим эти выражения в неравенство:
$x^2 - 6x - 16 < x^2 - 12x + 11$.
Перенесем члены с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую. Члены $x^2$ взаимно уничтожаются.
$-6x + 12x < 11 + 16$
$6x < 27$
$x < \frac{27}{6}$
$x < \frac{9}{2}$
$x < 4.5$.
Таким образом, неравенство выполняется при $x \in (-\infty; 4.5)$.
Ответ: $x < 4.5$.

б) Дана функция $f(x) = x^2 - 6x + 8$. Нам нужно решить неравенство $f(x-4) \ge f(x+2)$.
Аналогично пункту а), найдем выражения для $f(x-4)$ и $f(x+2)$.
$f(x-4) = (x-4)^2 - 6(x-4) + 8 = (x^2 - 8x + 16) - (6x - 24) + 8 = x^2 - 8x + 16 - 6x + 24 + 8 = x^2 - 14x + 48$.
$f(x+2) = (x+2)^2 - 6(x+2) + 8 = (x^2 + 4x + 4) - (6x + 12) + 8 = x^2 + 4x + 4 - 6x - 12 + 8 = x^2 - 2x$.
Подставим полученные выражения в исходное неравенство:
$x^2 - 14x + 48 \ge x^2 - 2x$.
Упростим неравенство, избавившись от $x^2$.
$-14x + 48 \ge -2x$.
Перенесем члены с $x$ в одну сторону, а числа в другую.
$48 \ge -2x + 14x$
$48 \ge 12x$
Разделим обе части на 12:
$4 \ge x$.
Это можно записать как $x \le 4$.
Таким образом, неравенство выполняется при $x \in (-\infty; 4]$.
Ответ: $x \le 4$.